大学物理 刚体

1、第三章：刚体的定轴旋转第三章：刚体的定轴旋转(rotationofarigidbodyaboutafixedaxis )连接体内两点的直线以空间指向保持平行。 刚体连接体内两点的直线以空间指向保持平行。 刚体上所有点的运动都是一样的。 上面所有点的运动都是一样的。 刚体的“刚体运动”(motionof rigid body )一、“刚体”(rigid body )特殊质点系在运动中的形状、大小不变。 特殊的质点系，运动中的形状、大小不变。 二、刚体运动的两种基本形式二、刚体运动的两种基本形式o 0通常以刚体重心的运动重心的运动来代表。 代表。 连接结合刚体内两点的直线方向在运动中变化。 体内两

2、点的直线方向在运动中变化。 平移运动旋转O O O O O o o理想化模型3，刚体定轴旋转3，刚体定轴旋转：刚体上的每个质量元素都进行圆周运动，每个圆的中心都位于旋转轴上的中心，是最简单的旋转。 最简单的旋转： rodmyx2dt ddd4，刚体的角度描述4，刚体的角度描述dtd大小：方向：右手四指旋转方向右手四指旋转方向，大拇哥方向，大拇哥方向。 方向。 定轴旋转时，刚体上的任意点围绕同一轴进行圆周运动。 定轴旋转时，刚体上的任意点围绕同一轴进行圆周运动。 角速度角加速度角加速度o1o2v x2m1v的各质点的角量都相同。 各质点的角量都相同。 位置角位置角位移线量和角量的关系线量和角量的

3、关系：3360 rvrdtdvat2ran.constt 0202 TT ) (2022 o定轴刚体z v r r P rrrrv ) /均匀加速定轴旋转均匀加速定轴旋转惯性矩的修正运算旋转惯性矩的修正运算m ii dmrJrmJ ) () (22连续分立dm r m J反映刚体旋转惯性的大小，反映刚体旋转惯性的大小(1)与刚体的质量有关。 例如，铁元素盘和木盘)与刚体的质量有关。 例如，铁元素盘和木盘(2)为质量相同，质量的分量)为质量相同，质量的分量，例如与圆盘和圆环有关。 布与圆盘、圆环等有关。 (3)关于轴的位置。 关系到轴的位置。 ldrdsrdvrdmrJ mmmm线面积体积222

4、2一、惯性矩一、 相对于具有惯性矩刚体的旋转轴的惯性矩相等的各质量体质量和相对于从各质量体到具有轴线垂直刚体的旋转轴的惯性矩相等的各质量体质量和从各质量体到轴线垂直距离的平方的积距离平方的积例1 :均匀圆环相对于中心垂直轴的惯性矩：均匀圆环相对于中心垂直轴的惯性矩(1) ) 选择微小要素22 (2)求出)求出d J d m RdmRdJ 2 22 (3)求出)求出j202mrdmrj，几个典型刚体的惯性矩几个典型刚体的惯性矩2 mRJ c是相当于质量m的质点轴的质点轴的jrmcdmd(2) dldr 2222 cocossdlrddrjdmrr 22203 cos2Mr jrd示例2 :求均匀

5、薄圆盘相对于中心垂直轴的惯性矩：均匀薄圆盘相对于中心垂直轴的惯性矩Rm C (1) 求选择微小区求选择微小区dmrdrmrdrdsdm22(2)djdj=r2dm(3)求j20221mrrdrmrdmrjrm21mrj解：可见圆盘由多个小圆环构成。 解：可视光盘由许多小圆环组成。在r dr 0 r例3的球体中，轴沿直径球体，轴为直径(y ) 221 dmxdjdvdmdyx 222 (21 xdyxrrjdjrydymrjdymr 22212 () 25 222 yxR z y x o R dm例4 :求相对于中心轴及边缘轴的均匀细杆的惯性矩：求相对于中心轴及边缘轴的均匀细杆的惯性矩的2 12

6、 1 mlJ c重心轴相对于重心轴caml2l2xdxlmdxdm)(1dxdmxdj22 ) ) J L L m c 2 2 2 3 ) (可见、质量相同、形状相同、旋转轴不同、可见、质量相同、形状相同、旋转轴不同、j不同。 不是。 2关于1 ml对质心轴对质心轴02lajxdx31lx3l13l23ml21mlja对边缘轴对边缘轴a3.j的若干规则1 .对同一轴对同一轴j有重叠性的重叠性J=Ji 2.平行轴定理平行轴定理JJmd c 2 C d O m JCJ 从轴定律可以看到平行轴定律，在各平行的旋转轴中各平行的旋转轴中，与通过重心的旋转轴对应的惯性矩与通过重心的旋转轴对应的惯性矩是最小

7、的。 的双曲馀弦值。 其中，相对于： Jc:刚体的重心轴的、相对于与惯性矩J:刚体的重心轴平行的轴的、惯性矩d:的平行轴间的距离M m o R 22 2 1 mRMRJo，表示圆盘的惯性矩行轴相对于通过该边缘点o的平行轴的旋转力矩333， 对通过该边缘点o的平行圆盘求出均匀的薄圆盘的60 2 CO mdJJ 2 22 2 3 2 1 mR mRmR o J R C m O，前面例为前面例4的结果中的结果2camdjj2231212mlmlml2cam0例5.摆模型图表示摆模型，1根均匀细的棒的双曲馀弦值。 细棒细棒OA的长度为长度l，质量为m1，圆板圆板c的半径为r，质量为m2。 的双曲馀弦值

8、。 该摆模型绕轴摆动这一摆模型绕轴摆动，绕轴的杆端o与有大板块的平面垂直，与有大板块的平面垂直。 的双曲馀弦值。 求这个模型求这个模型的惯性矩的惯性矩吧。 的双曲馀弦值。 综合J=细棒的细棒的J1圆板的圆板的J2平行轴定理应用平行轴定理2 2 2 2 2 1 )(2 1 3 1 LRmRmLmJ A C O解：解： p书127，3-5一，力矩是改变刚体旋转状态的原因1， 力矩是变更刚体旋转状态的原因刚体的定轴旋转法则如果刚体的定轴旋转法则(lawofrotationofarigidbodyaboutafixedaxis )成为M=0，则在刚体等速旋转或静止时， 刚体等速旋转或静止1 .力旋转平

9、面内力在旋转平面内为F r M d j FrM F=Mdsin=F rj FM=r F=12 rF ) (在定轴旋转问题中，所谓考虑的力矩是定轴旋转问题，所谓考虑的力矩是旋转平面内力的分力相对于旋转轴的力矩平面内的分力对旋转轴的力矩。 使旋转平面2旋转，对旋转平面内不施加力的力在旋转平面内F r F F 2 1变形，对旋转无贡献。 变形，对旋转不起作用。只能引起f轴的1 r F =21 rrF二二旋转的法则把刚体看作由n个质点构成的利用质点系牛顿第二定律的牛顿第二定律iiii Ffm a ininiin ititiit Ffm a Ffm a对旋转轴的力矩零对旋转轴的力矩零点和I nin fF

10、 ititiiit i Ffrm a r iti ar，定轴刚体z Fi mi ri fi的合力的合力刚体内的其他质点对刚体内的其他质点对内力、内力，的合力的合力对外力，刚体以外的其他物体外力， 刚体以外的对iiiiimfmfm2sinsiniiiiiiffrrmr0siniiirf对于所有质点表示该式，对于所有质点表示该式，出现修正22 sin ziiiiii i MFrmrm r以外的内力矩对，出现大小相等的内力矩对大小相等方向相反作用于一条直线的方向相反作用于一条直线j的反映刚体的旋转惯性的大小反映刚体的旋转惯性的大小上式2sinsiniiiIIIfrfrmr刚体的惯性矩刚体的惯性矩连续

11、统dmrrmJ iiz 22 FM=r zz JM外轴外力矩的代数和为对外zmz.12 .定轴可重写角标定轴可重写角坐标z MF Jm a 3.与牛顿的第二定律相比， 与牛顿的第二定律相比，与方向相同的力矩取正方向和反方向的力矩取负方向的力矩取正方向：力矩的正方向：对具有JM刚体的固定旋转轴的外力力矩与对具有刚体的固定旋转轴的外力力矩相等的惯性矩和由此得到的角刚体的定轴旋转法则刚体的定轴旋转法则讨论JM amF例：某飞轮直径例：某飞轮直径d=50cm，绕中心垂直轴旋转，绕中心垂直轴旋转，惯性矩惯性矩J=2.4米2，旋转速度n0=1000旋转/分钟，制动分q :制动后飞轮旋转几圈后停止求出FD(

12、1)nf，根据以向外为正、以向外为正的2 d fM 2/4 .20 4 . 2 25. 08 . 9504 . 0秒弧度旋转法则求出旋转法则j m JM (根据(2)求出转速) 求出转速220260202n旋转弧度43270270270302 nt 02021 TT (202复习t d d角加速度位置角位置角角位移dt d大小：方向：旋转方向和右旋转方向和右手螺旋角速度刚体定轴旋转的角量描述刚体定轴旋转的角量描述r r dt dv at 2 ran .const t 0 2 0 2 1 tt )数据中心(2022zop恒轴刚体刷新方向刷新丙二烯方向v r r射线量和角度量的关系射线量和角度量的

13、关系复习力矩改变刚体旋转状态的原因力矩改变刚体旋转状态的原因rmc21mrj2mrjcrmcamxdx0212mljc对重心轴对重心轴2 3 1 mlJ A对边缘轴对边缘轴平行轴定理平行轴定理JJmd c 2 MrF 2 m Jr dm惯性矩惯性矩质点(系)刚体dtrdvdtddta 2d tdtd2dtddtmvdmrj 2复习amF JM旋转定律应用例旋转定律应用例解问题步骤： 1. 2 .固定旋转轴寻找运动3 建立方程式。特别注意： 1.明确转动轴的位置。 明确转动轴的位置。 2 .选择旋转的正方向选择旋转的正方向，留心力矩角速度角加速注意力矩角速度角加速度的正负。 度的正负。 3 .同一方程的所有量必须相对于同一旋转轴。 同一方程的所有量必须相对于同一旋转轴。 两类问题两类问题3360第一类第一类：以角量运动，求力矩。 根据角量运动求力矩。 (微分法微分法)第二类第二类：根据力矩和初始条件求出刚体运动。 根据力矩和初始条件求刚体运动。 (积分法积分法) JM定轴O R t h m v0=0绳索解：轮和解：轮和m是连结体为连结体，轮是定轴轮为定轴旋转，旋转，m是平移运动，两者用绳索连结，两者用绳索连结。 打结。 m的速度的大小和轮缘的速度的大小与轮缘线速度的大小相等。 边缘线速度大小相等。 1(JTR )