《数学归纳法》(好)

1、数学归纳法,：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,结论一定可靠,结论不一定可靠,考察全体对象,得到一般结论的推理方法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法,归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法,归纳法,思考：归纳法有什么优点和缺点？,优点：可以帮助我们从一些具体事 例中发现一般规律,缺点：仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的,解:,猜想数列的通项公式为,验证:同理得,啊,有完没完啊?,正整数无数个!,（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正确的吗？,情境二,二、引导探究，寻求解决方法,1、第一块骨牌倒下,2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导

2、致后一块倒下,条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下,请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件,(二)师生互助,多米诺骨牌游戏原理,（1）当n=1时，猜想成立,根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。,通项公式为 的证明方法,三、类比问题，师生合作探究,（一）类比归纳,当一个命题满足上述（1）、（2） 两个条件时，我们能把证明无限问题 用有限证明解决吗?,（二）理解升华,一般的，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：,（1） 【归纳奠基】证明当n取第一个值n0(n0 n* ) 时命题成立; （2） 【归纳递推】假设

3、当n=k(kn* ,k n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 从而就可以断定命题对于n0开始的所有正整数n都成立。 这种证明方法叫做 数学归纳法。,（四）提炼概念,四、例题研讨，学生实践应用,（一）典例析剖,（二）变式精炼,用数学归纳法证明,135（2n1） ,用数学归纳法证明,n2,即当n=k+1时等式也成立。,根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立。,证明：,135（2k1）+2(k+1)1,那么当n=k+1时,（2）假设当nk时，等式成立，即,（1）当n=1时，左边1，右边1，等式成立。,（假设）,（利用假设）,注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。,（

4、凑结论）,（三）能力提升,用数学归纳法证明,证明：,（1）当n=1时，,左边=12=1,等式成立,(2)假设当n=k时等式成立,即,那么,当n=k+1时,即当n=k+1等式也成立,根据(1)和(2),可知等式对任何 都成立.,凑出目标,用到归纳假设,数学归纳法步骤，用框图表示为：,归纳奠基,归纳递推,注：两个步骤,一个结论,缺一不可,思考1：试问等式2+4+6+2nn2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？,解:设nk时成立，即,这就是说，nk+1时也成立,2+4+6+2kk2+k+1,则当n=k+1时 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2

5、k+2(k+1)2+(k+1)+1,所以等式对任何nn*都成立,事实上，当n1时，左边2，右边3 左边右边，等式不成立,该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何nn*都成立，为时尚早,证明：当n=1时，左边,右边,假设n=k时，等式成立，,那么n=k+1时,等式成立,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,根据（1）和（2），可知等式对任何nn都成立,即,第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求,因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下

6、去。,1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n3) 条时，第一步检验n等于 () a.1b.2 c.3 d.0,解析：因为n3，所以，第一步应检验n3.,答案：c,2.用数学归纳法证明1aa2an1 (a1)， 在验证n1时，等式左端计算所得的项是 () a.1 b.1a c.1aa2 d.1aa2a3,解析：因为当n1时，an1a2，所以验证n1时， 等式左端计算所得的项是1aa2.,答案：c,3.利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn) 2n13(2n1)，nn*”时，从“nk”变到“nk 1”时，左边应增乘的因式是 () a.2k1 b.2(2k1) c. d.,解析：当nk(kn*)时，左式为(k1)(k2)(kk)； 当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)， 则左边应增乘的式子是 2(2k1).,答案：b,4.用数学归纳法证明： ， 第一步应验证左式是， 右式是.,解析：令n1则左式为1 ，右式为 .,答案：,5.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和 f(k1)f(k).,解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).,答案：,六、巩固作业，分层