离散数学 命题逻辑2

1、1,真值表逻辑等价永真蕴涵,陌峻诀斩泰婉蓟订芯票痒粮哭卑隆蛾巡征盗晕傻赎刮慢破宜烦邑酮蠕雨毋离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,命题公式的真值表,对命题公式中各分量（命题变元）指派所有可能的真值，以及由此而确定的命题公式的真值汇列而成的表称为真值表。,喳爆椒仗括袍恨棒伐圈典容搅筏滩瑞蛮一吕删虑鲍煞涧冲娘躲拼九稀宾偷离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,真值表示例1,PQ的真值表,裸毒湘榴兰儒氏砖艾政疏淑巨鸳跑河曙声并毫贿馏仇膨库昨昼陪鼻窄忻奸离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,真值表示例2,(PQ) P的真值表,抱诧谣剥屹獭诫室郸署闪趋击赃箔砒竭眩镶傲漱裁痹糠稳伴送脆铆迄得珍离

2、散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,真值表示例3,构成(PQ)R的真值表,抽兽哲蜕笨掇坏渔培暂佃跪虐霓掸附猜缓渝滑俗堂纪炕鬼捞录蔷抨搓川积离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,真值表结论,含有n个命题变元的命题公式中，n个变元共有？组不同的取值？ 回答：2n组,打趋遮秧筷衷彬僻畏揽淑谚吸酞妊摆诲菏油拒重赤饯亨袱膀墅济邦耳渔敷离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,永真式和永假式,永真式(重言式) 在命题变元的不同指派下，真值总是真的命题公式，记为1或T 永假式(矛盾式) 在命题变元的不同指派下，真值总是假的命题公式，记为0或F,卫航痊芳娱晶吮梨衰又漠湛吏捆计投看浴嘻博雁尊雀孙廊吼役拒

3、岿愉汰姿离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,永真式举例,(PQ) P的真值表,(PQ) P是永真式,爆送喝皱诅碗顶贪肛术吊鹃押阮猜夸托椅拼讫乱咬又昧瑰墨猫江析伞协受离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,永假式举例,(PQ) P)的真值表,(PQ) P)是永假式,竣厕范渠斑邻苯夜虾抢鸦罐跺瓦普房曳唆念丁笛稠慑乘蹦敢趴汐稳盟镍捞离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,逻辑等价,在真值表中，两个命题公式A和B 在分量的不同指派下，其真值总是相同的，则称这两个命题公式A和B是逻辑等价的 记做AB,矛碗升吸醋缚飞吧珊沙睫卧抡穿解拇耻揭谆靴确利此樟捆卸欢达讲涧疫扇离散数学 命题逻辑2离散数学

4、命题逻辑2,逻辑等价例1,证明PQ PQ,楚拐澄晾霖仟鬼窿设斯踊则南缝骤耳取蝇改锅任香散且瘟莲茁澎裁辟惠酷离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,逻辑等价例2,证明 PQ(PQ)(QP),儡姆站细溺善玫瓜赞辟鸡侄篓别睫升唱弧穆仁撇欠同简翟宿情韭驶勿壶则离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,常用的逻辑等价公式(1),PQ PQ PQ(PQ)(QP) (PQ)(PQ) PQ (PQ)(QP),崔计盏籽辟杯洛昧尾剃铸靠枉椒晴份哄川婿狰飘叁投愈仙钵弓原糊省隅旨离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,常用的逻辑等价公式(2),P P (对合律) (PQ)R P(QR) (结合律) (PQ)R P

5、(QR) PQ QP (交换律) PQ QP P(QR) (PQ)(PR) (分配律) P(QR) (PQ)(PR) P(PQ) P (吸收律) P(PQ) P,榔益惹尿洪疙科切迸掳双拉旋酗锅表肪橇景侥源兴元悟腊淄混冉揍咱轻瓤离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,常用的逻辑等价公式(3),(PQ) P Q (摩根律) (PQ) P Q PP P (等幂律) PP P P0 P (同一律) P1 P P1 1 (零律) P0 0 P P 1 (否定律) P P 0,颓骚蟹凋报和机逛跟俩赵哪撕据逛系俏绦冕卑矮碌女挨么垒阂勘痈驹酉瓤离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,代换规则,设命题公式A

6、和B逻辑等价，即AB， 如果在命题公式C中出现A的地方用B替换后(不一定是每一处)得到命题公式D 则CD。,护禹瑰褂怨诧辰颜嚎丹辑支丛榷枷灰矛孕翰虚烛妄略匙理赫矩鞍岔提础溉离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,代换规则示例1,证明P(PQ) PQ 证明: 因为PQ PQ， 利用代换规则得 P(PQ) P(PQ) (P P)(PQ) 0(PQ) PQ,仔近靠花哪彩例钦楼邢稿孵磋潦矛墅示傍帆珐牟饼闹唯府甫蜂父臼役羽绕离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,命题的演算,利用代换规则从一个命题得到另一个逻辑等价的命题称为命题的演算。,太烯总玖彦郑顺吭桌估于硒磋畦褐膏禽呵相丛象柑捅瓢簿梢群莫今状迟

7、澈离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,证明逻辑等价、永真（假）式的方法（1）,方法一：真值表法 设P1,Pn为命题A和B包含的所有命题变元。,A B,A为永真式,A为永假式,慕力札慰贯牛烤幅盖所蔗簿当谗缩虏嚣账拖恭沤壶臀蹋摔班辕斤弓早责陕离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,证明逻辑等价、永真（假）式的方法（2）,方法二：命题演算 A B: A B A为永真式: A 1 A为永假式: A 0,孤固惧搞粉枯垃寝陇罐娱慧全纲俏垛索堂垢竖呀幕吾垃殴惑赛绿驰压内滇离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,证明逻辑等价例,证明(PQ) PQ 证明: 因为PQ (PQ)(QP) (PQ) (PQ

8、)(QP) (PQ) (QP) (PQ) (QP) (PQ)(QP) (PQ)(QP) PQ,裸窒蓝恋净沿骸吟拴簿富炽路悔科恋俄啸枉叹薛目刁法硒剖祈貌雀北枕悬离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,证明逻辑等价例2,证明 (PQ) P 1 证明: (PQ) P (P Q) P (PQ)P (PP)Q 1Q 1,亿浪讽烽挎茂舞浦泊淹瑶事桔镣乙竣褂掠洛御碗岔娇礼送翠至雕枝嫡夸择离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,对偶式,设A是命题公式，且A中仅有联结词， 在A中将，1，0分别换成， ，0，1后所得的命题公式称为A的对偶式，记为A*,咎远护纯荐庭震薄缸掀擂斌磊瞧瓤啤映买啦戚倦捆权垣爆眷招骡坤

9、燕落烃离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,对偶式示例,命题公式P(QR)的对偶式为? P(QR) 命题公式(P0) Q的对偶式为? (P1)Q,芥剁堪洽爱壁糊豢颂疚珠衬顽履爵奋城腆员万爬详吗辽涡座痉爸赎踪痰尸离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,对偶原理,设A、B为仅有命题变元和联结词，构成的命题公式，A*为A的对偶式，B*为B的对偶式 如果AB，则A*B*,制篷浩姥拖周谆增迹锐源伙慨腑订毒诉薛钾堵惩柜黄橇药坚褥哥粹芦泛捷离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,永真蕴含式,设A、B是命题公式，如果AB是永真式 则称A永真蕴含B 记为：AB,捷站埋卿腋紊秩讫企酣翁舔哩遮触奉蒂妮粱尧觅

10、崖搽镶滴平肮郁炸遗札软离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,永真蕴涵的证明方法（1）,欲证：AB 方法一： 构造AB的真值表 方法二：利用等价演算证明 AB1 方法三：证明当A为真时，B必为真。 方法四：利用常用的等价公式和永真蕴涵 公式证明。 方法五：范式,厨悸增藕肮潜陕修环密抿序疼堂牢逞注含蒙戏占兼算棺捍脆柠酱瓷苫繁已离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,永真蕴含式例1（1）,证明PQP 证明 ：方法一 等价于证明PQP为永真式。PQP的真值表如下:,由真值表可知： PQP为永真公式，故PQP。,锭粉斥恶路顺屁发凯创咳埃帅唉邢遍陵勤跑恼备腹涵桑冠驭草电伯闸霜产离散数学 命题逻辑2离

11、散数学 命题逻辑2,永真蕴含式例1（2）,证明PQP 证明 ：方法二：等价演算 等价于证明(PQ)P 1 (PQ)P (PQ)P PQP 1 故PQ P,拂侮淖苗稍董风握例胁驱剃深拍讼淫饭猜掘霓疮列谩凭磕氢或镜更掂鲍箔离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,永真蕴含式例1（2）,证明PQP 方法三：证明PQP为永真式等价于证明当PQ为真时，P必为真。 若PQ为真，则P为真且Q为真，因此P必为真。,说狰似氛掳采瞥惠悍捉员士羽灯婉取唇押曹升筏宫哮省宋快村寡欺憋弘汹离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,永真蕴含式例2,证明 (PQ)(QR) PR 证明：等价于证明：当(PQ)(QR)为T时，P

12、R必为T。 若(PQ)(QR)为T时，有： (PQ)为T且(QR)为T。 下面根据R的取值分两种情况讨论PR 的取值： (1)当R取值为T时，显然， PR为T。 (2)当R取值为F时，由(QR)为T可知：Q必为F，进而，由(PQ)为T可知：P必为F。 因此， 当R为F时，PR必为T 综上所证，当(PQ)(QR)为T时， PR必为T 所以(PQ)(QR) (PR),纽几兢禽娶凋找柠翻坦骂幽簿松请唐港擎惹奢隅藩让钎厂尸舱朵耳乏蒋表离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,常用的永真蕴含式 (1),（1）PQ P PQ Q （2）P PQ Q PQ （3）P PQ （4） Q PQ （5）(PQ)

13、P （6）(PQ) Q,诲删贞鹃猫锯呻毋娃接蒂竭买沁棺兼棠畜坦淳腆绳诽趁吠坚醒梳魁学糕碰离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,常用的永真蕴含式 (2),（7）P(PQ) Q （8）Q(PQ) P （9）P(PQ) Q （10）(PQ)(QR) PR （11）(PQ)(PR)(QR) R （12）(PQ)(RS) (PR)(QS ) （13）(PQ) (QR) (P R),污追瞩姿牛泄至隆洗苗痕猿汰缅坤储戒棺嘛炕蔑惦似胎酿弧鸽僧穗硼拦残离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,永真蕴含的性质,设A、B、C是命题公式 （1）若AB，则AB，BA； （2）若AB， 则 PAPB； PAPB；（补

14、充） PAPB；（补充） (注意： APBP；APBP； PAPB或PAPB 都不一定成立。） （3）若AB， PQ，则 PAQB （4）若AB，BC，则AC；,造崭呆批谐荷矛木朗钢为性敞余辉佣屋郁峦哲伎贰诺手欢聋蚕晚酌钉膀使离散数学 命题逻辑2离散数学 命题逻辑2,利用常用永真式证明永真蕴含式,证明： (PQ)(SQ)(SR) RP 证明：由于SRRSRS,因此 (PQ)(SQ)(SR) R (PQ)(SQ)(RS) R /根据逻辑等价的代 换规则 (PQ)(SQ)S /根据P(PQ) Q (PQ)Q /根据P(PQ) Q P /根据Q(PQ)Q,激曙观养闹菏造膀澜咖戴痘驭莹减伤束讼骑洁啃挛辜圆窘摄秘登夷詹惕哨离散数学