第四章根轨迹1

1、自动控制原理,郑州轻工业学院电气信息工程学院 自 动 化 教 研 室,主讲：姜素霞,4.1 根轨迹概念 4.2 根轨迹方程 4.3 绘制根轨迹的基本法则 4.4 广义根轨迹 4.5 附加开环零点的作用 4.6 系统性能分析与估算,第四章 根轨迹法,在经典控制理论中，常用的分析方法有： 时域分析法、根轨迹法、频域分析法 （第三章） （第四章） （第五章）,内 容 提 要,根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统 的一种图解方法。使用简便，尤其是在进 行多回路系统分析时，根轨迹方法比其他 方法更加方便，在工程实际中应用广泛。,闭环极点在s平面上的位置决定系统的性质，设计控制系统的目的就是要通过调节系统

2、的参数，使闭环极点位于s平面适当的位置上。 求闭环极点，即闭环特征方程的根，对于三阶以上系统较困难。而且当开环增益K变化时，分解多项式因子就更难了。 根轨迹法通过图解的方式表示了闭环特征根与系统某一参数之间的关系图，简单直观。 根轨迹法的基础是传递函数，因此根轨迹法仅仅适用于线性定常系统。,内 容 提 要,4.1 根轨迹概念,根轨迹法: 三大分析校正系统性能方法之一,根轨迹定义：,根轨迹简称根迹，是指开环系统中的某一参数由0变化时，闭环特征方程的根在s平面上相应变化所描绘出来的轨迹。,特点：,（1）图解方法，直观、形象。 （2）适用于研究当系统中某一参数变化时 系统性能的变化趋势。 （3）近似

3、方法，不十分精确。,例4.1 系统结构如图所示，分析闭环极点随开环增益K变化的趋势。,解：,闭环传递函数：,特征方程：,特征根：,系统绝对稳定,4.1 根轨迹概念,重要性：,当开环增益或其他参数改变时，其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上确定； 由于系统稳定性与闭环极点的位置相关，因此根轨迹给出了闭环系统时间响应的全部信息； 根轨迹指明了开环零、极点怎样变化才能满足期望的闭环系统性能指标要求。,4.2 根轨迹方程,闭环传函：,开环传函：,m=f+l为开环系统的零点数，n=q+h为开环系统的极点数,-前向通道根轨迹增益,-反馈通道根轨迹增益,特殊情况举例：,1,一般情况：, 模值条件, 相角

4、条件,m=f+l 为开环系统的零点数，n=q+h为开环系统的极点数,根轨迹方程：,m个零点,n个极点,（nm）,幅值条件,相角条件（k=0, 1,2, ）,特征方程：,Zi开环零点，用“”表示,是常数！,pi开环极点，用“”表示,也是常数！,展开后,根轨迹方程,1）幅值条件与开环零点、极点、开环根轨迹增益都有关系，是必要条件。,）相角条件只与开环零点、极点有关系，是充分必要条件。,例4.2 求根轨迹方程,单位负反馈系统开环传递函数,化简可得：s(s+1)(s+2)+(s+2)+k=0 即：(s+2)(s2+s+1) +k=0,等效开环传递函数,开环传递函数,等效体现在哪里？,等效体现在闭环极点

5、相同!,开环极点（“”）,p1=0,开环零点（“”）,例4.3 判断某一点是否在根轨上,相角条件,即,1为开环零点z1至s1的相角,1、2、3、4为开环极点至s1的相角。,如果相角条件成立，则s1 一定是根轨迹上的点！,!相角均以逆时针方向读数,根据幅值条件求,模值条件,解:,例4.4 系统结构如图所示，判断根轨迹上的点,闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点 闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关,系统结构图如图所示，确定闭环零点,补充：闭环零极点与开环零极点之间的关系,3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道根轨迹增益。,1）闭环系统的零点数=,2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点

6、以及根轨迹 增益均有关；,！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出所有的闭环极点在s平面上的分布。,单位反馈系统,（1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；,（2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。,！根轨迹增益K* ，不是固定常数 , 而是从0 变化的量。,+反馈通道的极点,前向通道的零点,4.3 绘制根轨迹的基本法则（八条）,法则一：根轨迹的起点和终点,法则二：根轨迹的分支数和对称性,法则三：实轴上的根轨迹,法则四：根轨迹的渐近线,法则五：根轨迹的分离点和分离角,法则七：根轨迹的起始角和终止角,法则八：闭环特征方程的根之和,法则六：根轨迹与虚轴的交点,根轨迹

7、方程,所以s=zj (j=1,2,m),起点:K*=0,所以s=pi (i=1,2,n),即,终点:K* ,即,通常,，其余n-m条终止于无穷远,图示,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；若开环极点数n多于开环零点个数m，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。,法则一：根轨迹的起点和终点,分支数等于开环有限零点个数m或有限极点个数n中的大者，即系统的阶数；,m条根轨迹分支终止于开环零点（有限值零点) ；（nm）条终止于（nm）个无限远零点；,n阶系统有n个根，K* (0 )变化时,n个根随之变化，产生n条根轨迹；,开环零、极点已确定的情况下， ）各闭环系统特征方程的根随K的变化是连续的； ）

8、根为实根或共轭复根，所以根轨迹必然对称于实轴。,仅画出s平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部镜象求得。,根轨迹对称于实轴：闭环极点 若为实数，则位于实轴上；若为复数，则共轭出现，所以对称于实轴。,法则二：根轨迹的分支数和对称性,根轨迹沿着渐近线趋于无限远处；,渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合的渐近线）；,（k=0，1，2，）,证明,根轨迹方程,式中,法则三：根轨迹的渐近线,当系统nm时，有（nm）条根轨迹分支终止于无限远零点，其中渐近线与正实轴的夹角为，交点为 。用虚线表示,长除,K*时，s，取前两项,改写为模和相角的形式,两边开（nm）次方,牛顿二项式定理展开， 由于s，忽略分母 为s的二次

9、幂和二次幂 以上各项,式中,整理后,渐近线与实轴的交点,渐近线与实轴的夹角,说明：,1）当k值取不同值时， 有（nm）个值，而交点a不变；,2）根轨迹在s时的渐近线：（nm）条以a为交点， 以 为夹角的一组射线。,例4.5 已知开环传函，求根轨迹的渐近线,零点:,渐近线,例4.6 已知,，绘制根轨迹 。,解. 实轴上的根轨迹：-2，0,渐近线：,例4.7已知系统的开环传递函数，确定根轨迹的渐近线。,四个开环极点：,一个开环零点:,n-m=4-1=3,渐近线与实轴交点：,渐近线与实轴正方向的夹角：,已知开环传递函数,判断s1,s2两个点是否为根轨迹上的点。,一个开环极点 P1=0,负实轴上点 s

10、1,s2=-1-j,负实轴上都是根轨迹上的点！满足相角条件。,负实轴外的点都不是根轨迹上的点！不满足相角条件。,练习：,负实轴外的点,上节内容回顾,学习根轨迹法的目的？,根轨迹的定义？,根轨迹法：根据开环系统的零点和极点，不用通过求解闭环特征方程，找出所有的闭环极点在s平面上的分布。,根轨迹：开环系统中某一参数由 0 变化时，相应的闭环极点在s 平面变化所描绘出来的轨迹。,上节内容回顾,根轨迹方程,根轨迹增益：,根轨迹增益K* ，不是定常数 , 而是从0 变化。,上节内容回顾,相角条件（充要条件）：,幅值条件（必要条件）：,上节内容回顾,法则 3 渐近线,法则 1 根轨迹的起点和终点,法则 2

11、 根轨迹的分支数，对称性和连续性,法则 4 实轴上的根轨迹区域,绘制根轨迹的基本法则（八条）,实轴上某一区段的右侧，若开环实零点与开环实极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹区域。,开环零点：z1,开环极点：p1、p2、p3、p4、p5,在实轴区段p2，p3上任取一个试验点s1,每对共轭复数极点、零点所提供的相角之和为2（不计）,位于实轴上s1左侧的每个极点或 零点提供的相角为0（不计）,位于实轴上s1右侧的每个极点或零点提供的相角为（影响）,等效条件是,法则四：实轴上的根轨迹区域,为的奇数倍,所以s1点在根轨迹上的,例4.8 已知开环传递函数，确定实轴上的根轨迹区域。,-1，-2 右侧实

12、数零、极点个数=3。,-4，-6 右侧实数零、极点个数=7。,0，0 右侧实数零、极点个数=1 (图上无法表示)。,本次课程重点内容,法则 8 闭环特征根之和,法则 5 根轨迹的分离点,法则 6 根轨迹与虚轴的交点,法则 7 根轨迹的起始角和终止角 ，,如果实轴上相邻两个极点之间或两个零点之间是根轨迹区域(零点、极点可能位于无穷远处)，则在这两个极点或零点之间必然存在分离点，如图所示。,分离点的坐标d是右侧公式的解,分离点要么位于实轴，要么以共轭复数对的形式出现。,法则五：根轨迹的分离点,两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇又分开的点，称为 根轨迹的分离点，令其坐标为（d,0）。,解:,三条根

13、轨迹，开始于0、2、3，终止于有限零点1和两个无限零点,法则4实轴上0,1和2,3为根轨迹区域；,法则3 两条渐近线（nm2), 与实轴交点及夹角为：,法则5实轴上的分离点，且在区段2,3之间,根轨迹如图所示,例4.10:开环零点 ，极点 ，试绘制概略根轨迹。,法则1，2,方法一：令 代入闭环特征方程，然后令虚部和实 部分别为零，即可求 出与虚轴交点处的 值。 方法二：根轨迹与虚轴有交点时，交点处的特征根会使系 统临界稳定，如果令劳斯表中第一列出现全零行 即可找出此时的 值和 值。,证明 根轨迹与虚轴有交点，即存在纯虚根，此时系统临界 稳定。根据劳斯判据，令表中第一列含 行为零，再利用 全零行

14、的上一行的系数构造辅助方程，求解辅助方程即可 得根轨迹与虚轴交点处对应的值；此时纯虚根对应的 值 亦知。 若根轨迹与正虚轴有一个以上的交点，令劳斯表中幂大 于2的偶次方行构成辅助方程。,法则六：根轨迹与虚轴的交点,补充定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，并且在复平面上存在根轨迹， 则复平面上的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆或者圆弧。,例4.14单位反馈系统的开环传递函数为 ，绘,解.,渐近线：,实轴上的根轨迹：(-,-2，-1,0,制概略根轨迹。,分离点：,整理得：,解根：,与虚轴交点：?,解法1：,例4.14 续,Routh ：,解法2：,稳定范围 ：0K*6,起始角 : 从开环复数极

15、点出发的一条根轨迹的切线与正实轴的夹角。,起始角的一般计算式(0360),终止角 :进入开环复数零点处根轨迹的切线与正实轴的夹角。,终止角一般计算式(0360),法则七：根轨迹的起始角和终止角,s1无限接近p1，所以,起始角：,由此可以推广到n个极点和m个零点，终止角的证明雷同！,证明 如图, 1个有限零点，3个有限极点，p1、p2为共轭复数 极点。在无限接近p1点附近取s1，所有开环极点、零点到s1点的向量相角为,p1到s1的向量相角即起始角,s1满足相角条件:,例4.15 单位反馈系统的开环传递函数为，绘制概略根轨迹。,解：,例4.15 单位反馈系统的开环传递函数为,解.,渐近线：,实轴上

16、的根轨迹：-20, 0,绘制概略根轨迹。,分离点：,试根得：,虚轴交点：,起始角：,例4.15（续）,渐近线：,分离点：,虚轴交点：,出射角：,稳定的根轨迹增益范围：0 K* 1389 稳定的开环增益范围：0 K 3.4725,本次课程作业（1）,4-1，4-2(2) 4-3(1)，4-4,练习： 已知系统结构图，绘制根轨迹。,解.,渐近线：,实轴上的根轨迹区域：(-,0,与虚轴交点坐标：,起始角：,绘制根轨迹法则小结,上节课程内容回顾,证明：,n-m 2时，闭环特征根之和保持一个常值,由代数定理可知：,n-m 2时，一部分根左移，另一部分根必右移，移动总量为零。,法则八：闭环特征方程的根之和

17、,例4.16 系统结构图如图所示。,解. (1),渐近线：,实轴上的根轨迹区域：-4,-2, -1,0,（1）绘制当K*=0时系统的根轨迹；,（2）当Res1 = -1 时，s3=?,用根之和法则分析绘制根轨迹图形：,(2),开环极点：p1=0,p2=-1,p3=-4,四条分支，始点0，4和2j4，全部终 止于无限远零点。 实轴 0,4区为根轨迹。,例4.17,开环传递函数,分离点,在p3、p4连接线上,根轨迹图,0,j,j2.45,-4,-2,实数分离点,开环零、极点个数均为偶数， 且左右对称分布于一条平行于虚 轴的直线，则根轨迹一定关于该 直线左右对称。,解 :,和虚轴的交点,由劳思判据得

18、交点处的,根轨迹图如图示,p1,p4,p3,p2,起始角,渐近线,根轨迹示例一,根轨迹示例二,j,0,利用幅值条件，可求特定K值时的闭环极点。对于高阶系统，常用试探法先求闭环实数极点数值，然后用综合除法得到其余的闭环极点。 如果在特定的K*值下，存在共轭复数闭环极点，也可以通过概略根轨迹图，用上述方法求取。,4.3.2 闭环极点的确定,根轨迹图如示，,解：,例4.19 已知开环传递函数，求系统的闭环极点,分离点d=-0.423，对应K*=0.385,虚轴的交点,，对应K*=6，,（0.385，6）,有一对共轭复根，,由幅值条件,即,在s= -2的左侧选s点，试探得闭环实极点,s1= -2.34

19、,特征方程,应用综合除法，得,s2=-0.33+j0.58 ， s3=-0.33-j0.58,d,1.14,-1.14,广义根轨迹包括：参数根轨迹、零度根轨迹、多回路根轨迹等；,K*从0变化绘制的根轨迹为常规根轨迹 或 180o根轨迹,本节内容：参数根轨迹和零度根轨迹,4.4 广义根轨迹,4.4.1 参数根轨迹,绘制法则与常规根轨迹一样，但要对闭环特征方程进行简单处理。,以开环传递函数中除K*之外的参数为未知变量，绘制的根轨迹称为参数根轨迹；,1+G(s)H(s)=0，,等效变换后,参数根轨 迹方程,等效开环传递函数 “等效”的含义为 闭环极点相同！,A为可变参数,P(s)、Q(s) 是不含A

20、的s多项式,1+G(s)H(s)=Q(s)+AP(s)= =0,参数根轨迹的闭环极点即为原系统的闭环极点,但闭环零点不一定为原系统的闭环零点,例4.20 绘制Tm从0 时的根轨迹图,原系统的闭环特征方程 Tms2 + s + K = 0,解：,根轨迹图,新的等效闭环特征方程为,1+G(s)H(s)=Q(s)+AP(s)=,例4.21 结构图分别如图示，要求： (1)绘 时，图(a)系统的根轨迹； (2)绘 时，图(b)系统的根轨迹； (3)确定 值，使两个系统的闭环极点相同。,得d=-2，根轨迹如图所示。,解：1）,开环极点p1=0，p2=0; 开环零点z=-1,有一个分离点，由分离点方程,令

21、 Da(s)=Db(s)=(s+2)2,2）,等效开环传递函数,p1=j2，p2= -j2 z=0,分离点,得d=-2 根轨迹如图所示,由图示，两条根轨迹公共交点对应重极点s1,2= -2,3）,两条根轨迹的公共交点即对应重极点s1,2= -2,例4-23 ：(1)试绘制如下开环传递函数a=0 变化的根轨迹； (2) a=0变化时，分析闭环系统的运动特性。,解. (1),渐近线：,实轴根轨迹区域：(-,-0.5，-0.5,0,分离点：,整理得：,与虚轴交点：,构造 “ 等效开环传递函数 ”,解. (2) 对应于分离点 d时的 ad=2/7,C(t) 振荡发散,C(t) 振荡收敛,C(t) 单调

22、收敛,4.4.2 零度根轨迹,相角遵循 的条件时，按零度根轨迹绘图。,零度根轨迹产生的原因： 非最小相角系统中最高次幂的系数为负； 控制系统中包含正反馈回路。,1、,2、,局部正反馈系统框图,内环传递函数,特征方程,内环为正反馈,幅值条件：,相角条件：,即,绘制正反馈系统根轨迹的基本规则,（1）起点和终点 （2）分支数、对称性,（7）(规则3)实轴上的根轨迹区域：实轴上某一区段的右侧 开环实零、极点数目和为偶数，则该区域为根轨迹(0也视为偶数),（3）渐近线(与实袖的交点),（9）(规则6)根轨迹的起始角和终止角,（5）与虚轴的交点 （6）闭环极点的和与积,与常规根轨迹规则相同,（8）(规则4

23、)渐近线与实轴正方向的夹角,（4）分离点坐标,例 4.26,单位负反馈系统开环传递函数,其中a0,，绘制闭环系统根轨迹。,此时，闭环系统根轨迹为零度根轨迹！,上节内容回顾,参数根轨迹,1+G(s)H(s)=0，,等效变换后,参数根轨 迹方程,等效开环传递函数 “等效”的含义为 闭环极点相同！,A为可变参数,P(s)、Q(s) 是不含A的s多项式,1+G(s)H(s)=Q(s)+AP(s)= =0,参数根轨迹的闭环极点即为原系统的闭环极点,上节内容回顾,零度根轨迹,相角遵循 的条件时，按零度根轨迹绘图。,（1）起点和终点 （2）分支数、对称性,（7）(规则3)实轴上的根轨迹区域：实轴上某一区段的

24、右侧 开环实零、极点数目和为偶数，则该区域为根轨迹(0也视为偶数),（3）渐近线(与实袖的交点),（9）(规则6)根轨迹的起始角和终止角,（5）与虚轴的交点 （6）闭环极点的和与积,与常规根轨迹规则相同,（8）(规则4)渐近线与实轴正方向的夹角,（4）分离点坐标,零度根轨迹的绘制法则,分离点,得d1= -2.732，d2=0.732,得 K*=6， s1,2= j1.414 根轨迹如( 动画 ),例4.27 绘开环传递函数单位正反馈系统的根轨迹图。,正反馈根轨迹方程,解：,有限极点为-2、- 4，有限零点为-1；,渐近线,实轴区域,-4，-2， -1，）,与虚轴的交点 s2+(6-K*)s+8

25、- K*=0,4.5 附加开环零、极点的作用,适当增加开环零点调整根轨迹形状，可以获得理想的系统性能。分子上增加（s+z）：m增大，zj增大,渐近线与实轴的夹角随着m增大而增加,渐近线与实轴的交点随着-z 增大（零点在实轴上向右移动） 交点位置右移,能够改善系统的稳定性！,分析 (s+z)对根轨迹的影响,开环传递函数,无开环零点,附加一个零点 根轨迹向左移,s=-z,4.5 附加开环零、极点的作用,根轨迹又左移 和虚轴无交点,根轨迹又左移 和虚轴平行,增加开环零点，可以改善系统稳定性！ 开环零点右移，根轨迹左移，稳定性提高，零点越大， 改善作用越明显。 开环零点左移，根轨迹右移，稳定性降低，零

26、点越小， 改善作用越明显。,原系统根轨迹,要求：1）绘H(s)=1时的根轨迹图，并判断系统稳定性； 2）绘H(s)=2s+1时的根轨迹图，并判断稳定性。,例4.28 如图示,分离点,解得d1=0，d2=-4，根轨迹如图。,解：1）p1=p2=0，p3=-2，p4=-5， 实轴根轨迹 -5，-2，0，0； 渐近线,系统恒不稳定,实轴根轨迹 (，-5，-2，-0.5，0，0。,与虚轴的交点,K*=22.75,（2）H(s)=2s+1时，,增加一个开环零点,特征方程：,渐近线,附加开环零点，可以用于抵消对系统稳定性能有不利影响的极点！因此，可以用来改善系统的稳定性能！,开环传递函数上附加极点,附加开

27、环极点对根轨迹的影响,增加一个极点的情况,渐近线与实轴交点随着pi增大（pi点在实轴上向右移）而右移，更靠近坐标原点 。,向右弯曲趋势加剧,渐近线与实轴正方向的夹角随着n数增大而减小,根轨迹向右方向弯曲,降低了系统的相对稳定性,练习： 结构图如右图所示,解. (1),渐近线：,实轴上的根轨迹：-0.5, 1.75,（1）绘K= 0 时的根轨迹；,（2）分析系统稳定性随K*变化的规律。,与虚轴交点：,（2）分析稳定性随K变化规律。,开环稳定 闭环稳定,负反馈未必一定能改善系统性能,C(t) 单调发散,C(t) 收敛,C(t) 振荡发散,4.6 系统性能分析与估算,4.6.1 主导极点、偶极子,根

28、轨迹,当闭环零、极点之间的距离与它自身的模值相比小一个数量级时，这一对闭环零、极点构成了偶极子。,开环系统中某一参数变化时系统性能,系统闭环极点,闭环零点,系统闭环传递函数,当分析高阶系统时主要利用闭环主导极点的概念。 主导极点是指对系统起主导作用的极点，它们的实部要比非主导极点的实部小5倍以上，而且又不十分接近闭环零点。,偶极子是指一对相互距离很近的闭环零点与闭环极点。,4.6 系统性能分析与估算,主导极点法就是保留靠近虚轴，但又不十分接近闭环零点的一个或几个闭环极点作为主导极点，忽略非主导极点和偶极子对系统性能的影响，这样高阶系统就可以大大简化，可化为比较容易处理的低阶系统。,特别说明：当需要选留主导零点来改进系统性能时，选留的主导零点个数不要多于主导极点个数。,如果偶极子不是很靠近坐标原点，对系统的动态性能影响较小，可以忽略；如果距离原点很近，则必须考虑。,三阶系统近似为二阶系统，与典型二阶系统相比,解：共轭复数极点 实极点s3=-3.53，且 则称S 1,2为闭环主导极点 忽略非主导极点s3，闭环传递函数可简化为,例4.29 应用闭环主导极点法的概念估算系统性能。,超调量和调节时间为:,4.6 系统性能分析与估算,利用根轨迹分析系统性能的基本步骤, 绘制系统根轨迹； 依题意确定闭环极点、闭环零点的位置； 保留主导极点，利用零、极点法估算系