数字信号处理(第四版)高西全第3章

1、第三章离散傅里叶变换(DFT)、3.1离散傅立叶变换的定义和物理意义3.2离散傅立叶变换的基本特性3.3频域采样3.4 DFT的应用实例练习和父问题、傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要数学变换。对于有限长序列，有更重要的数学变换，即牙齿章节中要讨论的离散傅里叶变换(DFT)牙齿。DFT更重要的原因是，本质上是有限长序列傅立叶变换的有限点离散采样，因此实现了频域离散化，数字信号处理可以在频域中使用数值运算进行。这极大地提高了数字信号处理的灵活性。更重要的是，DFT有多种高速算法，称为快速傅里叶变换(FFT)，可以实现信号的实时处理和设备简化。因此，时域离散系统的研究和应用在很多方面取代

2、了现有的连续时间系统。因此，DFT不仅在理论上具有重要意义，在各种信号处理中也起着关键作用。牙齿章节主要介绍DFT的定义、物理意义、基本属性、频域采样和DFT应用示例等。3.1离散傅立叶变换的定义和物理意义3.1.1 DFT的定义设置x(n)是长度为m的有限长度序列。定义x(n)的n点离散傅里叶变换的(3.1.1)、x (k通常为(3.1.1)和(3.1.2)格式称为离散傅里叶变换对。为了说明简洁，DFTx(n)N和IDFTX(k)N通常分别表示N点离散傅立叶变换和N点离散傅立叶逆变换。以下证明了IDFTX(k)的唯一性：将，(3.1.1)赋值为(3.1.2)。因此，对转换间隔(例如ID FT

3、X (K) N=X (N)感到满意。范例3.1.1取得x(n)=R4 (n)，x(n)的4点和8点DFT。如果设置了过渡间隔N=4，设置了过渡间隔N=8，则可以在牙齿示例中看到x(n)的离散傅里叶变换结果与过渡间隔长度N的值相关。讨论了DFT和Z变换和傅里叶变换的关系以及DFT的物理意义后，对这些问题进行了解释。3.1.2 DFT傅里叶变换和ZT变换的关系将序列x(n)的长度设置为m，相应的ZT变换和N(NM)点DFT分别比较上述两个表达式的关系(3.1.3)或，(3.1 (3.1.4)表达式将X(k)这就是DFT的物理意义。(3.1.4)，您可以看到DFT的转换间隔长度N牙齿不同。也就是说，

4、DFT的转换结果不同，因为X(ej)的间隔0，2的取样间隔和取样点数不同。在上例中，x(n)=R4(n)，DFT变换间隔长度N牙齿分别为8，16时，X(ej)和X(k)的振幅特性图形如图3.1.1中所示。因此，可以轻松获得x(n)=R4(n)的四点DFT为X(k)=DFTx(n)4=4(k)，下面将详细介绍牙齿的特殊结果。图3.1.1 R4(n)中的FT和DFT的振幅特性关系，3.1.3 DFT的隐式周期之前定义的DFT转换对中，x(n)和X(k)都是有限长序列，但是对于所有整数M，始终在(3.1.1)表达式中为X(k)实际上，所有周期为N的循环序列可以看作是有限长序列x(n)的循环扩展序列，

5、其中x(n)是循环(3.1.5)表达式(3.1.7)中的x(N)N是x(n)循环扩展序列，(根据DFT的第二个物理解释，DFTR4(n)4表示R4(n)4周期扩展序列R4(n) 4的频谱特性。R4(n)4是DC序列，只有DC组件(即频率为零的组件)。DFT MATLAB使用3.1.4 MATLAB计算序列，提供使用快速傅里叶变换算法算法第4章中介绍的FFT计算DFT的函数FFT。调用格式如下：xk=FFT (xn，n)；调用参数xn是转换的周期序列向量，N是DFT转换间隔长度，大于N牙齿xn长度，FFT函数会自动在xn之后填充0。函数返回xn的n点DFT转换结果矢量Xk。如果小于N牙齿xn长度

6、，则FFT函数将计算由xn的前N个元素组成的N个长序列的N点DFT，并忽略xn后面的元素。IDFT计算IDFT，调用格式与Ifft函数fft函数相同，并且可以引用help文件。示例3.1.2设置x(n)=R4(n)，X(ej)=FTx(n)。X(ej)分别计算频率间隔0，2的16点和32点之间的间隔采样，并绘制X(ej)采样的幅度和频率特性图表。根据DFT与傅里叶变换的关系，X(ej)以频率区间0，2的16点和32点等间隔采样。分别是x(n)的16点和32点DFT。调用Fft函数解决牙齿示例的节目ep312.m计算：%示例3.1.2节目ep312.m% DFT的MATLB xn=1 1 1 1

7、；%输入周期序列向量xn=R4(n) Xk16=fft(xn，16)；%计算xn的16点DFT Xk32=fft(xn，32)；%计算xn的32点DFT%或更少是绘图部分(跳过，位于组件中)节目运行的结果，如图3.1.3所示。图3.1.3节目ep312.m的运行结果，如果3.2离散傅立叶变换的基本特性3.2.1线性特性x1(n)和x2(n)分别为N1和N2，Y (n)的两个有限长度序列，则y (n)的n点DFT为Y(n)其中x1 (k)和，显然y(n)是长度为n的有限长度序列。如图3.2.1所示，循环移动的本质是将x(n)移动到M位，超出主值区域(0nN1)的序列值从右侧依次进入主值区域。“循

8、环移位”就是以此命名的。根据循环移动的定义，如果相同序列x(n)和相同变位M的扩展循环N牙齿不同，则y(n)=x(n m)NRn(n)牙齿不同。要求读者在N=M=6，m=2时绘制x(n)的循环移动序列y(n)波形。图3.2.1 x(n)及其周期移动过程，两周期周期移动清理设置x(n)是长度为M(MN)的有限长度序列，y (n)是x(n)的循环移动，即y(n)常识的总间隔作为主值区域；3.2.3循环卷积定理周期循环卷积定理是DFT中最重要的定理，具有很强的实用性。已知的系统输入和系统的单位脉冲响应、计算系统的输出、使用FFT的FIR滤波器实现等都基于牙齿定理。下面首先介绍循环卷积的概念和计算循环

9、卷积的方法，然后介绍循环卷积定理。1两个有限长序列的循环卷积设定序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。H(n)和x(n)的L点循环卷积定义为(3.2.5)，在表达式中，L称为循环卷积间隔长度，LmaxN，M。常识与第一章介绍的线性卷积明显不同。为了区分线性卷积，表示循环卷积，L点循环卷积，即yc(n)=h(n)x(n)。观测(3.2.5)式，x(nm)L是L周期周期信号，N和M的变化区间为0，L1，因此直接计算很麻烦。计算机使用矩阵相乘或快速傅里叶变换(FFT)方法计算循环卷积。以下是使用矩阵计算循环卷积的公式说明。n=0，1，2，l1时，由x(n)组成的序列为3360 x(0)，x(1)，x (L1)，x(L1)。N=0，m=0，1，L1，公式(3.2.5)中形成x(n-m)L牙齿x(n)的循环