姚长辉 固定收益证券 第二章

1、第二章 零息债券 与附息债券,第一节 到期收益率 第二节 持有收益率HPR与总收益分析 第三节 到期收益曲线与折现方程 第四节 收益率溢价,第一节 到期收益率,零息债券与 Strips 到期收益率 债券相当收益率（Bond equivalent yield） 年有效收益率（Effective annual yield） 至第一回购日的收益率（Yield to first call）,到期收益率,一般情况下 零息债券,到期收益率,例2-1. 一金融工具有以下年收益 时间点 承诺年收益 1 $2,000 2 $2,000 3 $2,500 4 $4,000 假定价格 $7,704.,到期收益率,年

2、到期收益率? 12%,到期收益率,假定 持有至偿还期 无违约风险 再投资收益率等于到期收益率本身 无回购,到期收益率,是价格指标，不是投资指导指标 为什么IRR可以判定项目投资，而到期收益率不是指导投资的好指标？,票面利率与到期收益率,如果零息债券到期收益率曲线或者说即期利率是向右上方倾斜的，那么年金证券到期收益率曲线也向右上方倾斜，并且居于即期利率曲线的下方。 也可以验证下面的结论：如果即期利率曲线向右下方倾斜，那么年金证券到期收益率曲线也向右下方倾斜，但居于即期利率的上方； 如果即期利率曲线先上升后下降，那么年金证券到期收益率曲线也先上升后下降，但最初居于即期利率曲线的下方，与即期利率曲线

3、相交后，居于即期利率曲线的上方。,票面利率与到期收益率,实际上，年金证券可以被理解为票面利率极大化的债券，零息债券是票面利率最小化的债券，因此，一般附息债券可以被理解为这两种债券的合成品。因此，附息债券的到期收益率是这两个证券到期收益率的某种平均。既然如此，附息债券到期收益率一定介于这两个证券到期收益率之间。而且，票面利率越低，年金证券的权重越低，该附息债券的到期收益率越靠近零息债券；如果票面利率很高，年金证券的权重就越大，那么附息债券的到期收益率就越靠近年金证券。,票面利率与到期收益率,票面利率与到期收益率,票面利率与到期收益率,例如，当零息债券到期收益率分别为，1年期6.58%,2年期12

4、%，3年期10%时，只要是偿还期是3年，那么各种票面利率的附息债券的到期收益率都一样，都是10%。 时点 即期利率 折现因子 年金价格 年金收益率 1 0.06580.93830.93830.0658 2 0.12 0.79721.73530.10 3 0.10 0.75132.48680.10,票面利率与到期收益率,票面利率与到期收益率,价格到期收益率 票面利率5%87.56410% 票面利率6%90.050810% 票面利率7%92.537610% 票面利率8%95.024410% 票面利率10%100 10%,债券相当收益率,债券相当收益率是债券价格最普通的表示方式 债券相当收益率 n指

5、债券利率支付次数,年有效收益率,年有效收益率 年有效收益率是指考虑到各种复利情况下，债券一年内的收益率。,例2-2,零息债券，2年后到期， F= 1000, P=850. 债券相当收益率？ 因此 y/2 = 4.145% ， y = 8.29%.,例2-2,债券年有效收益率? 按月复利情况下的到期收益率?,至第一回购日的收益率,例2-3: 20年债券，票面利率 10% ，5年后随时可以按照面值回购。如果5年后到期收益率低于 10%，那么债券价值会超过面值，因此更可能被回购. 比如，P = 105, C = 3, F = 100, n = 40. 5年后按面值回购，YTM = 5.58%，至第一

6、回购日的收益率（Yield to first call） = 4.86%,至第一回购日的收益率,当至第一回购日的收益率小于到期收益率时，该指标可以成为未来收益率的更为保守的估计。,第二节 持有收益率 (HPR)与总收益分析,定义 HPR 是债券持有期间的收益率，其大小取决于债券资本利得与再投资收益。 债券收益的来源 1.利息支付 2.利息收入的再投资收益 (再投资风险) 3.资本利得或者资本损失 (价格风险),总收益分析（Total Return Analysis）,也叫 “horizon return”, holding period return, or “realized compoun

7、d yield.” 分析债券的收入来源 首先，利用年金等式确定利息收入的未来收入 C = 利息支付（半年） n = 至偿还期或者出售债券时利息支付次数 r =半年基础上的再投资收益,总收益分析,其中一部分，全部利息为 nC. 所以，利息的利息为： 最后计算资本利得：,总收益分析,例2-4：分解债券收益 (平价债券)。投资$1000于 7年期票面利率 9%（半年附息），面值交易。 已知：到期收益率 9% (bond equiv. basis), 半年4.5%。如果这一收益率确定无疑，那么在到期日，累积收入为 所以收益就是 $852 ($1,852 -$1,000).,分解,1. 利息加上利息的利

8、息 2. 利息的利息 = $852 - 14($45) = $222 3. 资本利得 = $0 (为什么?) 因此，利息的利息占总收益的 $222/$852 = 26% （再投资风险).,例2-5: 收益分解 (折价债券),投资于期限 20年，票面利率7% （半年支付）价格$816 ($1,000 面值) 的债券。到期收益率 9%. 已知：到期收益率 9% (bond equiv. basis),每半年得 4.5%，如果这一收益是肯定的，那么在到期日累积的收入将为： 因此，总收益为 $4,746-816 = $3,930.,分解,1. 利息加上利息的利息 2.利息的利息 $3,746 - 40

9、($35) = $2,346 3. 资本利得 $1,000-$816 = $184 总之： 总利息 = $1,400 利息的利息= $2,346 资本利得 = $ 184 总和 = $3,930,例2-6: 总收益的敏感性分析,假定：投资于期限 20年，票面利率7% （半年支付），价格$816 ($1,000 面值) 的债券。到期收益率 9%.但假定再投资收益率为 6% (半年 3%). 对总收益的影响? 1. 利息加上利息的利息 = 2. 利息的利息 = $2639 - 40($35) = $1239 3. 资本利得 = $1,000-$816 = $184,例2-6: 总收益的敏感性分析,

10、全部利息 = $1,400 利息的利息 = $1239 资本利得 = $ 184 总和 = $2823 7.6% is 明显小于到期收益率 9%!,结论,如果持有至偿还期, 利率变化对总收益的敏感性就会更大,如果 票面利率越高 偿还期越长 如果债券提前相当长一段时间出售,那么利率变化对总收益的敏感性就会更大,如果 票面利率越低 偿还期越长,到期收益率的问题,不是债券投资的好指标 再投资收益率? 债券组合的到期收益率?,第三节 到期收益曲线与折现方程,为什么研究到期收益曲线? 即期收益曲线与折现方程 自助法(Bootstrapping),为什么研究到期收益曲线?,到期收益曲线表示的是证券收益率与

11、到期期限的关系。也被称为利率期限结构。 到期收益曲线用来 给固定收益证券及其衍生产品定价（期权、期货、远期） 寻找套利机会 预测未来即期利率,即期收益曲线与折现方程,有多种类型的收益曲线 即期收益曲线基于零息债券到期收益率 即期收益曲线由一系列标准债券的市场价格来计算。,即期收益曲线与折现方程,即期收益曲线可以用来给风险与税收状况相似的现金流量定价。 折现方程 定义 折现方程是未来时间点的$1的在0时点的价格，被表示为 通常 t 用年来表示 (例如， 3个月为 is 0.25, 10 天为 10/365 = 0.0274).,折现方程,折现因子与年有效收益率的关系为,折现方程（年付息一次）,M

12、Yield Discount MYield Discount factor factor 1day 8.2387% 0.9998 1410.1340%0.2589 0.58.4181% 0.9604 1510.2067%0.2327 18.5056% 0.9216 1610.2718%0.2092 1.58.5914% 0.8837 1710.3292%0.1881 28.6753% 0.8467 1810.3790%0.1691 2.58.7574% 0.8107 1910.4212%0.1521 38.8377% 0.7756 2010.4557%0.1369 48.9927% 0.708

13、6 2110.4826%0.1233 59.1404% 0.6458 2210.5017%0.1111 69.2807% 0.5871 2310.5133%0.1003 79.4136% 0.5327 2410.5171%0.0907 89.5391% 0.4824 2510.5133%0.0822 99.6570% 0.4362 2610.5017%0.0745 109.7675% 0.3938 2710.4826%0.0678 119.8705% 0.3551 2810.4557%0.0618 129.9659% 0.3198 2910.4212%0.0564 1310.0537% 0.2

14、878 3010.3790%0.0517,到期收益率,折现方程,折现方程,即期收益率可以用来给风险和税收状况相似的现金流量定价 折现因子也一样,折现方程的求取,（一）函数估计法 例如，市场中有四种零息债券，期限分别是1年、2年、3年、4年，到期收益率分别为4.5056%、4.6753%、4.8377%、4.9927%。折现因子分别为0.9569、0.9127、0.8679、0.8229。市场中也有一种期限为6年的零息债券，其到期收益率为4.2807%，折现因子为0.7344。现在的问题是，市场中有一种期限为5年的附息债券，如何给这5年期的债券定价呢？ 由于该5年期债券在时点1、2、3、4、5都

15、有现金流入，而对应于时点1、2、3、4，都有折现因子，但时点5没有折现因子。因此，如何求取折现因子，就成为计算5年期债券的关键。,折现方程的求取,先假定折现曲线具有某种函数形式，然后再根据折现因子的数据，估计出函数的参数。例如，假定折现曲线为三次多项式，即,折现方程的求取,这类函数必须满足一个常识性的条件，0时点的折现因子为1，也就是说，零时点的1元钱就是价值就是1元钱。很明显，本函数符合这一条件。根据前面的资料，可以得到下面方程。,折现方程的求取,迭代法（Bootstrapping）,第一步：搜集关于6个月、12个月、18个月 债券价格与票面利率的信息 第二步：计算到期收益率，从最短到最长。

16、公式为,迭代法,迭代法,迭代法,优点：实用性比较强，所需要的债券数目比较少。 缺点： 迭代法需要知道最开始时期的利率，一般使用半年期或者1年期无息国债的收益率。如果没有的话，会影响估计的精度。 迭代法需要有到期期限不同的各种债券。如果债券市场期限结构并不健全，债券品种不全，就只能做一些人为的假设来弥补。 迭代法本身的缺陷。市场中的债券品种很多，使用迭代法很难利用市场上所有的债券品种，也没有利用包含在在债券价格中的其他信息。 尽管把附息债券假设成为零息债券的合成物，但毕竟不是一个一个的可以单独交易的零息债券。即使有套利机会产生，但如果实现套利机会不容易的话，附息债券定价会在零息债券定价之上产生一

17、定的偏离。这样，通过迭代法得到的到期收益率曲线就会存在一定的问题。,统计方法,从理论上说，采用统计方法估计到期收益率曲线比较精确，能包括比较全的信息，但是条件严格，数据量要求比较大。 假设市场没有套利机会，价格就反映了所有的信息。债券价格为 由于所有债券的折现率都相同所以有,统计方法,由于0时点的现金流的流入为0，因此为了用此模型来估计利率期限结构，必须有： 由于折现因子必然小于等于1，所以 这样可以得到一个有约束的回归方程的估计模型,统计方法,缺点在于： 第一， 统计方法要求由比较多的数据样本。如果市场上交易的债券品种和规模都很小，使用统计方法就会受到影响。 第二， 如果债券发行和到期的日期

18、都比较分散，这使得债券现金流的数据很难直接用来模拟。,样条函数方法,1、多项式样条法 由McCulloch提出的, 它的主要思想是将贴现函数用分段的多项式函数来表示。在实际应用中，多项式样条函数的阶数一般取为3，从而保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。贴现函数B(t) ：,样条函数方法,其中: n ,m 是样条函数的节点 B（t）为债券价格 为了满足贴现函数及其导数的连续性, 我们有,样条函数方法,在上面的式子中i = 0, 1, 2 分别表示对相应函数的导数阶数。利用以上约束条件，我们可以将样条函数中的参数减少到5个，将贴现函数用这些参数表示我们有：,样条函数方法,2、指数样条法 考虑

19、到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数, Vasicek 和Fong提出了指数样条法,将贴现函数用分段的指数函数来表示。,样条函数方法,其中和是指数样条函数的节点，为满足贴现函数及其导数的连续性，我们有：,样条函数方法,上面式子中=0,1,2分别表示对相应函数的导数阶数。利用这三个约束条件，我们可以把样条函数中的参数减少到6个，进一步得到：,第四节 利差,利差 利差 相对利差 收益率比率 市场间利差与市场内利差 信用利差 税后收益率与等税收益率 静态利差 选择权调整利差-OAS,利差,利差 相对利差 (yield on A - yield on B)/yield on B 收益率比率

20、 (yield on A)/yield on B,市场间利差与市场内利差,市场间利差 美国政府 美国政府机构债 市政债券 公司债券 MBS ABS 外国债券 市场内利差 on-the-run and off-the-run AAA and BBB,etc.,市场间利差与市场内利差,相对于美国国债的利差 （7/23/99） issuer Rating2-year5-year7-year10-year30-year Merrill Lynch Aa390115125148167 Citicorp Aa284118123135160 Bank America Aa386120128138162 Ti

21、me Warner Baa387111120138158 Philip Morris A297120135155175 Sprint Baa185105116140158 MCI/World com A37495106119136,影响利差的因素,信用风险 流动性 税收待遇 内含期权,信用风险,产业部门的利差（7/23/99） Sector AAA AA ABBB Industrials90 97 128152 Utility 88 94 110137 Finance 94 120 134158 Banks 120 130145,流动性,on-the-run and off-the-run,

22、off-off-the-run 规模 投资需求 其他风险,税收待遇,税后收益率 税后收益率=税前收益率(1-边际税率） 等税收益率 等税收益率 =免税收益率/(1-边际税率）,Z-利差(静态利差),由于到期收益率之差，仅仅比较了相同偿还期情况下固定收益证券与国债的收益差别。但由于某些证券的现金流量与用来比较的国债的现金流量有着很大的不同，因此，这样的比较没有多大的意义。 正确的方法一定要考虑现金流量。假定一种债券期限为30年，那么该债券将向投资者提供30个不同时间点上的现金流量。因此，可以在市场中找到30个零息国债，而且这些国债产生的现金流量与那个债券的现金流量完全一致。那么，该债券的价值将等

23、于其现金流量现值之和。如果该债券的现金流量是无风险的，那么，其价值将等于前面30个零息国债的现值之和。但由于该债券存在着风险，因此，其价值要低于国债组合的价值。这一价值会反映在价格上，表现在该债券价格将低一些。但价格到底低多少，可以用静态利差这一指标来反映。,Z-利差(静态利差),静态利差是指假定投资者持有至偿还期，债券所实现的收益会在国债到期收益曲线之上高多少个基点。静态利差不是债券收益与国债收益在到期收益曲线一个点上的差别，而是反映债券收益曲线超过国债收益曲线的程度。,Z-利差(静态利差),例2-8. 票面利率 8%，期限3年，价格 105元 ，到期收益率 6.15%. Z-利差是多少？结论是200个基点,Z-利差(静态利差),Period yearscash flow a