概率统计第三章 多维随机变量及其分布

1、第三章 多维随机变量及其分布 上次课复习：概率论实践中总结出了重要的几类概率模型和与之相关的随机变量的概率分布：二项分布，泊松分布，均匀分布，正态分布等我们需要了解这些重要的概率分布及其产生的背景，从而指导决策教材章节题目：第三章 多维随机变量及其分布 第一节 多维随机变量及其分布（3.1 3.2 ） 教学要求：了解多维随机变量的概念了解二维随机变量的联合分布函数的概念和性质理解二维离散型随机变量的联合分布律的概念和性质，二维连续型随机变量的联合密度函数的概念和性质了解二维均匀分布、二维正态分布掌握由二维随机变量的联合分布求边缘分布重 点：联合分布律，联合密度函数，边缘分布难 点：由联合分布求

2、边缘分布教学手段及教具：板书，多媒体讲授内容及时间分配：二维随机变量及其分布函数 20分钟二维离散型随机变量的分布律 25分钟二维连续型随机变量的概率密度函数 45分钟由联合分布确定边缘分布 45分钟课后作业习题三 16参考资料概率论与数理统计 盛骤等编著 高等教育出版社概率论与数理统计 陈希孺编著 科学出版社A First Course in Probability Ross S M著 Pearson Education, Inc.第三章 多维随机变量及其分布第一节 多维随机变量及其分布二维随机变量若对于试验的样本空间中的每个试验结果，有序变量都有确定的一对实数值与e相对应，即， ，则称为二

3、维随机变量或二维随机向量 6二维离散型随机变量及联合概率函数如果二维随机变量仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称为二维离散型随机变量 二维离散型随机变量的分布可用下列联合概率函数来表示：其中， 7二维离散型随机变量的边缘概率函数 设为二维离散型随机变量，为其联合概率函数（），称概率为随机变量的边缘概率函数，记为并有，称概率为随机变量Y的边缘概率函数，记为，并有 =. 8随机变量的相互独立性 设为二维离散型随机变量，与相互独立的充分必要条件为 多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论二维离散型随机变量的条件概率函数 设为二维离散型随机变量，为其联合概率函

4、数 ，在给定下的条件概率函数为 在给定下的条件概率函数为 10随机变量函数的分布 设是一个随机变量，是一个已知函数，是随机变量的函数，它也是一个随机变量对离散型随机变量，下面来求这个新的随机变量的分布 设离散型随机变量的概率函数为则随机变量函数的概率函数可由下表求得但要注意，若的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率相加 1二维离散型随机变量函数的分布 如果二维离散型随机变量的联合概率函数为则随机变量函数的概率函数为但要注意，取相同值对应的那些概率应合并相加 特别有下面的结论： (j)设，且与相互独立，则； (ii) 设，且与相互独立，则三、思考题某地有人参加人寿保险，每人

5、在年初向保险公司交付把费元，若在这一年内死亡，则由其家属从保险公司领取元设该地人口死亡率为，求保险公司获利不少于元的概率已知二维随机变量的联合概率函数为问取何值时，与相互独立？ 3联合分布函数 二维随机变量的联合分布函数规定为随机变量取值不大于实数的概率，同时随机变量取值不大于实数的概率，并把联合分布函数记为，即 4联合分布函数的性质 (1) ； (2) 是变量(固定)或(固定)的非减函数； (3) ，；(4) 是变量(固定)或(固定)的右连续函数； (5) 二维连续型随机变量及联合概率密度 对于二维随机变量(X，Y)的分布函数，如果存在一个二元非负函数，使得对于任意一对实数有成立，则为二维连

6、续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合概率密度 二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) ； (2) ； (3) 设为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线，有； (4) 在的连续点处有 ; (5) 设为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域有 1，二维连续型随机变量的边缘概率密度 设为二维连续型随机变量的联合概率密度，则的边缘概率密度为；的边缘概率密度为 1二维连续型随机变量的条件概率密度 设为二维连续型随机变量的联合概率密度，则在给定的条件下的条件概率密度为，其中；在给定的条件下的条件概率密度为，其中 1常用的二维连续型随机变量 (1)均匀分布 如果在二维平面上某个区域G上服从均

7、匀分布，则它的联合概率密度为 (2) 二维正态分布 如果的联合概率密度则称服从二维正态分布，并记为. 如果，则，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布 1随机变量的相互独立性 如果与的联合分布函数等于的边缘分布函数之积，即， 那么，称随机变量与相互独立 设为二维连续型随机变量，则与相互独立的充分必要条件为 如果那么，与相互独立的充分必要条件是 多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维随机变量的联合分布函数等于每个随机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论 1随机变量函数的分布（）一维随机变量函数的概率密度 设连续型随机变量的概率密度为，则随机变量的分布函数为其中，与

8、是相等的随机事件，而是实数轴上的某个集合随机变量的概率密度可由下式得到： 连续型随机变量函数有下面两条性质： (i)设连续型随机变量的概率密度为，是单调函数，且具有一阶连续导数，是的反函数，则的概率密度为 (ii) 设，则当时，有，特别当时，有，（）二维随机变量函数的概率密度 设二维连续型随机变量的联合概率密度为,则随机变量函数的分布函数为,其中，是与等价的随机事件，而是二维平面上的某个集合(通常是一个区域或若干个区域的并集) 随机变量函数的概率密度为. 当与相互独立，且的概率密度为,的概率密度为时，随机变量函数的概率密度为,或以上两个公式也称为卷积公式当与相互独立，且的分布函数为,的分布函数

9、为时，随机变量函数的分布函数为，随机变量函数的分布函数为通过求导，可以求得的概率密度 特别有下面的结论： 设，且与相互独立，则三、思考题设随机变量的概率密度为求若为相互独立的分别服从上均匀分布的随机变量，试求的分布密度函数在许多问题中，随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述如，大学生的身体状况（身高和体重），弹着点的位置等单单逐个研究还不足以把握其变化规律，因为它反映不出和之间的关系，需作为一个整体来研究多维随机变量以二维随机变量为例介绍一 二维随机变量及其分布函数1 二维随机变量定义1 设、是定义在同一样本空间上的随机变量，称有序对为二维随机变量（Two- dimension

10、al random variables，2-rv）或二维随机向量注1 可以看作平面上的随机点注2 用二维随机变量表达事件：特别地，注3 维随机变量2 二维随机变量的分布函数定义2 设为二维随机变量，称二元函数（任意实数）为二维随机变量的分布函数, 或的联合分布函数，或和的联合分布函数（J-cdf）注4 表示随机点落在以为右上端点的广义矩形区域内的概率（画图）注5 随机点落在任意矩形区域之内的概率为注6 维随机变量的分布函数（或的联合分布函数）：（）3 分布函数的基本性质性质1（非减性）对于每一个变量非减性质2（右连续性）对于每一个变量右连续性质3（边界极端性），性质4（多维特别性质） 对任意，

11、有注7 4条性质是决定性的画图并解释性质4（缺之不可，对比多元微积分与一元微积分）：对于多维随机变量，由分布函数出发求事件的概率不常采用（了解之即可）类似于一维情形，通常我们是针对离散型和连续型这两种常见情形，给出表达其概率分布的比较方便的形式二 二维离散型随机变量的分布律1 定义定义3若二维随机变量的所有可能的取值是有限个或可列个：，则称为二维离散型随机变量(Two-dimensional discrete random variables, 2d-rv)，并称函数（）为的分布律，或的联合分布律，或和的联合分布律（J-pmf)注8 表示随机点落在点上的概率注9 二维离散型随机变量的分布律的表

12、格表示：一维表格（不常用）：略二维表格（常用）： YX例1 口袋中有3个球（编号分别为0,1,1）接连抽取两球，、分别表示第一次、第二次取得球的编号，求和的联合分布律例2 某射手击中目标的概率为连续射击直至击中目标两次为止，表示首次击中目标所射击的次数，表示总射击次数，求和的联合分布律解 X和Y的联合分布律为（）2 联合分布律的基本性质性质1（非负性）性质2（正则性）注10 性质是决定性的3 由联合分布律求事件的概率特别地，（当然，由联合分布函数还可导出联合分布律）三 二维连续型随机变量的概率密度函数1 定义定义4 设是二维随机变量，若存在非负函数，使得，则称为二维连续型随机变量(Two-di

13、mensional continuous random variables，2c-rv)，而函数称为二维随机变量的概率密度函数，或的联合概率密度函数, 或和的联合概率密度函数(J-pdf)注11 密度函数不唯一注12 表示随机点落在的微小邻域内的概率2 联合密度函数的基本性质性质1 性质2 注13 性质是决定性的例3 设的密度函数为，求（1）常数C；（2）分布函数；（待讲）（3）（待讲）3 由联合密度函数求事件的概率特别地，例3 （2）（3）见上例4 设的密度函数为，求（1）； （2）4 联合密度函数与联合分布函数；（在的连续点处，或使得二阶混合偏导连续的点处）5 常用的二维连续型分布 二维均

14、匀分布 ：背景：馅饼 二维正态分布（为任意常数，, ）：特别地，（二维标准正态）：四 联合分布与边缘分布随机变量和作为一个整体：，具有概率分布（联合分布函数，联合分布律或联合密度函数），它从整体上反映了的统计规律性由于和都是随机变量，它们都有自己的概率分布（分布函数，分布律或密度函数）为了区别于联合分布，分别称之为二维随机变量关于和关于的边缘(Marginal)概率分布（边缘分布函数M-cdf，边缘分布律M-pmf或边缘密度函数M-pdf）记号: ,等联合分布可完全确定边缘分布： 边缘分布函数可由联合分布函数确定：， 边缘分布律可由联合分布律确定：， 边缘密度函数可由联合密度函数确定：，例5（

15、见前例1）（略）例6（见前例2）已知和的联合分布律为，（）求的边缘分布律解 关于X的边缘分布律是（m=1,2, ）；关于Y的边缘分布律是（n=2, 3, ）注 14 二维正态分布的边缘分布是正态分布（以二维标准正态为例推导）：，注 15 边缘分布不能完全确定联合分布如上例（二维标准正态，）其实，联合分布不仅刻画了和各自的特征，而且反映了和之间的关系例7 设（其中：），求的边缘密度函数例8 设二维随机变量的密度函数为，试求的边缘密度函数解 ； 第10、11次课 3 学时上次课复习：在许多问题中，随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述单单逐个研究还不足以把握其变化规律，因为反映不出

16、和之间的关系，需作为一个整体来研究多维随机变量由多维随机变量的联合分布可确定边缘分布，但由边缘分布不能唯一确定联合分布教材章节题目：第三章 多维随机变量及其分布第二节 条件分布与随机变量的独立性（3.3 3.4）教学要求：掌握条件分布律、条件概率密度的计算，了解条件分布函数会利用条件分布求联合分布及边缘分布理解随机变量的独立性，掌握独立性的等价条件及性质重 点：利用条件分布求联合分布及边缘分布，随机变量的独立性难 点：随机变量的独立性教学手段及教具：板书，多媒体讲授内容及时间分配：条件分布引入 5分钟离散型随机变量的条件分布律 25分钟连续型随机变量的条件密度函数 35分钟乘法公式与全概率公式

17、的其他表现形式 25分钟两个随机变量的独立性的定义 10分钟两个随机变量的独立性的等价条件 30分钟独立性的性质 5分钟课后作业习题三 711参考资料概率论与数理统计 盛骤等编著 高等教育出版社概率论与数理统计 陈希孺编著 科学出版社A First Course in Probability Ross S M著 Pearson Education, Inc.第二节 条件分布及随机变量的独立性一条件分布一般情况下，随机变量X的取值对随机变量Y的概率分布有影响例如，X和Y分别表示身高和体重它们各自有一定的概率分布若限制X的取值, 则Y的概率分布肯定不同于原来的分布，这个分布就是条件分布在某种给定条

18、件下（通常是X取某个特定值），随机变量Y的概率分布就称为条件分布引例（见前例1）考虑在X=1条件下，Y的概率分布条件分布律1 离散型随机变量的条件分布律 定义1 设是二维离散型随机变量，若对于固定的，则称，为条件下随机变量的条件(Conditional)分布律同样，若对于固定的，则称,为的条件下随机变量的条件分布律 注1条件分布律是分布律注2条件分布律的表格表示（略）例1（见前节例2）解 X和Y的联合分布律为，（）关于X的边缘分布律是（）；关于Y的边缘分布律是（）条件分布律为对于，（m=1, 2, , n-1）， 对于 ，2 连续型随机变量的条件密度函数定义2 设二维随机变量的概率密度函数为若

19、对于固定的，则称为条件下的条件(Conditional)密度函数类似地，可定义注3 条件密度函数是密度函数注4 正态分布的条件分布是正态分布（以二维标准正态分布为例推导，）例2（见前节例5）设服从区域：上的均匀分布，求（1）；（2）P(X1|Y=y)（待讲）注5 若(X, Y)是连续型随机变量, 则对任一集合L，注6 下的条件分布函数： 3 乘法公式与全概率公式的其他表现形式 离散形式：,. 连续形式：，.例3 设某班车起点站上客人数X服从参数为(0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示中途下车的人数求二维随机变量(X,Y)的概率分布解 已知X=

20、n时Y的条件分布是参数为n，p的二项分布，所以PY=m|X=n=, 0mn由X ()知，(X,Y)的分布律为PX=n,Y=m=PX=nPY=m|X=n=, n=0,1,2,；m=0,1,n例4 设随机变量X在(-1,1)区间服从均匀分布，当观察到X=x (-1x1)时，随机变量Y在(x2,1)上服从均匀分布，求Y的密度函数解 由题意fX(x)=，且当-1x1时，fY|X(y|x)=于是从而fY(y)=二 随机变量的独立性（以两个为例）1定义定义3 设是两个随机变量，如果对于任意的实数x和y，有 (即)则称随机变量X与Y相互独立（Mutually independent） 注7 与相互独立的本质

21、是注8 当与相互独立时，由边缘分布可唯一决定联合分布注9 推广到多个2等价条件离散型：独立（对于所有的）连续型：独立（几乎所有的）例5 的联合分布律为： 0 1 2 0 1 0.06 0.15 0.35 0.21 问、取何值时，与相互独立？例6 已知的联合概率密度为，问与是否独立？解 易知，X和Y的边缘密度分别为 和 取点，易见，故随机变量与不相互独立注10 若服从二维正态分布，则与独立的充要条件是例3 设某种货物的需求量X与供应量Y都在（0，a）上服从均匀分布，并且两者相互独立，求缺货的概率3性质性质 若与是独立的，则与也是独立的第12次课 2 学时上次课复习： 与条件概率类似，引进条件分布

22、的目的主要不在于求条件分布，而在于利用条件分布求联合分布、求边缘分布（乘法公式与全概率公式的离散形式、连续形式）一般情况下，随机变量X的取值对随机变量Y的概率分布是有影响的随机变量X的取值对随机变量Y的概率分布没有影响意味着两个随机变量独立随机变量的独立性是很重要的概念，理论上经常假定随机变量是相互独立的教材章节题目：第三章 多维随机变量及其分布 第三节 多个随机变量的函数的分布（3.5） 教学要求：会求一般随机变量函数的分布掌握两个独立随机变量和的分布了解独立随机变量的极大、极小函数的分布了解二项分布、正态分布的可加性重 点：两个独立随机变量和的分布难 点：一般随机变量函数的分布教学手段及教具：板书，多媒体讲授内容及时间分配： 多个离散型随机变量的函数的分布 20分钟两个连续型随机变量的函数的分布 40分钟 第三章习题选讲 30分钟课后作业习题三 1215参考资料概率论与数理统计 盛骤等编著 高等教育出版社概率论与数理统计 陈希孺编著 科学出版社A First Course in Probability Ross S M著 Pearson Education, Inc.第三节 多维随机变量函数的分布