动能和势能1.ppt

1、第四章 动能和势能 （Chapter 4 Kinetic energy & Potential energy）,前言 能量另一个守恒量 力的元功 用线积分表示功 质点和质点系动能定理 保守力与非保守力 势能 功能原理和机械能守恒定律 对心碰撞 非对心碰撞 质心参考系的运用 粒子的对撞,1 前 言 一、本章的基本内容及研究思路 能量的概念是自然科学中最普遍、最基本的概念。能量的形式很多，各种能量可以通过不同的方式相互转化。在这一章里，我们着重讨论与机械运动有关的能量动能和势能，以及机械运动转化的方式做功，并且阐明机械运动转化时所遵从的规律动能定理和机械能守恒定律。从力学学科体系上看，有关功和机械

2、能的定理、定律可以看作是牛顿运动定律的推论。但是，能量概念是物理学中对于物质运动各种形式都适用的最重要的基本概念之一，在能量的转换和守恒定律发现以后，人们对功、动能和势能的真实含义有了较全面的认识。20世纪初，爱因斯坦建立了狭义相对论，人们对功、动能和势能的真实含义有了更深刻的认识。20世纪初，爱因斯坦建立了狭义相对论，得到了“质能关系”，进一步揭示了能量和质量的,相当性，对于能量的认识又更深入了一步。在本章最后讨论了动量守恒和能量守恒的重要应用。 二、本章的基本要求 掌握功的概念，能计算变力的功。理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算万有引力、重力和弹性力的势能； 掌握动能定理、功能原理和

3、机械能守恒定律，学会判断在一个力学过程中，系统的动量、动能、机械能是否守恒； 掌握弹性碰撞，非弹性碰撞和完全非弹性碰撞的定义及其特点。 三、本章的思考题及练习题 思考题：教材139140页 练习题：4.3.1、4.3.3、4.3.5、4.5.1 、4.5.2 、4.6.6,2 能量另一个守恒量 能量守恒定律无疑是19世纪最伟大的发现之一，它不仅适用于无机界，也适用于生命过程，是自然界中最为普遍的规律。 能量守恒定律这样一条自然界普遍规律的确立，是许多人、多学科共同完成的。除了物理学家的严谨，这里还需要与其它学科，特别是生命科学的配合，以开拓广阔的思维，有生物学背景的科学家在此处起了不可磨灭的作

4、用。所以当代分子生物学家，前苏联的伏肯斯坦说：“我们可以稍微夸张地说，如果物理学赠给生物学以显微镜，则生物学报答物理学以能量守恒定律。,什么是“能量”?按照麦克斯韦的定义,它是一个物体所具有的作功能力。一个运动着的物体（如冲床上的冲头）具有作功的本领，所以说它具有能量，称之为“动能”。把一个重物高举到一定的高度，当它下落时能够作功，但是否只在重物下落的过程中它才逐渐获得能量抑或停止在某一高度时已具有了潜在的能量（势能）？若不是这样，能量就会突然无中生有。至于将这些概念科学地加以定量化，在历史上曾经历相当长的过程。 总之，“能量”概念是物理学一个极为普遍、极为重要的物理量，这一概念的重大价值，在

5、于它转换时的守恒性。物理学史上不止一次地发生过这样的情况，在某类新现象里似乎有一部分能量消失了或凭空产生出来，后来物理学家们总能够确认出一种新的能量形式，使能量的守恒律得以保持。例如：当电流通过电阻时产生热量，坚持守恒观点的物理学家又要问：能量从哪里来的？在焦耳测定电热当量之后，“电能”的概念便确立起来。静止的爆竹爆炸后，朝四面八方飞出碎片，动能从何而来？于是产生了“化学能”的概念。猎豹潜伏着，见一只兔子掠过，,猛然跃起扑过去，能量从何而来？于是产生了“生物能”的概念。爱因斯坦导出质能之间的当量关系 E=mc2举世闻名，后来物理学家发现原子核裂变，裂变中释放出的大量能量与质量亏损的确符合爱因斯

6、坦的关系式，于是建立了“核能（即原子能）”的概念。如此这般，在物理学中建立起多种形式能量的概念。 3 力的元功 用线积分表示功 牛顿第二定律阐明了力的瞬时作用规律，即有外力作用，物体就会产生加速度，说明物体的运动状态将要改变。至于如何改变，改变的量度为多少，则要取决于力作用在物体上的时间或力的作用下物体的位移。即要研究力对时间的累积作用和力对空间的累积作用。,1、恒力做的功：当一质点受恒力 F 作直线运动,若有若干个力 作用在质点上，由矢量标量积的分配律，则合力做的功等于,即合力所做的功等于分力所做功的代数和。 2、变力做的功： 一般情况下，质点沿曲线运动，作用于质点上的力的大小和方向随质点的

7、位置变化而变化，即力是质点位置的函数F(r)，这时不能直接运用上述功的定义来计算力的功,但是我们可以把,质点运动的轨迹分成许多小段，只要每一小段都足够小，那么，在这足够小的一段过程中，质点的运动可看成是直线运动，作用在质点上的力可看成是恒力，如图所示，这样，这每一段足够小的位置，都可以用 计算力的功。在足够小的位移上力所做的功称为元功，元功可近似表示为,于是，变力对作曲线运动的质点所做的功可近似用下面的和式表示,这一和式的极限称做力F(r)沿曲线自 至 的线积分，可表为,上式是一般情况下功的表示式,实质上意味着变力的功等于所有元功之和。 元功的具体表达形式： 直角坐标系： 平面自然坐标： 极坐

8、标系： 注意：功是一个过程量，它与状态量不同！ 若质点运动过程是：,则积分路径应是由 ，再由 。而不是仅由 直接积到 ，当然在某些特殊条件下，可由 直接积到 。 4 质点和质点系动能定理 ,作用在质点上的合力所做的功等于质点动能的改变量质点动能定理。 注：质点动能定理是根据第二定律导出的，也只能在惯性系中 运用。 质点系内力的功 为简单起见，讨论两个质点组成体系内力元功的和。,为质点 i 相对于质点 j 的位矢。 即两质点 i、j 间相互作用力所做元功的代数和等于作用于其中 i 点的力与 i 相对于 j 质点元位移的标积。参见教材118页有 ，即决定于力和质点间相对距离的改变。 由此可以得到以

9、下两点结论： （1）一对内力的元功和一般不为零，一对内力做功之和一般也不为零。只有在某些特殊情形中，如两质点的相对位置保持不变，内力的总功才为零。 （2）由于力和质点间的相对距离不因参照系的改变而改变，故一对内力做功之和与参考系的选择无关。因此，为了简便，常将参照系固定在一个质点上。 以上结论不难推广到n个质点系的情况。特别是对于刚体，由于各质点的相对位置保持不变，内力的总功为零。,它由各质点动能定理的表达式相加来导出，,质点系动能的增量等于一切外力与一切内力所做功的代数和。, 质点系的动能定理,5 保守力与非保守力 势能 质点系除可能具有动能外，还可能具有势能，势能与一定的保守力对应。 一、

10、保守力与非保守力 我们从分析重力、万有引力、弹簧弹性力以及摩擦力的功入手，讨论各种类型力做功的特点，从而引入保守力与非保守力的概念。,1、重力的功 考虑质量为m的质点，在重力作用下自a点经曲线acb运动到b点，如右图所示，为计算重力对质点所做的功，建立直角,坐标系Oxyz，y 轴铅直向上，a 点的 y 坐标为 y0，b 点的 y 坐标为 y ，重力 mg 只有 y 方向分量，,计算重力所做的功，得：,结果表明，重力对质点所做的功由质点相对于地面的始态位置y0 和终态位置 y 决定，与质点所通过的路径无关。,2、万有引力的功 如图，一静止质点的质量为M，称为质点1，在其引力场中，一质量 m 的质

11、点2由初始位置A沿任意路径移到终态B，质点2所受,引力为,现计算作用于质点2的引力 F 所做的功，首先讨论质点2处于曲线上某位置 r 附近时引力的元功。将元位移分解为沿 r 方向和与 r 垂直的两个分位移，引力只在沿 r 方向的分位移上做功。沿 r 方向的分位移可表示作 dr ， 为沿 r 方向的单位矢量。引力的元功等于,当质点2自A点运动到B点时，引力的总功为,结果表明，与重力的功相似，作用在质点上的万有引力所做的功只与质点的始末位置有关，与质点所经路径无关。 3、弹簧弹性力的功 质点由 坐标 x0 运动至坐标为 x1 的过程中，该弹性力的功为：,弹簧伸长 弹力做负功，弹簧收缩，则 弹力做正

12、功。同样表明，弹簧弹性力做功与路径无关。,x,总之，若力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置，与质点经过的路径无关，具有这种性质的力称为保守力。保守力也可以用另一种说法来定义：若力沿闭合途径所做的功等于零，这种力就叫保守力。,即保守力沿任一闭合路径的功为零。,并非所有的力都是保守力。例如质点在粗糙的水平面内运动，摩擦力的功为：,从点1到点2的曲线长度,摩擦力做的功不仅与受力质点的始末位置有关，而且与质点经过的路径有关，它是非保守力。 二、势能 势能的概念是在保守力概念的基础上提出的。 势能的定义 对于保守力来说，若受力质点始末位置一定，则力做的功便唯一确定，与路径无关，这样，就存在一个由相对位

13、置决定的函数，质点由初始位置移到末位置时，这个函数的增量与保,守力所做的功相联系。这个函数正是我们要提出的势能。规定 势能的增量等于保守力做功的负值。用Ep0和Ep分别表示质点在始末位置的势能，用A保表示自初始位置到末位置保守力的功，则势能的定义式为,上式表明，若保守力做正功, A保0，则势能减少, Ep Ep0 。举例来说，若将质点举高，重力与质点运动方向相反，重力做负功，重力势能增加；若质点自高处下落，重力做正功，则重力势能减小。按照前面的结果及势能的定义可得重力势能、万有引力势能、弹簧弹性势能的改变量为,（1）,（2）,（3）, 势能的零点 定义式定义的是质点在两个位置的势能增量，至于对

14、应于某一位置的势能值究竟是多少，只有对势能零点作出规定之后才能确定。我们把势能等于零的空间点叫做势能零点，它通常是人为选定的。 对于重力势能，如果选定坐标原点处为势能零点,即Ep(0)=0,由（1）式，有,若坐标原点建立在地面上,则物体在距离地面高度 y=h 时的重力势能,对于万有引力势能，通常选择两吸引物体相距无穷远时为势能零点，因为这种规定可使万有引力势能的表达式有最简单的形式。即 ，由（2）式，有,上式所表示的引力势能，在相对距离 r 为有限处全为负值。这表示，当质点在引力场中有限距离处时势能总比它在无限远处时为小。例如，当宇宙飞船飞离地球时，万有引力做负功，引力势能增加，距地球越远，引

15、力势能越大，当宇宙飞船无限远离地球时，引力势能最大。 对于弹簧弹性势能，通常选择弹簧自由伸长状态为势能零点，即在（3）式中取 x0=0 ，有,上式表明，不论 x 为正或者为负，弹簧弹性势能全为正值，这是因为我们规定了弹簧自由伸展状态为势能零点的缘故。 势能是属于质点系的 由于势能与物体间相互作用的保守力相联系，因此势能是属于以保守力相互作用的物体组成的质点系的。对于单个质点可,以具有动能，但是单个质点不可能有势能。有时谈到的“某质点的重力势能 ”，这只是一个简略的说法，要反映物理实质，更准确的说法是质点与地球这一系统的重力势能，用来决定势能的质点位置，实际上是质点系内质点之间的相对位置，因此，

16、质点系的势能是质点相对位置的函数。 势能曲线 由上可知,势能是相对位置的函数，以势能为纵轴，以表明相对位置的坐标为横轴，所画出的势能函数曲线称为势能曲线。下图分别画出了重力势能、引力势能和弹性势能的势能曲线。 用势能曲线很容易判断质点在各个位置上所受保守力的大小和方向。下面的讨论只限于质点在保守力场中作直线运动的情形。 保守力的功可以表示为初位置的势能与末位置的势能之差Ep0Ep，即势能增量的负值，有,对保守力的元功则有,沿 x 轴作直线运动时，元功为,比较两式直接得出,O,O,O,y,(a),(b),(c),x,r,上式表明质点在某点所受的保守力与该点势能的关系：力等于势能曲线上该点的斜率的

17、负值。当物体位于势能极小点时，若受到微小扰动而稍有偏离，就会受到指向平衡点的力，使其恢复平衡。就是说，质点位于势能曲线上的极小点时，处于稳定平衡，受小扰动而稍有偏离时，在该点邻近作微小振动。 通常把势能曲线呈现如图（c）那样向下凹的形状时，称为势阱，弹性势能曲线就是一种典型的势阱，在该势阱内，质点只能往复运动。重力势能曲线和万有引力势能曲线也是势阱，质点难以摆脱引力作用而逸出。,当势能曲线呈现如右图那样向上凸的形状时，称为势垒。这时，势能曲线上的O点是极大点，曲线斜率为零，质点所受的力为零处于平衡，但只要质点稍有偏离，就受到指向势能减小方向的力，使其离开平衡位置更远。所以势能极大点为不稳定平衡

18、点。如果质点在势垒的,x,O,左侧向着势垒“顶”运动，只有当质点的初动能值大于势能的增量（势垒的高度）时，才能由左侧“越过”势垒到右侧去（就像一个只能跳过高度1.5m横竿的人不可能跳过高度1.8m的横竿一样。）,例题 如图为双原子分子中两个原子的相互作用势能曲线。设 r 为两个原子间的距离，则系统的势能可以近似地写成：,A、B为常量。试讨论两原子间 的相互作用、运动情况，并计算将两个原子拉开所需做的功。,解 我们先求势能 Ep 取极小值的稳定平衡位置：r = r0，取势能函数的导数，得,故由 r = r0 时 的条件得到 ，当 r 0，势能曲线斜率为正，即原子间相互作用表现为引力。可见当 r

19、= r0 ，势能取最小值，即双原子分子处于稳定平衡状态。 双原子分子的势能曲线是一个势阱。当两个原子间的距离与 r = r0 稍有偏离时，两原子分子将在平衡位置邻近作微小振动，就像一个弹簧振子的振动那样。 处于r = r0 的稳定平衡状态时，势能为,故将两个原子拉开到无限分离（ ）时所需做的功等于 这就是双原子分子的离解能。,例题 已知地球对一个质量为 的质点的引力 ， 若选定 （地面）处为势能零点位置（ 和 表示地球的 质量和半径）。 （1）求势能函数； （2）若质点处于地面附近上空，求势能函数的近似式。,解 （1）,（2）设质点距离地面高度为 ，则 ，且有 ， 故地面附近的势能,即引力势能

20、在地面附近可用重力势能来替代。,6 功能原理和机械能守恒定律 质点系的动能与势能之和称作质点系的机械能。势能概念建立后，可以由质点系的动能定理推导出功能原理和机械能守恒定律，它们都是说明质点系机械能变化规律的。 一、质点系的功能原理,（质点系动能定理）,上式表明：质点系机械能的增量等于一切外力和一切内非保守,力所做功的代数和，称为该质点系的功能原理。 注意以下三点： 1、只有外力和内非保守力做功才会引起质点系机械能的改变。实际上，我们是用外界对系统做功来量度质点系的机械能与外界的能量交换；用系统内部非保守力做功来量度系统内部其他形式能量与机械能的转化。 2、必须注意内保守力做功所起的作用。质点

21、系的动能定理和功能原理都给出质点系的能量的改变和功的关系，前者给出的是动能的改变与功的关系，应当把所有的力的功都计算在内；后者给出的则是机械能的改变和功的关系，由于机械能中的势能的改变已经反映了保守内力的功，因而只需计算保守内力之外的其它力的功，切不可再计入有关内保守力的功。 3、功能原理与动能定理并无本质的区别，它们的区别仅在于功能原理中引入了势能而无需考虑内保守力的功，这正是功,能原理的优点；因为计算势能增量常常比直接计算功方便。 二、质点系的机械能守恒定律 在一定过程中，若质点系机械能始终保持恒定，且只有该质点系内部发生动能和势能的相互转换，就说该质点系机械能守恒。机械能守恒的系统称保守

22、系统。 若 ，外力不做功，系统机械能与外界没有能量交换，内部非保守力不做功，系统内部不发生机械能与其他形式能量的转化。当这两个条件同时满足时，机械能保持守恒。 由于摩擦力等非保守力普遍存在，机械能精确守恒的情况很罕见。但是在将摩擦力等非保守力的功忽略不计，对计算结果并不发生明显影响时，仍用机械能守恒方程求近似解。,7 对心碰撞 碰撞是物理学研究的重要对象。打桩、锻压和击球是通常的碰撞。从微观角度研究热现象时，涉及分子原子间的碰撞。通过微观粒子的碰撞去研究物质结构和粒子间相互作用是重要手段。宇宙中天体的碰撞非常频繁。1994年休梅克（E.M.& C.S.Shoemaker）利维（D.H.Levy

23、）9号（SL9）慧星与木星的碰撞则是人类首次成功预报的较大规模的天体相碰现象。 碰撞有两个特点：首先，碰撞的短暂时间内相互作用很强，可不考虑外界影响。另外，碰撞前后状态变化突然且明显，适合用守恒律研究运动状态的变化。 为了系统研究的方便，我们把碰撞现象模型化为球的碰撞，并假设两球碰撞时，不受其它物体外力的作用。 最简单的碰撞发生在一维正碰（head-on）即两球沿着,联心线运动而发生碰撞，球的对心碰撞。 两个小球碰撞的全过程 （1）趋近阶段：要发生相碰必须 vA vB 若两球相向而行肯定能发生碰撞, vB取负,仍满足vA vB ，,（相对接近速度）；,（2）压缩阶段：开始接触，因vA vB ，

24、A挤压B，两球产生形变且有作用力，结果vA ， vB ，但只要vA vB ，A球将继续挤压B球，弹力将继续增大。 vA ， vB 。当vA = vB时，这时两球的形变达到最大， 弹力也达最大； （3）恢复阶段：从vA = vB 瞬时开始，两球的形变将逐渐恢复。 vB vA ，两球逐渐脱离，直到两球的形变恢复到最大限度为止，此时弹力消失（“浮触”）；,（4）分离阶段：B球脱离A球，分别继续以 速度前进，逐渐远离， （相对分离速度）。 一、关于对心碰撞的基本公式,e 为比例常数，叫做恢复系数，实验表明，它由两个球体的材料决定， 。 e =1 对应于完全弹性碰撞， e =0 对应于完全非弹性碰撞。,

25、解的结果,两式右方第一项相同，它其实就是质心的速度。质心速度在碰撞过程中不改变，第二项分别表示两球滞后于质心或超前于质心的速度。 知道了v1 , v2 通过简单的代数演算就可计算碰后两球动能，结果表明：碰撞后的动能一般小于碰撞前的动能。即物体动能部分转化变形球势能、转化成热能、转化为球的振动并因而转化为声波的能量等等。 二、完全弹性碰撞查德威克发现中子 由 e = 1，可得到：碰撞前后质点系总动能不变。,由动量守恒和 动能守恒得到,分析几种特殊情形： （1）若 即碰后交换速度如果其中一个小球初始为静止， ，则有 即 变为静止， 以 的碰前速度运动；核反应堆中，为了使块中子变为慢中子，使用与中子

26、质量尽量相近的氘或石墨作减速剂，就是基于这个原因。 （2）若 ，这相当于重球与静止的轻球相碰，碰后重球几乎以原速前进，而静止的轻球则以二倍于重球的速率前进； （3）若 ，这相当于用质量很小的球去碰质量很大的球，碰后重球不动，轻球以原速率弹回，例，弹性很好的球在地面上弹跳或从墙上弹回都属于这种情形，气体分子从垂直于器壁方向与壁面相碰等。,例 中子质量的测定： 1932年，查德威克（J.Chadwick，1891-1974）用碰撞法测量了中子的质量。由于中子不带电，它的速度和质量都不易测定。查德威克通过中子分别与氢核和氮核的碰撞，在电离室内测量碰后氢核和氮核的最大速度 和 ，求得中子的质量 。他测

27、得的 。 解：最大速度 和 与正碰相对应。由于碰撞是弹性的，且 ，则有 式中 为碰前中子的速率。 消去 ，得中子质量： 将数据代入，得 现代精确测量表明，,现就 的特殊情况求碰撞前后的动能损失。,因质量为 m2 的小球初速度为零，可将它称为“被碰球”，质量为 m1 的小球称为“主碰球”，由上式可看出，主碰球质量越大，动能损失越少；被碰球质量越大，动能损失越多。,0 e 1，非完全弹性碰撞。,由 e = 0，得到两球碰撞后并不分开，以同一速度运动。,三、完全非弹性碰撞,8 非对心碰撞（斜碰） 两球并非沿联心线运动而发生碰撞的情况，称为非对心碰撞。如两球是光滑的，那么斜碰问题是不难解决的。在垂直于联心线方向即 x 轴上根本不可能相互压缩；更谈不上恢复，两球在此方向分速度各自保持不变。在两球联心线方向即 y 轴方向上相互压缩然后恢复，可按正碰情况处理。,在一般情况下，斜碰为三维问题，碰撞后的速度 、 不一定在 、 所组成的平面上，若碰撞前一个小球处在静止状态，即 ，