大学物理演示(热学)2(赵)2009.ppt

1、为了定量地研究分子的运动状况，我们需要研究在平衡态下分子的统计分布规律（按能量、速度、位置)气体分子的碰撞是不是导致分子速度平均？,麦克斯韦（Maxwell,1831-1879)，英国物理学家，16岁考进爱丁堡大学，专攻数学和物理，19岁又进入剑桥大学。1860年至1868年任伦敦皇家学院和剑桥大学物理学教授，1870年创立并主持卡尔迪氏物理实验室。并担任剑桥大学首席实验物理学教授。他是英国皇家学会会员。他的主要贡献是建立了电磁场理论和气体分子速率分布率。开展气体分子速率分布率研究时他28岁。,玻尔兹曼（Boltzmann,1844-1906），奥地利物理学家，1866年毕业于维也纳大学，获得

2、过牛津大学理学博士学位。1867年在维也纳物理研究所做斯特凡（Stefan)的助手和学生，他在气体动理论和热力学方面有重要贡献。,20.3 三种统计规律,大量粒子热运动遵从统计规律,经典粒子 微观粒子（与经典粒子的区别） 费密子 玻色子,寻找并掌握平衡状态（概率最大的状态）下粒子的分布规律,麦克斯韦-波尔兹曼统计（M-B 分布）经典粒子按能量的分布。 费米-狄拉克统计（F-D 分布） 费密子（电子）按能级的分布。 玻色-爱因斯坦（B-E 分布）玻色子（光子）按能量 h的分布。 （热辐射规律）,1、 排列组合 1)设完成第一件事的方式有 m 种 - 二 - n - - 三 - p - - 则完成

3、诸件事的方法有 mnp-种。 例； 由A到B有两条路，由B到C有三条路。 则由 A经 B到 C共有23=6 条路,。 。,A,B,C,一、 数学准备,2) 从n个不同的物体中， 每次取一个而排列之，其方法有 种。 - 二 -， - - 三 -， - - - r -, -,第一件事 n 第二件事 n-1 第三件事 n-2,3) 把 n 个物体分成 r 组，第一组有 n 1个， 第二组有 n2个， - 第r 组有 nr个，,则,4), 从 n 个物体中选出m 个的方法共有 种，即,二、 斯特令公式,以 ，x 为坐标，作 的曲线,近似等于曲线下的面积， 近似程度愈高。,拉格朗日乘子法,三、拉格朗日乘

4、子法,都是独立变量，则,设只有第i个自变量 发生变化 ，即,而序号i 是任意的，所以,若个自变量 不全是彼此独立的，则 上式不再成立。,若个自变量 是彼此独立的 ，即,证：,三、 相空间； 描述一个粒子运动状态 x ,y ,z ,px ,py ,pz ,引入以此六个参量为轴的六维空间，称为相空间。一点代表粒子的一个状态。将相空间分为六维小相槽。以d表示，有多种分法；,1),落在相槽的粒子,2）,3）,粒子在 V 中,中有多少个状态 g ？ 经典；有无数个,量子理论；,根据不确定关系，在相槽 中我们分辨不出两种状态，换句话说在六维体积 中只有一个状态。,因此在 中的状态数,20.3.1 等概率原

5、理,宏观状态与微观状态,左,右,宏观上,两部分各有多少粒子？不区分究竟是哪个粒子。,微观上,具体哪个粒子在左？哪个粒子右？,同一宏观态,两种微观态,a , b , c , d 四个粒子,4,6,4,1,1,宏观态 微观态,一个宏观态(分布)对应的微观态数目叫做该宏观态的热力学概率,等概率原理： 处于平衡态的孤立系统，各可能的微观态出现的概率相等。,对应的微观态数目多的宏观态出现的概率大,20.3.2 麦克斯韦玻耳兹曼分布 经典分布 平衡状态下，多粒子体系的分布规律。粒子如何按能级分布的。 1，经典的眼光看粒子； 1）粒子可以分辨的（可以跟踪，可以编号）。,分辨与不可分辩,abcd,可分辩 16

6、个微观状态,不可分辩, ,5个微观状态。,2）一个能级可以容纳多个粒子， 每一个状态可以容纳多个粒子。,2，理论依据； 1）等概率假设 2）平衡态是几率最大的状态 （最概然分布）,能级上每个量子态被占据的概率,讨论过程中要用到等概率假设和约束条件,约束条件: 孤立体系,各种量子态可能占据的方式数,（2） 求 取最大值的分布, 即最概然分布,(3) 求在最概然分布下, 每个能级上的粒子数,求经典粒子（例：气体分子）按能量的最概然分布的思路,(3) 个粒子分别占用能级 的 个量子态的占据方式为,系统总微观状态数（热力学概率）,(2) 为使 极大, 令,利用斯特令公式,因而,由宏观约束条件,（3）

7、由宏观约束条件确定,由拉格朗日乘子法原理,经典粒子按能级的最概然分布,M-B分布,温度为T的平衡态理想气体在能量为i的能级的每个量子态上分布的平均粒子数,20.3.3 费米狄拉克分布,费米子：自旋是1/2的奇数倍。电子，子，质子，中子等,全同性粒子。 每个状态只容纳一个粒子。,平衡状态下的孤立系统， N个粒子,能级,状态数,粒子数,Nl个粒子占据gl个状态,分布的微观态总数,得,平衡状态,利用,20.3.4 玻色爱因斯坦分布,费米子：玻色子；自旋是1/2的偶数倍。光子，介子等,全同性粒子。 每个状态只容纳多个粒子。,平衡状态下的孤立系统， N个粒子,能级,状态数,粒子数,将i个粒子放在i个位置

8、上，每个位置可容纳多个粒子。第一个量子态是固定的。,Nl个粒子占据gl个状态,平衡状态下,三种统计的比较 或,F-D,或,B-E,或,当 时，量子统计经典统计,一般，当T 高时 空位子多,M-B,FD分布举例,金属;,去掉脚标,代表能量 的每个状态上的粒子数,当 T=00K,当,0,1,费米能级,当,当 时,kT 不大时,少量电子能量增加 少量电子参与导电,导热.,N0 分子组成的固体金属在常温下,逸出功, 热电子发射,1/2,1,kT大,kT小,19.8 FD分布举例,金属;,去掉脚标,代表能量 的每个状态上的粒子数,当 T=00K,当,0,1,费米能级,当,当 时,kT 不大时,少量电子能

9、量增加 少量电子参与导电,导热.,N0 分子组成的固体金属在常温下,逸出功, 热电子发射,1/2,1,kT大,kT小,19.9 B-E 分布举例,1，推导绝对黑体普朗克公式 T 平衡分布 光子气,玻色子,平衡态；,只有一个约束,表示能量为 的光子数,设,平衡态,约束条件,应用,只考虑光子动量大小,光波是横波，一个光子有两个偏振态，因此状态数应乘以 2 ， 即,能量在 的光子数,2，光源的相干性； 为什么普通光源的光不相干,光子简并度（每个状态的光子数）,只有 才能相干,，现计算,室温下，,对于微波,易于实现相干波源,对于可见光,完全非相干光,要使 热辐射的温度要达到 50000 K，所以获得相

10、干光需另辟途径。 非平衡过程；激光,1）激励机制；光泵 造成粒子数反转 实现受激辐射 的光放大,2）激光介质,3）谐振腔,20.4 麦克斯韦-波尔兹曼统计在理想气体中的应用,20.4.1. 麦克斯韦分子速度分布,利用M-B分布可导出在没有势场情况下， 理想气体按速度的分布规律。 对理想气体，在温度T的平衡态下:,分子速度在,的概率,利用M-B分布,利用,20.4.2. 麦克斯韦分子速率分布律,如果不考虑分子速度的方向，只考虑速度大小,在T的平衡态下，理想气体分子速率在 v-v+dv 范围 内的概率（麦克斯韦分子速率分布率）,速率分布函数定义,- 概率密度,麦克斯韦速率分布函数,麦克斯韦速率分布

11、率,1、满足归-化条件:,此式常用,曲线下总面积:,概率：,2. 曲线下面积的物理意义 取宽度为 的窄条面积:,4、最概然速率（最可几速率）,- f(v)-v曲线极大值所对应的速率 vp,vp 的物理意义： vp 附近概率密度最大 （同样速率间隔dv, 速率在 vp vp+d v 的分子数最多),由,及,3、 求平均值,平均速率,方均根速率,5、 三种速率,平均速率,方均根速率,最概然速率,v,用途不同,麦克斯韦速率分布实验（施特恩实验）：,6、 f(v)-变化规律,物理意义？,速率大于v1的速率平均值,由,例1,温度T相同，哪个是H2? 哪个是O2?,都个是H2, 温度不同，哪个温度高？,v

12、p1,vp2,0,例2,用,简化运算,例3,例4：,求300K时，空气中速率在vp附近和10vp附近,单位速率区间,的分子数占总,分子数的百分比各是多少？,解：,例5,已知：,N个粒子的速率分布函数为,（C为待定常数）,求：,平均速率,解：,由,例6,一瓶气体由N个分子组成。试证不论分子速率,分布函数如何，总有,证：,例：试计算下列气体在大气中的逃逸速度和均方根速率之比H2 ，He , H2O , O2 , CO2 , 地球质量 地球半径：R=6378km,计算结果：,H2 ， He , H2O , O2 , CO2 , 5.88 8.32 17.65 23.58 27.59,讨论：1、按照统

13、计规律，分子中有大量的大于均方根速率存在。 K=2224才能保证分子不逃逸。 2、在行星形成之初，地球有大量的氢气和氦气，都逃逸了 3、二氧化碳不能逃逸，要保护环境。 4、可以推算其他星球的大气成分,用麦克斯韦速度分布函数，求单位时间内碰撞到单位面积容器壁的分子数,X轴方向垂直ds，则碰到ds的分子数为：,积分只取vx0，因为小于零不能撞ds,外力场中, 粒子在,速度在,的分子数,对所有速度积分,由速度分布函数的归一化条件,得,得体积元dxdydz内的总分子数:,20.4.3 重力场中粒子按高度的分布,用空间粒子数密度表示:,n0为 Ep =0 处的粒子数密度,重力场中,重力场中粒子按高度的分

14、布,- 恒温气压公式,空气密度,气体压强,可以看作单位面积上空气柱重量,由,重力场中粒子按高度的分布,另一种推导方法：,20.5 能量按自由度均分定理 理想气体内能,1、自由度,确定一物体的位置所需的独立坐标的数目 s,1)平动自由度 t,动能为三个独立的速度分量的平方项之和,2)转动自由度 r,转动动能为三个独立的角速度分量的平方项之和,刚体的自由运动,(平动) 加 (转动),3)振动自由度,两个质点间相对位置的变化,动能为六个独立的平方项之和,能量为二个平方项之和,若有 v 个振动自由度，能量为2v个平方项之和,v 个动能，v个势能,2、分子的自由度,单原子分子(He、Ne、Ar等),只有

15、平动自由度,能量表达式中有三个独立平方项,双原子分子(O2、H2、CO等),刚性,能量表达式中有五个独立平方项,多原子分子（H2O、CH4）,刚性,能量表达式中有六个独立平方项,分子、平衡态,20.5.1 能量按自由度均分定理：,动能表达式中，每一个平方项的平均值都是,在温度为T的平衡态下，系统中分子能量表达式中每一个独立的平方项都具有相同的平均热运动能量，其大小等于,一个分子的总平均能量,20.5.2 理想气体内能,内能是状态量.,通常,理想气体的内能是温度的单值函数,广义内能：系统内所有粒子各种能量的总和.,热力学内能：系统内所有分子热运动动能和分子间 相互作用 势能之和.,理想气体内能：

16、仅为分子热运动动能之和.,只含有一种分子的 1 mol 理想气体,单原子分子 双原子分子 多原子分子,平均动能,1 mol 理想气体的内能,发难： 荷兰化学家 巴洛特 - 扩散与,矛盾,分子运动论的佯谬,解释：,粒子走了一条艰难曲折的路,分子热运动 碰撞示意图,20.6 分子碰撞的统计规律,20.6.1 .分子平均碰撞频率,分子平均碰撞频率,假设：,1)同种分子，分子有效直径,2)弹性碰撞,3)一个分子运动，其余不动,一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数称为平均碰撞频率，,由于分子向各个方向运动的概率相同, 所有两分子运动方向的平均夹角将是 0至 180之间的平均值 90,因此,所以,即每秒内一个分子要发生几十亿次踫撞.,分子平均碰撞频率,例：H2常温常压,常温常压下, 数量级为,20.6.2.平均自由程,平均自由程