线性系统理论讲义第三章：4实现Rosenbrock.ppt

1、1,3-5 正则有理传递函数 矩阵的最小阶实现:Rosenbrock 方法,给定(A, B, C), Rosenbrock 降阶化简方法的基本特点是：通过一系列特殊的等价变换，使得：,(1) 若(A, B) 可控，变换的结果将以显然的形式表示可控性； (2) 若 (A, B) 不可控， 变换的结果 将是如下的可控性分解：,2,另一形式:,1)按可控性分解形式,3,2)用对系统矩阵的初等变换来表示等价变换,前n行进行行变换， 前n列进行相应的变换 1. 交换 i, j 行， 1. 交换i, j 列。 2. ( 0)乘第i 行 ， 2. i 列除以 。 3.i 行乘 加到 j 行， 3. j 列乘

2、()加到i 列 p18 p8 p19。,系统矩阵,4,假定系统可观但不可控，最终的结果是：,则(A22, B2)可控，且不难验证此时(A22, C2)可观。再注意到G(s)=C(sIA)1B=C2(sIA22)1B2，因此，(A22, B2, C2)就是系统的最小实现。而将一个G(s)实现为可观形式利用前面介绍的按行展开是容易的。,5,3) Rosenbrock 算法 ： p.110 该算法给出了如何利用前述的初等变换进行可控性分解的步骤。从系统矩阵的第n行，第n+p列的元素开始，依次进行(仍假定B列满秩）。,第n行，第n+p列的元素，即i=0,j=0),6,i=0, j=0(4, 7) =

3、(n, n+p),Step 1: 令指标i=0, j=0，并继续进行Step 2;,Step 2: 若(1, n+pi)、 (2, n+pi)， (n-j, n+pi)上的每个元素都是零(这种情形对B阵不存在），则转到Step 6，否则继续进行Step 3; p8 p21 p19,(3, n+p),(2, n+p),(1, n+p),Step 6: 将i 增加1，若ij =p，则过程终止；若ij p则转而进行Step2;,7,Step 3: 利用变换1，将一个非零元移至(nj,n+pi)的位置（B列满秩的假设下非零元必存在），然后进行Step 4;p9,注：若 位置(nj,n+pi)上的元素已

4、经是非零，则可跳过Step 3。,8,Step 4: 利用变换3p3，把位置(nj,n+pi)以上的元素变为零，继续进行Step 5;,i=0, j=0,0,0,0,i=1, j=1,0,0,i=2, j=2,0,Step 5: 将i 增加1、j 增加1。当j=n时终止，若jn则转而进行Step2;p6 p9,9,i=0, j=0,i=1, j=1,i=2, j=2,Step 2: 若(1, n+pi)、 (2, n+pi)， (nj, n+pi)上的每个元素都是零(这种情形对B阵的变换不存在），则转到Step 6，否则继续进行Step 3; p7,i=3, j=3 p8,0,0,Step 6

5、: 将i 增加1，若ij =p，则过程终止；若ij p则转而进行Step2;p11,i=4, j=3,0,0,i=5j=3,0,0,i=6j=3,10,例,11,i=0, j=0,i=1, j=1,i=2, j=2,i=3, j=3,i=4, j=3, 若该元非零，可控；否则，转到（Step6），继续进行；,i=5, j=3, 若该元非零，可控；否则，转到（Step6）；,i=6, j=3, ij=3=p, 结束。,若该元非零，可控;否则，转到（Step6）p9，继续进行；,12,例如：,不可控模态,13,用上述初等变换化出一个“零区”，若零区和A的对角线相交，分解完成；p14,零区,14,0

6、,0,0,0,0,0,0,0,0,A11,A21,A22,B2,C2,C1,p13,15,若零区和A的对角线不相交，表示系统可控。,零区,0,0,0,0,0,0,0,0,非零元,16,4)进行可观测性分解，可对对偶系统进行可控分解即可:,17,集中成下列系统矩阵,例题,18,将矩阵（361）第四行加到第三行：,0,0,1,0,-1,相应地，第三列乘 1加到第四列p3：,结果如上所示。,1,19,第四行的 2倍加到第一行：,0,-4,2,-2,2,相应地，第一列乘2加到第四列p3：,结果如上所示。至此，i=0 、j=0 一步已经结束。令i=1 、j=1,进入下一步。p6,i=1, j=1,20,

7、第二、三行交换：,0,0,1,0,1,0,2,2,1,0,0,1,-2,1,1,0,相应地，第二、三列交换：,结果如上所示。,21,0,6,2,-3,-2,第三行的2倍加到第一行：,相应地，第一列乘2加到第三列：,至此，i=1 、j=1 一步已经结束。 令i=2 、j=2,进入下一步。p6,i=2, j=2,22,一、二行交换：,0,1,0,0,2,-2,-3,6,1,-2,0,1,0,2,1,0,相应地，一、二列交换：,分解事实上已经结束了。,i=3 、j=3,i=4 、j=3,i=5 、j=3,23,零区,Step 6: 将i 增加1，若ij =p，则过程终止；若ij p则转而进行Step2;,24,由此可得小阶实现为,25,小 结,Rosenbrock 方法的思路：,在第4行和1,2,3行之间进行变换,同时进行相应的列变换。目的：使(4,6)以上的元素均为零; 在第3行和1,2行之间进行变换,同时进行相应的列变换。目的：使(3,5)以上的元素均为零; .;,0,0,0,0,0,26,0,0,