走向高考数学2011第3篇2-2

1、第二讲双 曲 线,重点难点 重点：双曲线定义、标准方程与几何性质 难点：双曲线几何性质的应用和求双曲线方程 知识归纳,1双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,2双曲线的标准方程与几何性质,3.双曲线的形状与e的关系： e越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔,4基础三角形如图，AOB中，|OA|a，|AB|b，|OB|c，tanAOB ，OF2D中，|F2D|b.,5共渐近线的双曲线系方程： 与双曲线 1有相同渐近线的双曲线系方程可设为 (0)，若0

2、，则双曲线的焦点在x轴上；若0，则双曲线的焦点在y轴上,误区警示 1注意双曲线的几何量a、b、c关系是c2a2b2应与椭圆区别 2在双曲线有关计算和证明中，要分清焦点在哪个轴上，不知道焦点位置时要分类讨论，或直接设双曲线方程为Ax2By21(AB0)，据方程判断焦点的位置时，也要注意与椭圆的区别椭圆看a与b的大小，双曲线看x2、y2系数的正负 3解决与双曲线上的点有关问题时，有时候还要区分点在哪支上,5平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点,函数思想 例1直线m: ykx1和双曲线x2y21的左支交于A、B两点，直线l过点P(2,0)和AB线段的中点，求l在y轴上的截距b的取值范围

3、,总结评述：因为b的变化是由于k的变化引起的，且m有固定的位置时，l也有确定的位置，即对于k的每一个允许值，b都有确定的值与之对应，因此b是k的函数,例1已知两圆C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，动圆M与两圆C1、C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(),解析：如图，动圆M与两圆C1、C2都相切，有四种情况：动圆M与两圆都相外切，动圆M与两圆都相内切；动圆M与圆C1外切、与圆C2内切. 动圆M与圆C1内切、与圆C2外切. 在的情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x0；在的情况下，设动圆M的半径为r，则,总结评述：要注意在“分类讨论思想”指导下利用双曲线的定义,(文)若椭圆 (mn

4、0)和双曲线 1(a0，b0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值为(),解析：(|PF1|PF2|)24m2，(|PF1|PF2|)24a2， |PF1|PF2|m2a2.选C. 答案：C,(理)设P是双曲线x2 1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3,1)，则|PA|PF|的最小值为_ 解析：设双曲线的另一个焦点为F，则有F(2,0)，F(2,0)，连结AF交双曲线的右支于点P1，连结P1F，则|P1F|P1F|2a2.于是(|PA|PF|)min|P1A|P1F|P1A|(|P1F|2)|AF|2 2. 答案： 2,例2设双曲线以椭圆 1长轴的

5、两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线的渐近线的斜率为 (),解析： 1的长轴端点坐标为(5,0)，焦点(4，0)对于双曲线来说c5，a4，b3，则渐近线的斜率 故选D.,(文)已知双曲线C： 1(a0，b0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是(),解析：右焦点为F(c,0)，渐近线为bxay0，所求圆半径r等于F(c,0)到直线bxay0的距离 r b，故选D. 答案：D,(理)双曲线C：x2 1，过点P(1,1)作直线l，使l与C有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有 () A1条 B2条 C3条 D4条 解析：过点P与双曲线相切的直线及与渐近线平行的直线各有

6、两条故选D. 答案：D,例3(08陕西)双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为(),在正三角形ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则以B、C为焦点，且过D、E的双曲线的离心率为(),解析：设正三角形ABC边长为1，则2cBC1,2aCDBD 答案：D,例4根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线 1有共同的渐近线，且过点(2， )； (2)与双曲线 1有公共焦点，且过点( ，4) 分析：(1)与双曲线 1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为 (0)，0时表示焦点在x轴上，0时表示焦

7、点在y轴上，再结合其它条件可求.,(2)与双曲线 1(a0，b0)共焦点的双曲线方程可设为 1(m0，n0)，此时有m2n2a2b2，再结合其它条件，确定待定系数m，n即可,总结评述：1.求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用. 若已知双曲线的渐近线方程axby0，可设双曲线方程为a2x2b2y2(0),例5(09四川)已知双曲线1(b0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在该双曲线上，则 () A12 B2 C0 D4,一、选择题 1双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(),答案

8、A 解析双曲线方程化为标准形式： 则有：a21，b2 由题设条件知，,点评双曲线作为圆锥曲线的一种，其几何性质常作为高考命题的热点问题但难度一般不大，掌握其实轴、虚轴、焦距之间的关系和准线、渐近线方程是解决双曲线问题的突破口,2(文)(09福建)若双曲线1(a0)的离心率为2，则a等于() 答案D,(理)(08全国)设a1，则双曲线 1的离心率e的取值范围是() 答案B,3(文)(09天津)设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为() 答案C 解析由题意得b1，c ，a ，双曲线的渐近线方程为y 即y ，故选C.,(理)如图，F1和F2分别是双曲线 1(a0，b0

9、)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为(),答案D 解析连结AF1，则F1AF290，AF2F130，,4过双曲线x2 1的右焦点F作直线l交双曲线于M、N两点，则满足|MN|4的直线有() A1条 B2条 C3条 D4条 答案C 解析通径长为4，两顶点间距离为2，故有3条,5(文)(2010中山)设P为双曲线x2 1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|PF2|32，则PF1F2的面积为() 答案B,(理)点P是双曲线 y21的右支上一点，M、N分别是(x )2y21和(x )2y21上的点，则|PM|PN|的最大值是() A2 B4 C6 D8 答案C 解析如图，当点P、M、N在如图所示位置时，|PM|PN|可取得最大值，注意到两圆圆心为双曲线两焦点，故|PM|PN|(|PF1|F1M|)(|PF2