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文档简介

1、11.4.1 函数项级数的一般概念,定义:,11.4 幂级数,收敛点与收敛域:,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,和函数:,解,由比值判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,收敛;,发散;,11.4.2 幂级数及其收敛性,定义:,证明,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,证明,由比值审敛法,定理证毕.,例2 求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛,该级数发散,发散,收敛,故收敛区间

2、为(0,1.,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为,11.4.3 幂级数的运算,1.代数运算性质:,(1) 加减法,(2) 乘法,(其中,柯西乘积,(3) 除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),2.和函数的分析运算性质:,幂级数的和函数在收敛区间内连续,(收敛半径不变),(收敛半径不变),思考,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,解答,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,解,两边积分得,解,收敛半径为1,常用已知和函数的幂级数,小结,2.幂级数的收敛性:,收敛半径R,3.幂级数的运算:,分析运算性质,1.函数项级数的概念:,习题,习题11.4

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