博弈论复习题及答案

1、 博博 弈弈 论论 题型一题型一：纯策略纳什均衡：纯策略纳什均衡 1、猪圈里有一头大猪和一头小猪，猪圈的一头有一个饲料槽，另一头装有控制 饲料供应的按钮。按一下按钮就会有 10 个单位饲料进槽，但谁按谁就要付出 2 个单位的成本。谁去按按纽则谁后到；都去按则同时到。若大猪先到，大猪吃到 9 个单位，小猪吃到一个单位；若同时到，大猪吃 7 个单位，小猪吃 3 个单位； 若小猪先到，大猪吃六个单位，小猪吃 4 个单位。各种情况组合扣除成本后的支 付矩阵可如下表示 （每格第一个数字是大猪的得益， 第二个数字是小猪的得益） ： 小猪 按 等待 大猪 按 5，1 4，4 等待 9，-1 0，0 求纳什均

2、衡。 在这个例子中， 我们可以发现， 大猪选择按， 小猪最好选择等待， 大猪选择不按， 小猪还是最好选择等待。 即不管大猪选择按还是不按， 小猪的最佳策略都是等待。 也就是说， 无论如何， 小猪都只会选择等待。 这样的情况下， 大猪最好选择是按， 因为不按的话都饿肚子，按的话还可以有 4 个单位的收益。所以纳什均衡是（大 猪按，小猪等待）。 题型二：混合策略的纳什均衡 2、求出下面博弈的纳什均衡(含纯策略和混合策略)。 乙 L R 甲 U 5,0 0,8 D 2,6 4,5 由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略 Nash 均衡。 可得如下不等式组 Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+

3、5-8-6=-9,r=-1 可得混合策略 Nash 均衡( 9 8 9 1 ,),( 7 3 7 4 ,) 据说是去年考了的原题！ 3、Smith 和 John 玩数字匹配游戏，每个人选择 1、2、3，如果数字相同， John 给 Smith 3 美元，如果不同，Smith 给 John 1 美元。 （1）列出收益矩阵。 （2）如果参与者以 1/3 的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个 纳什均衡，它为多少？ 答： （1）此博弈的收益矩阵如下表。该博弈是零和博弈，无纳什均衡。 John 1 2 3 Smith 1 3，-3 -1，1 -1，1 2 -1，1 3，-3 -1，1 3 -1，

4、1 -1，1 3，-3 （2）Smith 选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时， John 选 1 的效用为： 3 1 1 3 1 1 3 1 ) 3( 3 1 1 U John 选 2 的效用为： 3 1 1 3 1 ) 3( 3 1 1 3 1 2 U John 选 3 的效用为： 3 1 )3( 3 1 1 3 1 1 3 1 3 U 类似地，John 选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时， Smith 选 1 的效用为： 3 1 ) 1( 3 1 ) 1( 3 1 3 3 1 1 U Smith 选 2 的效用为： 3 1 ) 1( 3 1 3 3 1 ) 1( 3 1 2 U

5、 Smith 选 3 的效用为： 3 1 3 3 1 ) 1( 3 1 ) 1( 3 1 3 U 因为 321 UUU， 3 2 1 UUU，所以： ) 3 1 , 3 1 , 3 1 (), 3 1 , 3 1 , 3 1 (是纳什均衡，策略值分别为 John： 3 1 U；Smith： 3 1 U。 这个也是据说的去年原题 古诺模型 斯塔伯格模型我觉得还是很重要的 4、假设双头垄断企业的成本函数分别为： 11 20QC ， 2 2 2 2QC ，市场需求曲线为为 QP2400，其中，其中， 21 QQQ。 （1）求出古诺（Cournot）均衡情况下的产量、价格和利润，求出各自的反 应和等利

6、润曲线，并图示均衡点。 （2）求出斯塔克博格（Stackelberg）均衡情况下的产量、价格和利润，并 以图形表示。 （3）说明导致上述两种均衡结果差异的原因。 答： （1）对于垄断企业 1 来说： 2 190 20)(2400max 2 1 1121 Q Q QQQQ 这是垄断企业 1 的反应函数。 其等利润曲线为： 2 1 2111 22380QQQQ 对垄断企业 2 来说： 4 50 2)(2400max 1 2 2 2 221 Q Q QQQQ 这是垄断企业 2 的反应函数。 其等利润曲线为： 2 2 2122 42400QQQQ 在达到均衡时，有： 30 80 2 4 50190 2

7、 1 1 1 Q Q Q Q 均衡时的价格为：180)3080(2400P 两垄断企业的利润分别为： 128008023080280380 2 1 36003043080230400 2 2 均衡点可图示为： （2）当垄断企业 1 为领导者时，企业 2 视企业 1 的产量为既定，其反应函 数为： 4/50 12 QQ 则企业 1 的问题可简化为： 3/80 3/280 20 4 502400max 2 1 11 1 1 Q Q QQ Q Q 0 企业 1 95 200 190 企业 2 企业 1 的反应线 均衡点 均衡时价格为：160 3 80 3 280 2400 P 利润为：3/39200

8、 1 ，9/25600 2 该均衡可用下图表示： 企业 2 领先时可依此类推。 （3）当企业 1 为领先者时，其获得的利润要比古诺竞争下多。而企业 2 获 得的利润较少。这是因为，企业 1 先行动时，其能考虑企业 2 的反应，并以此来 制定自己的生产计划，而企业 2 只能被动地接受企业 1 的既定产量，计划自己的 产出，这是一种“先动优势” 题型三：子博弈完美纳什均衡 5、在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为 p=a-q1-q2-q3，这里 qi是 企业 i 的产量。每一企业生产的单位成本为常数 c。三企业决定各自产量的顺序 如下：(1)企业 1 首先选择 q10；(2)企业 2 和企

9、业 3 观察到 q1，然后同时分别 选择 q2和 q3。试解出该博弈的子博弈完美纳什均衡。 答：该博弈分为两个阶段，第一阶段企业 1 选择产量 q1，第二阶段企业 2 和 3 观测到 q1后，他们之间作一完全信息的静态博弈。我们按照逆向递归法对博弈 进行求解。 （1）假设企业 1 已选定产量 q1，先进行第二阶段的计算。设企业 2，3 的利润函 数分别为： 223212 cqq)qqqa ( 323213 cqq)qqqa ( 由于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件： 02 321 2 2 cqqqa q （1） 0cq2qqa q 321 3 3 （2） 求解（1） 、 （2

10、）组成的方程组有： 3 cqa qq 1 * 3 * 2 （3） Stackelberg 均衡 企业 2 的反应线 50 0 企业 1 95 200 190 企业 2 企业 1 的反应线 （2）现进行第一阶段的博弈分析： 对与企业 1，其利润函数为； 113211 cqq)qqqa ( 将（3）代入可得： 3 ) cqa (q 11 1 （4） 式（4）对 q1求导： 0cq2a q 1 1 1 解得： ) ca ( 2 1 q* 1 （5） 此时， 2* 1 ) ca ( 12 1 （3）将式（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡： ) ca ( 2 1 q* 1 ,) ca

11、( 6 1 qq * 3 * 2 题型四 重复博弈的触发机制 求 的范围这个是重点 6、如果将如下的囚徒困境博弈重复进行无穷次，惩罚机制为触发策略，贴现因 子为 。试问 应满足什么条件，才存在子博弈完美纳什均衡？ 乙 甲 坦 白 不坦白 坦白 4,4 0,5 不坦白 5,0 1,1 参考答案： 由划线法求得该博弈的纯策略纳什均衡点为(不坦白,不坦白)，均衡结果为 (1,1) ， 采 用 触 发 策 略 ， 局 中 人 i 的 策 略 组 合 s 的 最 好 反 应 支 付 )s ,s (Pmax) s ( iii Ss i ii =5,Pi(s*)=4，Pi(s c)=1。若存在子博弈完美纳什

12、均衡，必须满 足： 4 1 15 45 )s (P)s ( )s (P)s ( c i * i * i * i ，即只有当贴现因子1/4 时，才存在子博弈完美 纳什均衡。 7、在Bertrand价格博弈中，假定有n个生产企业，需求函数为P=a-Q，其中P是市 场价格，Q是n个生产企业的总供给量。假定博弈重复无穷多次，每次的价格都立 即被观测到，企业使用“触发策略”(一旦某个企业选择垄断价格，则执行“冷 酷策略”)。 求使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子是多少。 并请解释与n的关系。 分析：此题可分解为3个步骤 （1）n个企业合作，产量总和为垄断产量，价格为垄断价格，然后平分利润。

13、 （2）其中一个企业采取欺骗手段降价，那个这家企业就占有的全部市场，获得 垄断利润 （3）其他企业触发战略，将价格降到等于边际成本，所有的企业利润为零。 参考答案： （1）设每个企业的边际成本为c，固定成本为0 P=a-Q TR=P*Q=(a-Q)*Q MR=a-2Q 因为：MR=MC a-2Q=c 则:Q=(a-c)/2 P=(a+c)/2 =(P-c)*Q=(a-c)2/4 每家企业的利润为(a-c)2/4n （2）假设A企业自主降价，虽然只是微小的价格调整，但足以占领整个市场 ， 获得所有的垄断利润(a-c)2/4 （3）其他企业在下一期采取冷酷策略，使得所有企业的利润为0 考虑： A企

14、业不降价： (a-c)2/4n， (a-c)2/4n， A企业降价： (a-c)2/4， 0， 使垄断价格可以作为完美均衡结果， 就要使得不降价的贴现值大于等于降价的贴 现值。 设贴现因子为 A不降价的贴现值： (a-c)2/4n1/(1- ) A降价的现值： (a-c)2/4 于是：(a-c)2/4n1/(1- ) (a-c)2/4 解得： 1-1/n 题型五 不完全信息下的静态博弈产生的贝叶斯均衡 详情请见PPT 302面 303面以及不完全信息下的古诺模型 8、市场进入博弈市场进入博弈（贝叶斯均衡） 一个完全垄断企业 B 正在垄断一个行业市场， 另一个潜在的试图进入该行业的企业 A， 称

15、 A 为进入者，B 为在位者。A 不知道 B 的成本特征，设 B 有两种可能的成本，即高成本 和低成本。两种成本情况下的博弈矩阵如表 6.1。 表 6.1 市场进入博弈 B 高成本 低成本 默认 斗争 默认 斗争 A 进入 40,50 -10,0 30,80 -10,100 不进入 0,300 0,300 0, 400 假定 B 知道进入者 A 的成本为高成本，且与 B 为高成本时的成本相同。假若信息是完 全的，则当 B 为高成本时，唯一的精炼纳什均衡为（进入，默认） ，另一纳什均衡（不进入， 斗争）是含有不可置信的威胁。当 B 为低成本时，唯一的纳什均衡为（不进入，斗争） ，即 若 A 进入行业，具有低成本优势的 B 将通过降低价格将 A 逐出市场。由于存在行业进入成 本，所以 A 被逐出市场后将有净的 10 单位进入成本的损失。 当 A 不知道 B 的成本情况时， 他的选择将依赖于他对 B 的成本类型的主观概率或先验 概率密度。 设 A 对 B 是高成本的先验概率判断为P，则 A 认为 B 为低成本的概率为P1。 如果