7材料力学课后题答案

1、第七章应力状态（训练题）答案第七章应力状态（训练题）答案 （一）填空与改错题： 1、有 一 个 主 应力不为零时称为单向应力状态；当有 二 个 主 应力 不为零时称为二向应力状态或 平面 应力状态； 当 三 个 主 应力都不 为零时称为三向应力状态或 空间 应力状态； 2、构件受力如图所示，图A）的危险点在 固定端（如考虑自重），应力状态为 单向 应力状态，应力大小为（ F 2 4 d =） ；图B）的危险点在 BC段表面，应力 状态为 纯剪切应力状态，应力大小为（ max 3 2 16 e M d =） ；图C）的危险点在 固定 端上下边缘 ，应力状态为 二向 应力状态，应力大小为（ max

2、 3 32 Fl d =， max 3 16 e M d =） ；图D）的危险点在 轴表面 ，应力状态为 二向 应力状态，应力 大小为（ max 2 4 F d =， max 3 16 e M d =） 。 3、图（1）所示为一单元体的应力状态，已知正应力为，切应力为=/2，则单 元体的最大切应力max 和沿z方向的正应变z应为 C） 。 ),1 (, 2 3 ), 2 ) maxmax = E B E A zz ) 2 1 (, 2 ), 4 3 ) maxmax = E D E C zz 4图（2）所示为A、B两点的应力状态，设0，则A点处于 三 向应力状 态；B点处于 二 向应力状态，其

3、主应力2= ；若为脆性材料时， 按第一理论进行强度计算，两点中 B 点更危险。 5当单元体的1，2，3，E都已知时， 单元体的体积应变() 123 12 E =+， 应变能密度() 222 123122331 1 2 2E =+ ， 畸变能密度()()( 22 d12233 1 6 ) 2 1 E + =+ 。 6当某点主应力1，2，3，及已知时，材料的EI=常数。若材料为铸铁，一般 应选取第 一 和第 二 强度理论进行强度计算，相当应力应为（ 1r1 =）和 （( 2123r ) =+） ；若材料为钢，一般应选取第 三 和第 四 强度理论， 相当应力为（ 31r3 =）和（()()() 22

4、 412233 1 2 r 2 1 =+ ） 。 （二）作图题与计算题： 1、在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面 ab 上的应力。应力的单位 为 MPa。 A) B) A) 解：=70MPa x ，=70MPa y ，=0 x ， 30= o ()() cos2sin2 22 70707070 cos(2 30 )0 sin(2 30 ) 22 35MPa xyxy x + =+ + =+ = () sin2cos2 2 7070 sin(2 30 )0 cos(2 30 ) 2 60.62MPa xy x =+ = + = B) 解：=100MPa x ，=50MPa y ，=0

5、x ， 60= o cos2sin2 22 1005010050 cos(2 60 )0 sin(2 60 ) 22 62.5MPa xyxy x + =+ + =+ = sin2cos2 2 10050 sin(2 60 )0 cos(2 60 ) 2 21.65MPa xy x =+ = + = 2、应力状态如图，应力单位MPa。 试用解析法和图解法求： （1）主应力大小， 主平面位置； （2）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； （3）最大切应力。 A) B) A) 解：=50MPa x ，=0 y ，=20MPa x 2 max222 min 57 500500 ()20M 7222

6、2 xyxy xy + + =+=+= Pa 主平面方位： 0 20 tan20.8 500 2 2 x xy = = = 所以， 0 19.33= o 主应力： 1 57MPa=， 2 0=， 3 7MPa= 13 max 32MPa 2 = B) 解：=50MPa x ，=0 y ，=20MPa x () 2 2 max22 min 57 500500 ()20M 72222 xyxy xy + + =+=+ = Pa 主平面方位： () 0 20 ta n20.8 500 2 2 x xy = = = 所以， 0 19.33= o 主应力： 1 57MPa=， 2 0=， 3 7MPa=

7、 13 max 32MPa 2 = 3、锅炉直径D=1m, 壁厚=10mm, 内受蒸汽 压力p=3 MPa。试求： （1）壁内主应力 1、2 及最大切应力max； （2）斜截面ab上的正应力 及切应力。 解：（1） 沿纵向截开锅炉， 由平衡， 得 1 2p D=? 所以， 环向应力 1 150MPa 2 pD = 沿横向截开锅炉，由平衡，得 2 2 4 pDD =? 所以，轴向应力 2 75MPa 4 pD = 壁内主应力 1 150MPa=， 2 75MPa=。另 3 0p= ，故可视为二向应力状态。 13 max 75MPa 2 = （2）斜截面上的正应力及切应力 ab 2 75MPa x

8、 =， 1 150MPa y =，0 x =， 60= o ()() cos2sin2 22 75 15075 150 cos 1200 sin 120 22 131MPa xyxy x + =+ + =+ = sin2cos2 2 75 150 sin(2 60 )0 2 32.5MPa xy x =+ = + = 4、列车通过钢桥时，在钢桥横梁的A点用变形仪量得x=0.0004, y=-0.00012。试 求A点在xx及yy方向的正应力。设E=200 GPa, =0.3。并问这样能否求出A点 的主应力？ 解：因为0 z =，根据广义胡克定律 () 1 xxyz E =+ () 1 yyzx

9、 E =+ 将测得的 x 、 y 值代入上二式，得 1 0.00040.3 xy E = （1） 1 0.000120.3 yx E = （2） 联立（1） 、 （2）式，求得80MPa x =，0 y =。因 xy 未知，故不能求出主应力。 5、在一个体积较大的钢块上开一个贯穿的槽，其宽度和深度都是10mm。在槽 内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，它的尺寸是101010 mm3。当铝块受到压力 F=6 kN的作用时，假设钢块不变形。铝的弹性模量E=70 GPa，=0.33。试求铝 块的三个主应力及相应的变形。 解：假想将铝块移出 () 3 6 6 10 Pa60MPa 10 1010 y F A

10、 = = = 因为面为自由边界，所以z0 z = 又因为x面受刚性约束，所以0 x =， 应用广义胡克定律 () 1 0 xxyz E =+ = 得0.33 60MPa19.8MPa xy = = 1 0=， 2 19.8MPa= ， 3 60MPa= z方向： () () 1123 6 9 4 1 1 00.3319.86010 70 10 3.76 10 E =+ = = x方向：() 2231 1 0 E =+ = y方向： () () 3312 6 9 4 1 1 600.330 19.810 70 10 7.64 10 E =+ = = 相应的变形： z方向： 43 11 1 3.7

11、6 1010mm3.76 10 mmll = x方向： 2 0l= y方向： 43 33 3 7.64 1010mm7.64 10 mmll = = 6从构件内某一点的周围取出一单元体如图示。根据理论计算已经求得 =30 MPa, =15 MPa。材料的 E=200 GPa, =0.30。试求对角线 AC 的长度改变l。 解：欲求对角线AC的长度改变，必须先知道lAC方向上的应变，沿AC方向取单元体， 如图（b）所示。该单元体除正应力外，还有切应力，但它对线应变不产生影响。 () ()()cos 2 30sin 2 30 22 3030 cos6015sin60MPa 22 35.5MPa n

12、 =+ =+ = () ()()cos 2 120sin 2 120 22 3030 cos24015sin240MPa 22 5.49MPa t =+ =+ = 对角线AC方向的应变 6 9 6 1 1 35.50.33 5.4910 200 10 187 10 nnt E = =+ = 所以对角线AC的伸长量 3 63 25 10 187 10m9.35 10 mm sin30 ACn ll = 7炮筒横截面如图所示。在危险点处，t=550 MPa, r=-350 MPa, 第三个主应力 垂直于图面是拉应力，且其大小为420 MPa。 试按第三和第四强度理论，计算 其相当应力。 解： 1t 550MPa=， 2z 420MPa=， 3r 350MPa= r313 900MPa= ()()() 22 412233 1 2 842.56MPa r =+ = 2 1 8铸铁薄管如图示。管的外径为 200mm, 壁 厚 =15mm, 内 压 p=4 MP