自考第1.1复数及其运算.ppt

1、1,作业,18页习题1,1.,2.(1),(3),(5),(6),4,2,第一章,复数与复变函数,一、复数的表示法,1.1,复数,二、复数的运算,3,一、复数的表示法,虚数单位,方程,的根是,是两个实数,称为复数,为,的实部,为,的虚部,的共轭复数,时,为实数,时,为纯虚数,1.复数的定义,4,例如,2.复数的几何表示,任何一个复数,对应平面上的一个点,轴上的点,轴,称为实轴,轴上的点,轴,称为虚轴,整个平面,或z 平面,任何一个复数,一一对应一个向量,可以用向量,来表示,向量的长度,称为z 的模,或绝对值,记为,时,以正实轴为始边,向量,为终边,的角的弧度数,称为z 的辐角,记为,任何一个非

2、零复数,有无穷多个辐角,把满足,的,称为辐角的主值,记为,为整数,对应一个实数,对应一个纯虚数,称为复平面,5,3.辐角主值的算法,零没有辐角,时,时,时,时,时,时,6,欧拉公式,为实数,为整数,7,4.复数的三角指数表示,设复数,模,辐角主值,称为复数,称为复数,例1 设,求,解,的三角式,和指数式,的三角表示式,的指数表示式,8,求下列复数的三角式、指数式,9,5.无穷远点与扩充复平面,球面S与复平面切于原点O,ON为球面的直径,南极,北极,复平面,对于复平面内任何一点z,直线段Nz,必相交于球面一点P,对于球面上异于N的一点P，,直线NP,必相交于复平面一点z,任何一个复数可以用,复平

3、面内一个点表示,因此复平面内的点z,一一对应球面上,也可以用球面上,若,则,我们规定,模为,的复数,对应着复平面的无穷远点,对应着球面上的点N,用球面上的点N表示,复数,含有无穷远点的平面,称为扩充复平面,不含有无穷远点的平面,称为有限复平面,简称为复平面,不同于N的点P,不同于N的点P表示,10,二、复数的运算,设,(1) 相等,若两个复数的实部和虚部,分别相等,则称这两个复数相等,且,且,(2)加法,(3)减法,11,(4)乘法,设,容易证明,例如,12,乘法的几何意义,设,任何两个复数,等于它们模,任何两个复数,等于它们辐角的和,特别设,则,则,复数z,得到复数,旋转,特别,乘积的模,的

4、乘积,乘积的辐角,13,课本第5页例1.3,已知正三角形的两个顶点为,求其第三个顶点,解,或,第三个顶点为,或,14,(5)倒数,设,15,(6)除法,设,例1 设,则,16,课本第7页例1.6 设,求,的三角式指数式,解,三角式,指数式,17,除法的几何意义,设,任何两个复数商的模,等于它们模的商,任何两个复数商的辐角,等于它们辐角的差,18,(7)乘方,设,为正整数,则,19,课本7页例1.7,设,为实数,若,则,为实数,证明,由条件得,代入得,例如,课本第6页例1.5,设n为自然数，,20,例2 求,解,例3 求,解,21,(8)开方,如果,设,则,称为,的n次方根,则,其中,时,的n次方根,共有n个不同的值,22,例4 求,解,23,例5 求方程,的所有根,解,方程的所有根为,24,18页11 试证,三点共直线,证明,因此,由,顺时针,旋转180度,再乘以,得到,故,三点共直线,25,18页11(2)试证,四点共圆周,证明,其中四点在以,为中心、,为半径的圆周上,根据条件得到,在虚轴上取一点,则,的距离为,的距离为,若,的距离为,则,于是,与,的距离为,条件中四点在以,为中心、,为半径的圆