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文档简介

1、第五章 变 分 法 简 介,胡 衡 武汉大学土木建筑工程学院,弹 性 力 学 及 有 限 元,二零零八年六月,函数的变分,如果对于变量 x 在某一变域上的每一个值，变量 y 有一个值和它对应，则变量 y 称为变量 x 的函数, 记为：,如果由于自变量 x 有微小增量 dx，函数 y 也有对应的微小增量 dy，则增量 d y 称为函数 y 的微分, 记为：,假想函数 的形式发生改变而成为新函数 ，如果对于 x 的一个定值，y 具有微小增量：,增量 称为函数 的变分。,函数的变分,y,x1,x2,x,u 是函数 u的变分。,A,B,z,泛函及其变分计算,泛函：如果对于某一类函数 中的每一个函数 ,

2、变量 J 有一个值和它对应，则变量 J 称为依赖于函数的泛函，简单的说，泛函就是函数的函数。记为：,例如，连接平面内给定的两点之间的曲线长度可以写为：,显然，曲线长度依赖于函数 的形式，则 是函数 的泛函。,泛函及其变分计算,设泛函 I 有如下形式：,下面计算泛函 I 的变分：,首先，函数 的变分为：,泛函及其变分计算,接着考察泛函 I 的变分：,另一方面：,只要积分上下限不变，变分的运算可以和定积分的运算交换次序。,泛函及其变分计算,泛函 I 在曲线 上达到极大值或极小值的必要条件为：,例如对于：,其达到极值必须有：,泛函及其变分计算,设函数 通过A，B两点，且具有边界条件：,试写出泛函,的

3、极值条件。,泛函及其变分计算,简例，试求连接平面内给定两点之间的曲线长度最短时的曲线函数。,弹性体的形变势能,弹性力学变分法中所研究的泛函，就是弹性体的能量，如形变势能，外力势能等。因此弹性力学中的变分法又称为能量法。,弹性体的形变势能密度为：,弹性体的形变势能为：,对平面问题：,弹性体的形变势能,弹性体的形变势能,由上式可知，弹性体的形变势能大于等于零，试证明之。,弹性体的外力势能,外力所做的功称为外力功：,由于外力做了功，因此消耗了外力势能，则弹性体的外力势能为：,体力,面力,面力作用面,位移变分方程,现在我们来考察，由于弹性体发生了虚位移 和 ，所引起的外力功，外力势能和形变势能的改变：

4、,位移变分方程 W. Ritz， 1878-1909，瑞士。),位移变分法例题（a-1）,设有宽度为a高度为b的矩形薄板，在左边受连杆支撑，在右边及上边分别受有均布压力q1及q2，不计体力，试求薄板的位移。,1. 由于所有边界上都没有不等于零的已知位移，所以设定位移函数满足位移边界条件:,总有：,2. 只取A1，B1两个待定系数：,位移变分法例题（a-2）,代入形变势能表达式,得到,位移变分法例题（a-3）,得到,位移变分法例题（a-4）,x,y,q1,q2,得到,即便多取几个未知数Am，Bm，所得解答也为上式，且该解答就是此类问题的精确解，因为它能满足平衡微分方程及应力边界条件。,位移变分法例题（b-1）,设有宽度为2a高度为b的矩形薄板，它的左右及下边界均被固定，而上边的自由边界有给定位移:,不计体

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