中山大学固体物理第二章作业

1、1.对于ZnS、单晶硅、金属钠、二维蜂房晶格、三原 子一维复式晶格，分别写出：1)原胞内原子数；2) 原胞内自由度数；3)格波支数；4)晶体维数；5)声 学波支数；6)光学波支数。 原胞内 原子数 原胞内自 由度数 格波支数晶体维数声学波支数光学波支数 ZnS266333 单晶硅266333 金属钠133330 二维蜂房晶格244222 三原子一维复式晶格333112 对m维复式晶格，由于m维时有m个互相正交的振动方向，所以原子有m个自 由度，若晶格的原胞数为N，每个原胞含P个不等价原子，则晶格振动波矢数 为N，格波支数为mP（m支声学波，m（P-1）支光学波），晶格振动模式数 为mPN。 2

2、.一维原子链, 原子间距都是a, 原子质量都相同, 设 为m；但力常数是与交错, 并设, 求: 1)格波 色散关系；2)声学波与光学波的最大, 最小频率； 3)验证当=时回原到单原子键情形。 解：如图所示，设第2n个原子与第2n+1个原子间 力常数为 ，与第2n-1个原子间的力常数为 ， 两种原子的质量为m，第2n个原子的位移为 ， 则原子运动方程可写为： 2n21n22n22n21n 2n x 2212221 212221212 1 nnnnn nnnnn mxxxxx mxxxxx 设试探解具有以下形式： 2 2 21 21 2 itn qa n itnqa n xAe xBe 代入运动方

3、程得： 2 2 3 iqaiqa iqaiqa mABeeA mBAeeB 令 上式整理为： , mm 2 2 0 4 0 iqaiqa iqaiqa AeeB eeAB 要使A、B有不全为零的解，其系数行列式必须为零，即 2 2 05 iqaiqa iqaiqa ee ee 解得： 11 22222 22 1 2cos22cos2qaqa m a2 a a2 a 0 q 色散关系曲线如图所示 当 时， 2 q a 可见 有两支，令 对应括号内取“+”号，称为光 学支， 对应括号内取“-”，称为声学支。 当 时，0q max min 2 0 m 1 2 min 1 2 max 12 12 mm

4、 mm 当 时， 1 222 2 112 222cos222cos(1 cos)qaqaqa mmm 2cos 2 2sin 2 qa m qa m q aa 2a 为一维单原子链色散关系， 与 仅相差一个相 位因子 , 2 q a m 2 m 2 max ,q a q aa 。 两者相交。最大频率 第一里渊区扩展到 出现在 实际上从格波解（2）可以看出，将格波解代入 方程组（1）有 0)()2( 2 AeeAm iaqiaq )cos1 ( 2 2 aq m 解得： 为单原子链的色散关系。 3.对一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容， 并讨论低温极限。 解：设 为一维简单格子长度。其中 为

5、晶格 常数，N为原子数目。则在 间隔内的振动模式 数目为 ， 频率间隔内的振动模式数目为 LNaa dq 2 L dq d 2 2 L dndq 则振动模式密度为 2 dnL dq g dd 德拜模型中，振动模看成是各项同性介质中的弹性波 vq L g v 大于德拜频率 的波不能在晶格中传播 D 00 ( ) DDL gddN v D N v L 晶格热容 2 22 / 22 00 () exp(/) ( )( ) exp(/) 1(1) DDB B x k T BB vB x B k T k TLk Tx e C Tkgddx k Tve / DB xk T 其中 / DB k T 3) 1

6、( 2 0 2 22 dx e ex x ， 低温下， 222 ( ) 33 BB v Lk TLk T C T vv 4. 写出你对周期性边界条件的理解.（提示: 什么是 周期性边界条件? 为什么要引入周期性边界条件? 在哪里用过周期性边界条件? 应用周期性边界条 件后有什么重要结果? 周期性边界条件是否总是 对的?） 答：周期性边界条件：设想在一长为 的有限晶体 边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各 块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第 个原子和第 个原子的运动情况一样，其中 1，2，3。 引入周期性边界条件的原因：（1）我们一直把晶 格看作无穷大，即晶格具有平移对称性，但是，

7、平移对称性在实际晶体的边界受到破坏；（2）在 具有平移对称性的晶格中，格波具有行波的性质。 而周期性边界条件可以保持晶格的平移对称性， 得到行波解。 Na j jtN t 在求解第一布里渊区内晶格振动模式数以及在求 解关于q的态密度时用到周期性边界条件。 应用周期性边界条件的结果是导致描写晶格振动 状态的波矢q只能取分立的值。 当组成晶格的原子中足够多时，边界效应可以忽 略不计，但当原子数少时，大部分的原子不再具 有平移对称性，边界效应变得显著，晶体性质发 生改变，周期性边界条件不再适用。所以，周期 性边界条件只是一种近似，且在边界效应和尺寸 效应不重要时是一种很好的近似。 5. 请就图 1所

8、给出的石英（SiO2晶体）在中子辐照前 后以及玻璃（非晶SiO2）的热导率随温度的变化 关系给予解释。 解：材料的热导率可以近似写成 1 3 v C vl 在极低温，声子数目很少，声子之间的碰撞可以忽 略，声子的平均自由程随温度变化不大，因此热导 率随温度的行为由热容随温度的变化决定； 在一定温度下，非简谐效应开始起作用，声子之间 的散射开始变强，此时热导率随温度的行为取决于 声子的平均自由程随温度的变化关系。而声子平均 自由程的由三种过程决定：声子之间的碰撞、固体 中缺陷对声子的散射以及晶体边界对声子的散射。 （1）声子之间的碰撞。声子遇到晶体中的另一个声子时， 由于非简谐效应而彼此散射，高

9、温时声子声子碰撞变得 特别重要。高温时 则相应的平均自由程与温度成反比 低温时 相应的平均自由程 1 1 qB B qk T q k T nT e 1 l T 1 1 qB qB k T qk T ne e /B T le （2）声子和晶体中的缺陷碰撞。晶体的不完整性，杂质和缺陷 对声子产生散射。杂质密度越大，散射越强，平均自由程越短。 （3）声子和晶体的外部边界发生碰撞。在很低温度下，仅有少 数声子存在，声子与声子之间的碰撞概率很低，也即声子平均 自由程很长，而且低温下所激发的声子是长波长声子，这些声 子将主要被大小比波长小得多的物体的边界有效地散射，因此 此时声子的平均自由程约为物体的特征

10、尺寸 。lL 因此对石英晶体，随着温度的增加，热导率先增 加然后下降。中子辐照后，石英晶体中出现缺陷， 对声子散射，声子平均自由程减小，热导率降低。 对玻璃态石英，原子排列呈连续无规网络形式， 不存在长程有序。此时，平均自由程可看成是常 数，其值近似于几个晶格间距，故玻璃的热导率 由热容与温度的关系决定。低温下随温度升高而 增大，高温为常数。但对透明材料，光子导热， 所以在整个温度区间，导热系数随温度增加而增 加。（为何会有光子导热？） 6. 声子的概念是什么？声学支和光学支的物理意义 是什么？为什么长声学支为弹性波，长光学波为 极化波？ 答：声子是晶格振动中的简谐振子的能量量子。声 学支表示

11、在长波极限下原胞中两种原子的运动是 完全一致，振幅和位相都没有差别。光学支表示 在长波极限下原胞中的两种原子振动有完全相反 的位相，振动中质心不变。 声学波在长波极限下，做展开，可得 ， 表明对于声学波，其频率正比于波数，即长声学 波看成连续介质的弹性波。而光学波，在长波极 限下，不同离子的相对振动产生一定的电偶极矩， 从而可以与电磁波发生相互作用 。 2 aq Mm 思考题 1. 设正格子晶胞的立方棱a=5，问面心结构中沿 100方向行进的波的最小波长是多少? 沿111方 向又如何? 解：波矢限定在第一布里渊区。 100方向最大波矢 ，则最小波长 111方向最大波矢 ，则最小波长 100 2 q a min 100 2 5 q 111 3 q a min 111 22 3 a q 思考题 设一维晶格由ABCABC。三种不同原子排列组 成，A-B、B-C、C-A间键强均不等，如何选取基元？ 3. 从一维双原子晶格色散关系出发，当m逐渐接近 M和m=M时，在第一布里渊区中，晶格振动的色 散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系 比较，并对结果进行讨论。 解：一维双原子晶格的色散关系为 色散关系曲线如图 qa mMmMmM 2