线性系统理论讲义第四章2：状态反馈-多变量.ppt

1、1,四、多变量系统状态反馈,基本思路：若多变量系统(A, B)可控，其极点配置的主要思路是要将其化为单变量系统的极点配置问题，步骤如下：,任取 bIm(B) , b0， 找一个状态反馈增益阵K1，使单变量系统 (A+BK1, b) 可控；,对单变量系统(A+BK1, b)配置极点到希望的位置：,2,因此，找状态反馈增益阵K1是关键。,3,4,证明分以下几步完成：,定理4-4 若(A, B)可控，则对B值域中的任一非零向量b，均存在一个状态反馈增益阵K1，使得 (A+BK1 , b) 可控，这里，K1 Rpn。,5,利用如下结论： 引理：(见习题4-3) 若(A, B)可控，可选取向量u1, u

2、2, , un1(共n1个！），使得由下式定义的n个向量x1, x2, , xn 线性无关p7：,其中b 为B值域中的任一非零向量，xiRn1, uiRp1,6,2). 定义矩阵 K1Rpn ：,即：,7,3. 证明(A+BK1, b) 可控p5,8,9,定理4-5 若系统(4-1)可控，则存在状态反馈增益阵K，使得A+BK的n个特征值配置到复平面上n个任意给定的位置（复数共軛成对出现）。,证明 首先选取非零向量L，可得 b=BL， 由定理4-4可知存在K1，使 (A+BK1, b) 可控。由单变量极点配置定理可知存在n维行向量k，使得 A+BK1+bk,10,故只要取 K= K1+Lk 即可

3、证明定理4-5。 证完。,A+BK1+bk =A+BK1+BLk = A+B(K1+Lk),的特征值可任意配置。但,11,12,引理的证明：这里给出一个构造性的证明。,13,14,15,使得,线性无关，但,16,这里,故,17,则,18,注：引理的证明过程实际上给出了如何选取xi 和 ui ,使,从而选取矩阵K1的算法。,证完。,19,例题 1 系统方程为,试构造K1，使(A+BK1 , b=BL)可控。,解1 (试凑法） 取 x1 = BL =b=0 1 1T0, L=1 1T。 考虑 x1=b, xk+1= A xk+ B uk (k=1, 2, , n1)，,20,因为 Ax1=1 1

4、1T 与x1线性无关，故取 x2= Ax1, 也就是可令 u1=0 0T 又因为Ax2与x1, x2 构成线性相关组，u2不能取 0 0T，可取 u2=1 1T， 这样可得 x3= Ax2+Bu2= 2 0 2 T。,21,因此，由K1=u1 u2 0 x1 x2 x3-1，可得,不难验证(A+BK1 b)可控。,22,解2 利用引理所给出的算法。取 x1 = Bu1 =b=0 1 1T, u1=1 1T。 根据引理，取 x1= b1, x2= Ax1+ b1 =Ax1+ Bu1= 1 2 2T 则显然 x1 和 x2 线性无关。但 Ax2+ b1= 3 3 3T 却与x1 和 x2 线性相关

5、。因此取,23,b2=0 0 1T, 有 x3= Ax2+ b2 = 3 2 3T 则x1, x2, x3 构成线性相关组。 这里， u1= 1 1T, u2= 0 1T,24,例题2 系统方程为,欲使闭环系统(A+BK)具有特征值2, 2, 1j, 试确定状态反馈增益阵K。,取L =1 0T, x1=b1=0 0 1 0T； 取 u1=1 0T, 可得 x2=0 1 0 0T ； 取 u2=0 0 T , 可得 x3=1 0 0 0 T ； 取 u3=0 1 T , 可得 x4=0 0 0 1 T ；,解 先用试凑法求xi 和 ui ：,25,于是由 的计算式可得,显然，(A+BK1, b1

6、)可控。令k=k1 k2 k3 k4, 直接计算,26,它的特征式为 s4 (1+k3)s3+(k3k2)s2+(k2k1)s+k1 k4, 期望特征式为 s4+6s3+14s2+16s+8, 比较上述两多项式的系数，可得 k1 =37, k2=21, k3=7, k4=45 状态反馈阵可取为,27,在上面的做法中，在L和 ui 取定后，k 就唯一的确定了。但 L 和 ui 是非唯一的，这一事实至少可以说明达到同样极点配置的K值有许多。K的这种非唯一性是多输入系统与单输入系统极点配置问题主要区别之一。如何充分利用K的自由参数,以满足系统其它性能的要求,是多输入系统状态反馈设计的一个研究领域。,

7、28,式中fi (K)表示某一个以K的元素kij为变量的非线性函数。如果将期望多项式表成,多输入系统状态反馈配置极点问题的另一特点是“非线性方程”。说明如下：如将K阵的元素用待定系数kij 表示，闭环的多项式可以写为,29,比较两式的系数，可知应有,(S3) 18,例：对多变量系统，,显然，det(sIABK)的系数是非线性的。,30,det(sIABK)在单输入情况始终是线性方程组，在多输入时，一般是非线性方程。定理4-4所提供的事实表明：当系统可控时，可以通过牺牲K的自由参数，使det(sIABK)简化为一组能解出的线性方程组。 对例题2，也可以用求解上述方程来做，通过 K 中自由参数的适

8、当选取，往往可以方便地求出需要的K阵。,31,解 因为,例题3 对例题2中的系统，用直接求解fi(K)=i 的方法，计算达到极点配置的K阵，这里，欲使配置的闭环系统(A+BK)具有特征值2, 2, 1j。,32,方案：取 k4=k5=k6=k7=0, 1+k8= 2, 由,易得,即有,33,方案2 ： 取 k1=k2= 0, k3= 1 , k4=1,可得 k5=8, k6=16 , k7=14, k8=7, 即有,由,34,以上的做法中，充分利用了将矩阵分块和相伴标准形的有关知识，从而方便了计算。,如同单输入系统一样,定理4-4中可控条件对于任意配置极点是充分必要条件，但对于某一组指定的特征

9、值进行配置时，系统可控只是充分条件，而不是必要条件。,极点配置中反馈增益阵选取的不唯一，表明由此生成的闭环传递函数阵一般是不同的，从而也将具有不同的响应特性。显然，在极点配置问题中应选择响应速度较快的反馈增益阵。,35,五、状态反馈对多输入多输出系统零点的影响(仅介绍，不要求）,给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要条件是给定极点组需包含系统的全部不可控模态。因此判别原来系统的模态可控性就成了关键。,36,37,38,39,六、镇定问题,1. 状态反馈的镇定问题：对于定常系统,40,41,2. 系统按镇定分类,42,能够使用极点配置的条件：状态可以测量 如果系统的状态不能完全测量这是大多数 控制系统的共同特点则不能直接采取状态反馈配置极点的方法。但即便如此，极点配置的结果仍然具有重要的理论和广泛的工程意义，是线性系统理论最经典的成果之一。,43,还需要特别指出的是，由于任何真实的工业系统都不是真正意义上的线性系统，即使全