第2章、静电场与恒定电场.ppt

1、第2章、静电场与恒定电场,2.1 库仑定律 电场强度 2.2 电位 2.3 静电场中的导体与电介质 2.4 高斯定理 2.5 静电场的边界条件 2.6 泊松方程和拉普拉斯方程 2.7 电容 2.8 静电场能量与静电力 2.9 恒定电场,1.点电荷模型,2.1 库仑定律 电场强度,2.1.1 库仑定律,2. 库仑定律,（ 为真空电容率）,令,库仑定律,库仑力遵守牛顿第三定律,1. 静电场,实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力， 但其相互作用是怎样实现的？,场是一种特殊形态的物质,2.1.2 电场强度,2.电场强度,单位,电场中某点处的电场强度 等于位于该点处的单位试验电荷所受的力，其方向为

2、正电荷受力方向.,电荷 在电场中受力,（试验电荷为点电荷、且足够小,故对原电场几乎无影响）,3.点电荷的电场强度,4.电场强度的叠加原理,由力的叠加原理得 所受合力,点电荷 对 的作用力,故 处总电场强度,电场强度的叠加原理,电荷连续分布情况,电荷体密度,点 处电场强度,电荷面密度,电荷线密度,由对称性有,（1）,（点电荷电场强度）,（2）,（3）,2.2 电位,2.2.1 静电场的无旋性,对上式两边同时取旋度,由矢量分析中的零恒等式 知，静电场的旋度恒为零，即,所以,由斯托克斯定理知,上式表明静电场是无旋场（保守场），电场强度E沿任一闭合曲线的线积分均恒为零，静电场中不存在旋涡源。,(积分大

3、小与 无关),1.电位,2.2.2 电位,令,电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电位零点，实际问题中常选择地球电位为零.,电位差,物理意义 把单位正试验电荷从点 移到无穷远时，静电场力所作的功.,（ 为参考电位，值任选）,(将单位正电荷从 移到 电场力作的功.),电位差,静电场力的功,2.点电荷的电位,令,3.电位的叠加原理,点电荷系,电荷连续分布,利用,若已知在积分路径上 的函数表达式， 则,（利用了点电荷电势 ，这一结果已选无限远处为电位零点，即使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点.）,4.电场强度与电位梯度,电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于这一点的电位

4、沿该方向单位长度上电位变化率的负值.,方向 与 相反，由高电位处指向低电位处,大小,直角坐标系中,为求电场强度 提供了一种新的途径,利用电场强度叠加原理,利用高斯定理,利用电位与电场强度的关系,物理意义,例1 正电荷 均匀分布在半径为 的细圆环上. 求圆环轴线上距环心为 处点 的电位.,例2 “无限长”带电直导线的电位,解,令,能否选 ？,1.静电感应 静电平衡条件,2.3 静电场中的导体与电介质,2.3.1静电场中的导体,静电平衡条件,（1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直.,导体表面是等势面,导体内部电势相等,2.静电平衡时导体上电荷的

5、分布,结论 导体内部无电荷,（1）实心导体,（2）有空腔导体,空腔内无电荷,电荷分布在表面上,内表面上有电荷吗？,若内表面带电,所以内表面不带电,结论 电荷分布在外表面上（内表面无电荷）,导体是等势体,空腔内有电荷,电荷分布在表面上,内表面上有电荷吗？,结论 当空腔内有电荷 时,内表面因静电感应出现等值异号的电荷 ，外表面有感应电荷 （电荷守恒）,为表面电荷面密度,作钱币形高斯面 S,（3）导体表面电场强度与电荷面密度的关系,表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比,注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关.,（4）导体表面电荷分布,3.静电屏蔽,（1）屏蔽外电场,空腔导体可以屏蔽外

6、电场, 使空腔内物体不受外电场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等.,屏蔽室门,屏蔽室门,接地空腔导体 将使外部空间不受 空腔内的电场影响.,问：空间各部 分的电场强度如何 分布 ？,接地导体电势为零,（2）屏蔽腔内电场,2.3.2 静电场中的电介质 1.电介质,电介质与导体不同，它的原子核与周围的电子之间相互作用力很大，所有的电子均被束缚在原子核周围，没有可自由运动的自由电荷。因此在电场的作用下，唯一可能存在的运动，就是正负电荷向相反方向产生微小位移，从而形成极化电荷。这些极化电荷构成了新的附加场源，使原电场的分布发生变化。 按照介质分子内部结构的不同，可将其分为两类：一类是非极

7、性分子，它的正负电荷的电中心重合，偶极矩为零。另一类是极性分子，其正负电荷的电中心不重合而，具有固有偶极矩。但由于分子的热运动，它们的排列是随机的。在没有外加电场时，从整体上看呈电中性，即总的偶极矩为零。此外，还有部分介质是由离子组成的。我们主要讨论由分子组成的介质。,2.电介质的极化,3.电极化强度,表面极化电荷面密度,4. 电介质中的电场强度 极化电荷与自由电荷的关系,2.4.1 真空中的高斯定理,2.4 高斯定理,1.立体角 是指在一点所作的三个或三个以上不同平面的平面角所围成的空间部分立体角的大小，是由立体角在以角顶为球心的单位球面上截下的球面多角形的面积来度量的.,设在无限大真空中O

8、点有一点电荷q，以任意曲面S包围该点电荷，则穿出这个封闭曲面的电通量为,2.高斯定理,因此,如果电荷的总量为Q， 并以体密度 分布在闭合面 包围的体积内，应用散度定理， 上式也可写成,真空中，还可以写为,在介电常数为的介质中有,在点电荷 和 的静电场中，做如下的三个闭合面 求通过各闭合面的电通量 .,3.高斯定理的应用,其步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.,（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）,2.5.1 法向边界条件,2.5 静电场的边界条件,或,如果界面上无自由电荷分布，即 时，边界条件变为,或,2.5.2 切向边界条件,场强度的切向分量连续，

9、意味着电位是连续的，即,由于,法向分量的边界条件用电位表示为,在 时，,设区域 1 和区域 2 内电场线与法向的夹角分别为 、 .,导体内的静电场在静电平衡时为零。设导体外部的场为 、，导体的外法向为，则导体表面的边界条件简化为,例 同心球电容器的内导体半径为 ，外导体的内半径为 ，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为 ，下半部分的介电常数为 ，如图所示。设内、外导体带电分别为 和 ， 求各部分的电位移矢量和电场强度.,解：,在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有,例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 和 ,图(a)已知极板间电压 , 图(b)已知极板上总电荷 ,试分别求其中的

10、电场强度.,解：忽略边缘效应,静电场的基本方程：,泊松方程,拉普拉斯方程,2.6 泊松方程和拉普拉斯方程,例1 列出求解区域的微分方程,三个媒质区域的静电场,解：由于极板面无限大，故板间电场为均匀场，且场源电荷仅与 有关，所以板间电场和电位也只是 的函数. 处电位为0， 处电位为 .根据题意有,例2 两无限大平行板电极，板间距离为 ，电压为 ，并充满密度为 的体电荷.求极板间电场强度。,当 时,当 时,板间任意一点电位为,板间任意一点电场为,2.7.1 电容,例如 孤立的导体球的电容,2.7 电容,电容器电容,电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间的电介质有关. 与所带电荷量无关.,电容器电

11、容的计算,步骤,1. 平板电容器,（2）两带电平板间的电场强度,（1）设两导体板分别带电,（3）两带电平板间的电势差,（4）平板电容器电容,平行板电容器电容,2.圆柱形电容器,（3）,（2）,（4）电容,3.球形电容器的电容,球形电容器是由半径分别为 和 的两同心金属球壳所组成,解设内球带正电（），外球带负电（）,孤立导体球电容,*,单位长度的电容,解 设两金属线的电荷线密度为,例 两半径为 的平行长直导线中心间距为 ，且 , 求单位长度的电容 .,2.电容器的串联和并联,（1）电容器的并联,（2）电容器的串联,(i=1, 2, , n),导体的总电位应该是整个系统内所有导体对它的贡献的叠加，

12、即导体的电位为,2.7.2 部分电容,或写成矩阵形式,令,(ij),则上式变成,带电体A在其周围空间里产生的静电场可以使此空间中的另一带电体B移动而作功，说明静电场中储存着能量。,静电场的能量应等于带电体A在充电过程(或静电场的建立过程)中，由外电源克服电场力所作的功。,1. 带电系统的能量,设有n个带电体构成的系统中，每一个带电体的电量都同时从零开始，逐渐增加到它们的最终值 ，对应的电位分别为 。在此过程中的任一时刻t，各个带电体都充电到它们终值的 ，即电量是 ，相应的电位是,2.8 静电场能量与静电力,2.8.1 静电能,若第k个带电体上的电量增加了 时，外电源所作的功为,对n个带电体充电

13、时，外电源所作的总功为,根据能量守恒定律，这些功转换为静电场的能量，储存于带电系统中，即,对n个带电体的电量由零增加到最终值时，电场的储能达到：,例：平行板电容器，外电源充电后，板上的电量分别为 ，电位分别是 ，则电容器储存的电场能量为：,对电荷连续分布的讨论：,设电荷体密度为 ，将其分割成许多体积元 ，每个体积元的电量为 ，则其能量为,整个体积 所储存的能量为：,对于面电荷与线电荷有：,2.能量密度,设在空间某个有限区域，既有体电荷密度 ，也有分布在导体表面上的面电荷 ，则静电场的总能量为：,把积分范围扩大到整个空间 ，也不会改变积分的数值。,第一项体积分为,由高斯散度定理，得,而且,由导体

14、表面的边界条件,将上述几式代入A式，得,S是限定 的曲面，即,在各向同性的介质中：,例1： 电容器的电能,物理意义电场是一种物质，它具有能量.,例2：如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 和 ，所带电荷为 若在两球壳间充以电容率 为 的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？,解,2.9.1 电流密度,电荷在电场作用下作定向运动就形成电流，等速运动的电荷形成恒定电流，维持恒定电流分布的电场称为恒定电场.,电流强度:指单位时间内通过某导体截面的电流量,电流密度:方向与导体中该点正电荷运动的方向相同，大小等于与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电流强度.,2.9 恒定电场,2.9.2 欧姆定律与焦

15、耳定律,实验表明，对于各向同性的、线性的均匀导电媒质，其中任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即,1. 欧姆定律,欧姆定律的微分形式,欧姆定律的积分形式,2. 焦耳定律,假设导体内运动电荷的密度为 ，速度为 ，则在单位时间 内，电场力对体积元 中的元电荷 所做的功为,电场在导电媒质单位体积中消耗的功率为,焦耳定律的微分形式,总功率,2.9.3 电荷守恒定律,电荷守恒定律:任一封闭系统内的电荷总量不变.,其中： 是闭曲面 内的总电量，且,这就是电荷守恒定律的数学表达式，亦称为电流连续性方程的积分形式.,对方程左边应用散度定理，有,电流连续性方程的微分形式,电流连续性方程的微分形式,在恒定电场中,上式表明恒定电流必定是连续的，电流线总是闭合曲线，恒定电场是无散场.,所以,2.9.4 恒定电场的基本方程与边界条件,1. 恒定电场的基本方程,在恒定电场中，电荷的分布不随时间变化,因此，电源外部的恒定电场的基本方程,微分形式,积分形式,由于恒定电场的旋度为零，因此也可引入电位 ， , 且 满足拉普拉斯方程,恒定电场是无