简单的线性规划问题

1、_ 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 学习目标1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基 本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 知识点一线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 知识点二线性规划问题 1目标函数的最值 线性目标函数zaxby(b0)对应的斜截式直线方程是yx ，在y轴上的截距是 ， 当z变化时，方程表示一组互相平行的直线 当b0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值； 当b0 时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；

2、 当a0 时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a1. (2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示， 当目标函数z3xy，即y3xz过点 (0,1)时z取最小值 1. 题型二非线性目标函数的最值问题 例 2 xy20， 设实数x，y满足约束条件x2y40， 2y30， 求 (1)x2y2的最小值； y (2) 的最大值 x 解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC， (1)令ux2y2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点的距离的平方 x2y40， 4 8 过原点向直线x2y40 作垂线y2x，则垂足为的解，即， 5 5 y2x x2y40， 3 又由得C1， 2y30，

3、 2 -可编辑修改- _ 所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC| 13 3 1 2， 22 13 所以，x2y2的最小值为. 4 y (2)令v ，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率为v，即v x y0.由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大， x0 3 由(1)知C1， 2 3y3 所以v max ，所以 的最大值为 .2x2 跟踪训练 2 x0， 已知x，y满足约束条件y0， xy1， 则(x3)2y2的最小值为_ 答案10 解析画出可行域(如图所示) (x3)2y2即点A(3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的

4、平方 显 然AC长度最小， AC2(03)2(10)210，即(x3)2y2的最小值为 10. 题型三线性规划的实际应用 例 3某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品 1 桶需耗A原料 1 千克、B原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗A原料 2 千克、B原料 1 千克每桶甲产品的利润是 300 元，每 桶乙产品的利润是 400 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不 超过 12 千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、 乙两种产品中，公司共可获得的最 大利润是多少？ -可编辑修改- _ 解 2xy12， 设每天分别生产甲产品x桶， 乙产品y桶， 相应的利润为z元，

5、于是有x0，y0， xN N，yN N， x2y12， z300 x400y， 在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线 300 x400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y轴上的 截距达到最大，此时z300 x400y取得最大值， 最大值是z300440042 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800 元 反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：分析并根据已知数据列出表格；确定线性 约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数(直线)求出最优解； 实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解 跟踪训练 3预算用 2 000 元购买单

6、价为 50 元的桌子和 20 元的椅子， 希望使桌子和椅子的总 数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少 才行？ 解设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数zxy， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为 50 x20y2 000， yx， y1.5x， x0，xN N ， y0，yN N . * * 50 x20y2 000， 由 yx， 200 x 7 ， 解得 200 y 7 ， 所以A点的坐标为 200 200 ，. 77 -可编辑修改- _ 由 50 x20y2 000， y1.5x， x25， 解得75 y 2 ， 75 25， 所以B

7、点的坐标为. 2 所以满足条件的可行域是以A 75 200 200 ，B25， 7 2 7 O(0,0)为顶点的三角形区域(如图) 75 由图形可知，目标函数zxy在可行域内的最优解为B25， 2 但注意到xN N*，yN N*， x25， 故取 y37. 故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择 xy30， 1若直线y2x上存在点(x，y)满足约束条件x2y30， xm， 3 A1B1C.D2 2 则实数m的最大值为() 2x3y9， 2某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件2x11， xN N ，yN N ，* 5x11y22， 则z -可编辑修改- _ 10 x10

8、y的最大值是() A80 C90 B85 D95 y1， 3已知实数x，y满足x1， xy1， 则zx2y2的最小值为_ 一、选择题 1若点(x, y)位于曲线y|x|与y2 所围成的封闭区域， 则 2xy的最小值为() A6B2C0D2 x1， 2设变量x，y满足约束条件xy40， x3y40， 则目标函数z3xy的最大值为() 4 A4B0C.D4 3 x1， 3实数x，y满足y0， xy0， A1,0 C1，) 则zy1的取值范围是() x B(，0 D1,1) xy0， 4若满足条件xy20， ya 则整数a的值为() 的整点(x，y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有 9 个，

9、-可编辑修改- _ A3B2C1D0 x1， 5已知x，y满足xy4， xbyc0， 的值分别为() A1,4 C2，1 目标函数z2xy的最大值为 7，最小值为 1，则b，c B1，3 D1，2 xy5， 6 已知x，y满足约束条件xy50， x3， 则a的值为() 使zxay(a0)取得最小值的最优解有无数个， A3B3C1D1 二、填空题 x2， 7若x，y满足约束条件y2， xy2， 则zx2y的取值范围是_ 8 已知1xy4 且 2xy3， 则z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示) 0 x y2， 9已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 x 2y 2， 给定若M(x，y)

10、为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则zOMOA的最大值为_ 10满足|x|y|2 的点(x，y)中整点(横纵坐标都是整数)有_个 -可编辑修改- _ xy20， 11设实数x，y满足不等式组2xy50， xy40， 三、解答题 则z|x2y4|的最大值为_ x4y3， 12已知x，y满足约束条件3x5y25， x1， 目标函数z2xy，求z的最大值和最小值 xy110， 13设不等式组3xy30， 5x3y90 D上的点，求a的取值范围 表示的平面区域为D.若指数函数yax的图象上存在区域 -可编辑修改- _ 14某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已

11、知生产每张书 桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张 方桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润120 元 (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 当堂检测答案 1答案B 解析如图， -可编辑修改- _ 当y2x经过且只经过xy30 和xm的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直 线xy30 上，则m1. 2答案C 解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分由于x，yN*，计算区域内与 11 9 2 ，2最近的点为(5,4)，故

12、当x5，y4 时，z取得最大值为 90. 1 3答案 2 解析 实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示， 则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方， 1 2 1 故z min . 22 课时精练答案 -可编辑修改- _ 一、选择题 1答案A 解析画出可行域，如图所示，解得A(2,2)，设z2xy， 把z2xy变形为y2xz， 则直线经过点A时z取得最小值； 所以z min2(2)26，故选 A. 2答案D 解析作出可行域，如图所示 xy40，x2， 联立解得 x3y40，y2. 当目标函数z3xy移到(2,2)时，z3xy有最大值 4. 3答案D 解析作出可行域，如图所示， y1 的几何意义

13、是点(x，y)与点(0,1)连线l的斜率，当直线l过B(1,0)时kl最小，最小为1.又 x 直线l不能与直线xy0 平行，kl1.综上，k1,1) -可编辑修改- _ 4答案C 解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示， 当a0 时，只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)， (2,0)当a1 时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)5 个整点故 选 C. 5答案D 解析由题意知，直线xbyc0 经过直线 2xy7 与直线xy4 的交点，且经过直线 2xy1 和直线x1 的交点，即经过点(3,1)和点(1，1)， 3bc0，b1， 解得 1bc0

14、，c2. 6答案D 解析如图，作出可行域，作直线l：xay0，要使目标函数zxay(a0)取得最小值的 最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线xy5 重合，故a1，选 D. 二、填空题 7答案2,6 解析如图，作出可行域， 作直线l：x2y0， -可编辑修改- _ 将l向右上方平移，过点A(2,0)时，有最小值2，过点B(2,2)时，有最大值6，故z的取值范围 为2,6 8答案3,8 解析作出不等式组 1xy4， 表示的可行域，如图中阴影部分所示2xy3 在可行域内平移直线 2x3y0， 当直线经过xy2 与xy4 的交点A(3,1)时，目标函数有最小值z min23313； 当直线经过x

15、y1 与xy3 的交点B(1，2)时，目标函数有最大值z max2132 8. 所以z3,8 9答案4 解析由线性约束条件 0 x y2， x 2y 2， 画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数zOMOA2xy，将其化 为y2xz，结合图形可知，目标函数的图象过点 (2，2)时，z最大，将点(2，2)代入 z2xy，得z的最大值为 4. 10答案13 -可编辑修改- _ 解析|x|y|2 可化为 xy2x0，y0， xy2x0，y0， xy2x0，y0， xy2x0，y0， 作出可行域为如图正方形内部(包括边界)， 容易得到整点个数为 13 个 11答案21 解析作出可行域(如图)，即ABC所

16、围区域(包括边界)，其顶点为A(1,3)，B(7,9)，C(3,1) 方法一可行域内的点都在直线x2y40 上方， x2y40， 则目标函数等价于zx2y4， 易得当直线zx2y4 在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max21. |x2y4| 方法二z|x2y4| 5， 5 令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x2y40， 则z5d，其中d为P(x，y)到直线x2y40 的距离 由图可知，区域内的点B与直线的距离最大， -可编辑修改- _ |7294|21 故d的最大值为. 55 故目标函数z max 三、解答题 12解z2xy可化为y2xz，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数

17、，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候作一组与l 0： 2xy0 平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l 1，即经过点 A(5,2)时，z max25 28. 当l移动到l 2，即过点 C(1,4.4)时， 21 521. 5 z min214.42.4. 13解先画出可行域，如图所示，yax必须过图中阴影部分或其边界 A(2,9)，9a2，a3. a1，1a3. 14解由题意可画表格如下： 书桌(张) 书橱(个) 方木料(m3) 0.1 0.2 五合板(m2) 2 1 利润(元) 80 120 (1)设只生产书桌x张，可获得利润z元， -可编辑修

18、改- _ 2x600， 则z80 x， x0 0.1x90， x900， x300， x0 0 x300. 所以当x300 时，z max8030024 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300 张书桌，获得利润 24 000 元 (2)设只生产书橱y个，可获得利润z元， 1y600， 则z120y， y0 0.2y90， y450， y600， y0 0y450. 所以当y450 时，z max12045054 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450 个书橱，获得利润 54 000 元 (3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元， 2xy600， 则x0， y0 z80 x120y. 0.1x0.2y90， 2xy600， x0， y0. x2y900， 在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示