6 导数与微分整章.ppt

1、第 二 章 导 数 与 微 分,物体直线运动时的速度问题,一、引例,设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为,就是物体在t0时刻的瞬时速度，即,v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值，,t越小，,近似的程度就越好。,所以当t0时，极限,2. 1.1 导数的概念,2. 切线问题,求曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线的斜率。,在曲线上另取一点M1(x0+x, y0+y)，作割线MM1， 设其倾角为j 。观察切线的形成：,当x0时，动点M1将沿曲线趋向于定点M，从而割线MM1也将随之变动而趋向于切线MT。,此时割线MM1的斜率趋向于切线M

2、T的斜率：,求曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线的斜率。,在曲线上另取一点M1(x0+x, y0+y)，作割线MM1， 设其倾角为j 。观察切线的形成：,二、导数的定义,定义 设函数y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义。如果极限,存在，则称函数f(x)在点x0处可导，且称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数，记为 f (x0)，即,如果上述极限不存在，则称函数f(x)在点x0处不可导。,但如果上述极限是无穷大，则我们也称函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大,导数的其它符号：,函数的导数：,导数的其它定义式：,。,例1求函数y=x2在点x=2处的导数。,方法二,解：,方法一

3、,函数在一区间上的导数：,如果函数 f(x)在区间 I 内每一点都可导，则称f(x)在区间 I 内可导，这时，对于区间 I 内每一点 x，都有一个确定的导数值与它对应，这就定义了一个新的函数，这个函数称为函数y=f(x)的导函数，简称为导数，记作,导函数的定义式：,f (x0)与f (x)之间的关系：,定义 设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义。,为f(x)在点x0处的左导数，记作f -(x0)。,为f(x)在点x0处的右导数，记作f +(x0)。,左右导数：,如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导，且右导数f +(a) 和左导数f -(b)都存在，就说f(x)有闭区间a, b上可导。

4、,显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相等时，函数在该点才是可导的。,导数与左右导数的关系：,左右导数：,函数在闭区间上的可导性：,三、求导数举例,例2求函数f(x)=C（C为常数）的导数。,解：,即 (C ) =0。,1.常数的导数：,(C ) =0。,例3,例4,解：,解：,2.幂函数的导数：,例5求函数f(x)=x n (n为正整数)在x=a处的导数。,更一般地，有 (x m)=m x m-1(其中m为常数)。,把以上结果中的a换成x得f (x)=nxn-1，,即 (xn)=nxn-1。,解：,2.幂函数的导数：,例6求函数f(x)=sin x的导数。,=cos x。,类似地可求得

5、 (cos x )=-sin x。,即 (sin x) =cos x。,解：,3.正弦余弦函数的导数：,(sin x)=cos x，(cos x )=-sin x。,例7求函数f(x)=ax(a0，a 1)的导数。,4.指数函数的导数：,(a x)= a x ln a，(e x )=e x 。,例8求对数函数y=log ax的导数。,解：,5. 对数函数的导数：,四、导数的几何意义,切线方程为： y-y 0=f (x 0)(x-x 0)。,法线方程为：,函数 y=f(x) 在点x0处的导数 f (x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处的切线的斜率，即 f (x0)=ta

6、n a ， 其中a是切线的倾角。,。,例 9,求等边双曲线,在点,处的切线的,斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程,五、函数的可导性与连续性的关系,如果函数y=f(x)在点x0处可导，则它在点x0处一定连续。,这是因为,注意： 这个定理的逆定理不成立，即函数y=f(x)在点x0处连续，但在点x0处不一定可导。,这是因为函数在点x=0处导数为无穷大：,连续但不可导的函数：,例,10,函数,在区间,内连续，,但在点x=0处不可导。,(-, +),这是因为,例11函数y=|x| 在区间(-, +)内连续，但在点x=0处不可导。,连续但不可导的函数：,2. 2 求导法则,两个可导函数之和(差)的导

7、数等这两个函数的导数的和(差)： u(x)v(x)=u(x)v(x) 。,两个可导函数乘积的导数等于前一因子的导数乘以后一因子，加上后一因子的导数乘以前一因子： u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)。,两个可导函数之商的导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方：,一、函数的和、差、积、商的求导法则,求导法则的推广： (uvw)=uvw， (uvw) =uvw+uvw+uvw。 特殊情况： (Cu)=Cu。,1.函数的和、差、积、商的求导法则：,u(x)v(x)=u(x)v(x)，,u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)，,2. 求导举例,

8、例1y=2x 3-5x 2+3x-7，求y,=6x 2-10 x+3。,=23x 2-52x+3,=2(x 3)- 5(x 2)+ 3(x),= (2x 3)-(5x 2)+(3x)-(7),解：,y=(2x 3-5x 2+3x-7),例2,解：,例3y=e x (sin x+cos x)，求y。,=2e x cos x。,解：,y=(e x )(sin x+cos x) + e x (sin x+cos x),= e x,(sin x+cos x),+ e x,(cos x -sin x),例4y=tan x ，求y。,即 (tan x)=sec2x 。,解：,例5y=sec x，求y。,即

9、 (sec x)=sec x tan x 。,用类似方法，还可求得：,(cot x)=-csc2x ，,(csc x)=-csc x cot x 。,解：,3. 求导公式小结,1(C ) =0，,2(x m)=mx m-1 ，其中m为常数，,3(sin x)=cos x ，(cos x )=-sin x ，,4 (a x)= a x ln a ，特殊地(e x ) =e x ，,(tan x)=sec2x ，(cot x)=-csc2x ，,(sec x)=sec x tan x ， (csc x)=-csc x cot x，,公式u(x)+v(x)=u(x)+v(x)的证明：,设f(x)=

10、u(x)+v(x)，则由导数定义有,这表示，函数f(x)在点x处也可导，且 f (x)=u(x)+v(x)。 即 u(x)+v(x)=u(x)+v(x)。,公式 u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)的证明：,=u(x)v(x)+u(x)v(x)，,u(x)v(x),二、反函数的求导法则,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,简要证明：,因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。,例1求(arcsin x)及(arccos x)。,解：,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数，所以,例2求

11、(arctan x)及(arccot x)。,解：,因为y=arctan x是x=tan y的反函数，所以,(1) (C)=0， (2) (xm)=m xm-1， (3) (sin x)=cos x， (4) (cos x)=-sin x， (5) (tan x)=sec2x， (6) (cot x)=-csc2x， (7) (sec x)=sec x tan x， (8) (csc x)=-csc x cot x， (9) (ax)=ax ln a ， (10) (ex)=ex，,基本初等函数的导数公式小结：,，,三、复合函数的求导法则,如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0

12、=j(x0)可导，则复合函数y=fj(x)在点x 0可导，且其导数为,假定u=j(x)在x0的某邻域内不等于常数，则Du0，此时有,简要证明：,= f (u 0)j (x 0)。,复合函数的求导法则也可表示为：,如果 u=j(x)在开区间 Ix内可导，y=f(u)在开区间 Iu内可导，且当xIx时，对应的uIu，那么复合函数y=fj(x)在区间Ix内可导，且下式成立：,复合函数的求导法则：,例,3,y,=lntan,x,，,求,解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成，,复合函数的求导法则：,复合函数的求导法则：,复合函数的求导法则：,对复合函数求导法则比较熟练以后，

13、就不必再写出中间变量。,复合函数的求导法则：,复合函数的求导法则：,复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。,复合函数的求导法则：,解：y=(sin nx) sin nx + sin nx (sin nx) = ncos nx sin nx+sin nx n sin n-1x (sin x ) = ncos nx sin nx+n sin n-1x cos x =n sin n-1x sin(n+1)x。,复合函数的求导法则：,函数的和、差、积、商的求导法则： (1) (u v)=u v， (2) (Cu)=Cu (C是常数)， (3) (uv)=uv+u v，,复合函数的求导法则：,反函数

14、求导法：,求导法则小结,四、高阶导数,如果函数 yf(x)的导数 yf (x)仍然是 x的可导函数。则把 yf (x)的导数叫做函数yf(x)的二阶导数，记作,类似地，二阶导数y=f (x)的导数叫做函数y=f(x)的三阶导数，记作,一般地，函数y=f(x)的(n1)阶导数的导数叫做函数y=f(x)的n阶导数，记作,我们把yf(x)的导数f (x)叫做函数yf(x)的一阶导数，把二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。,例11y=ax b ，求y。,例12ssin wt，求s。,ya，,解：,y0。,解：,sw cos w t ，,sw 2sin w t 。,例13求函数ye x 的n 阶导数。,即

15、(e x )(n) e x。,一般地，可得y (n) e x，,y e x，,解：,y (4) e x，,y e x，,y e x，,例14求正弦函数和余弦函数的n阶导数。 解：ysin x，,一般地，可得,例15求函数ln(1x)的n 阶导数。,一般地，可得,y=(-1)(-2)(1+x)-3，,y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4，,y(n)=(-1)(-2) (-n+1)(1+x)-n,例16求幂函数yx m(m是任意常数)的n阶导数公式。,解：ymx m1，,而 (xn)(n1) 0 。,(xn)(n) m(m1)(m2) 3 2 1 n! 。,当mn时，得到,即 (x m

16、 )(n) m(m1)(m2) (mn1)x mn 。,y (n) m(m1)(m2) (mn1)x mn ，,一般地，可得,y (4) m(m1)(m2)(m3)x m4，,ym(m1)(m2)x m3，,ym(m1)x m2，,这一公式称为莱布尼茨公式。,函数和差的 n 阶导数：,函数积的 n 阶导数：,用数学归纳法可以证明,(uv)(n)u(n)v(n) 。,(uv)uvuv， (uv) uv2uvuv， (uv)uv3uv3uvuv ，,函数和差、积的 n 阶导数,例17yx 2 e 2x ，求y ( 20)。,解：设ue 2x ，vx 2，则,y (20)(x2e2x)(20),代入

17、莱布尼茨公式，得,v2x ，,(u)(k)2ke2x (k1, 2, , 20)，,(v)(k)0 (k3, 4, , 20)，,v2，,220e2x(x220 x95)。,莱布尼茨公式：,一、隐函数的导数,显函数与隐函数： 形如 ysin x ，yln xe x 的函数。,这种由方程确的函数称为隐函数。,把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。,2. 3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,例1求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数。,解：方程中每一项对x求导得,(e y)(xy)(e)(0)，,即 e y yy+xy0，,求隐函数的导数的方法： 把方程两边分别对x求导数

18、，然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出，求导时要注意y是x的函数。,解：把方程两边分别对x求导数得,因为当x0时，从原方程得y0，所以,解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得,所求的切线方程为,解：方程两边对x求导，得,上式两边再对x求导，得,解：方程两边对x求导，得,上式两边再对x求导，得,二、由参数方程所确定的函数的导数,设xj(t) 具有反函数 tj-1(x)，且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yyj-1(x) 。若xj(t)和yy(t)都可导，则,例,5,求,参数方程,=,=,t,b,y,t,a,x,sin,cos,确,定,的,函数,y,的,导数,。,解,：,dx,dy,解：先

19、求速度的大小。 速度的水平分量与铅直分量分别为,再求速度的方向。 设a是切线的倾角，则轨道的切线方向为,所以抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为,x (t)=v1，,y(t)=v2-gt，,提示：,如何求参数方程所确定的函数的二阶导数？,下页,例,7,计算由摆线的参数方程,所确定,的函数yf(x)的二阶导数。,(t2np，n为整数)。,y f(x)ln f(x)。 对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数。,此方法是先在yf(x)的两边取对数，然后用隐函数求导法求出 y 的导数。,设yf(x)，两边取对数，得 ln y ln f(x)， 两边对x 求导，得,三、

20、对数求导法,于是,例8求yx sin x (x0)的导数。 解：两边取对数，得ln ysin x ln x， 上式两边对x 求导，得,这种幂指函数的导数也可按下面的方法求： yx sin xe sin xln x ，,解：先在两边取对数，得,上式两边对x求导，得,例,9,求,函数,的导数。,2. 2 微分及其应用,引例： 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长x由x0变到x0Dx ，问此薄片的面积A改变了多少？,因为 Ax2，所以金属薄片的面积改变量为 DA(x0Dx)2(x0)2 2x0Dx(Dx)2。,当Dx0时，(Dx)2o(Dx )； 2x0Dx是Dx的线性函数，是DA的主要部分，

21、可以近似地代替DA。,一、微分的概念,设函数yf(x)在某区间内有定义，x0及x0Dx在这区间内，如果函数的增量 Dyf(x0Dx)f(x0) 可表示为 DyADxo(Dx)， 其中A是不依赖于Dx的常数，而o(Dx)是比Dx高阶的无穷小，那么称函数yf(x)在点x0是可微的，而ADx叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分，记作dy，即 dyADx。,微分的定义：,函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0 可导，且当函数f(x)在点x0可微时，其微分一定是 dyf (x0)Dx。,可微与可导的关系：,yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)。dy=ADx。,

22、这是因为，一方面,另一方面,其中a0(当Dx0)，且A=f(x0)是常数，aDx o(Dx)。,函数yf(x)在任意点 x 的微分，称为函数的微分， 记作dy 或 df(x)，即 dyf (x)Dx。,例如，,dex(e x)DxexDx。,dcos x(cos x)Dx sin x Dx；,例1求函数yx2在x1和x3处的微分。,解：函数yx2在x1处的微分为 dy(x2)|x1Dx2Dx； 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3Dx6Dx。,例2求函数 yx3当x2，Dx 0. 02时的微分。 解：先求函数在任意点x 的微分， dy(x3)Dx3x2Dx。 再求函数当x2，Dx0.

23、 02时的微分，,=3220.02=0.24。,yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)。 dyf (x0)Dx。,因为当y=x时， dy=dx=(x)Dx=Dx， 所以通常把自变量 x 的增量Dx称为自变量的微分，记作dx ，即 dxDx。,因此，函数yf(x)的微分又可记作 dyf (x)dx。,自变量的微分：,结论： 在 f (x0)0 的条件下，以微分dyf (x0)Dx 近似代替增量Dyf(x0Dx)f(x0) 时，相对误差当Dx0时趋于零。因此，在|Dx|很小时，有精确度较好的近似等式Dy dy。,当f (x0)0时，有,根据等价无穷小的性质，Dydyo(dy)，,增量与微分的关

24、系：,二、微分的几何意义,当|Dx|很小时，|Dydy|比|Dx|小得多。因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。,当Dy是曲线yf(x)上的点M处纵坐标的改变量时，,dy就是曲线在M点的切线上点M处纵坐标的相应改变量。,(e x)e x,(x m)m x m1,(sin x)cos x,(cos x)sin x,(tan x)sec 2 x,(cot x)csc 2x,(sec x)sec x tan x,(csc x)csc x cot x,(a x )a x ln a,d(x m)mx m1dx,d(sin x)cos xdx,d(cos x)sin xdx,d(tan x)

25、sec 2xdx,d(cot x)csc 2xdx,d(sec x)sec x tan xdx,d(csc x)csc x cot xdx,d(ax)ax ln adx,d(ex)exdx,1基本初等函数的微分公式,三、微分公式与微分运算法则,2函数和、差、积、商的微分法则,关于d(uv)vduudv 的证明： 因为 d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx。 而 udxdu，vdxdv， 所以 d(uv)vduudv。,求导法则： 微分法则： (uv)uv d(uv)dudv (Cu)Cu d(Cu)Cdu (uv)uvuv d(uv)vduudv,3复合函数的微分法则,设yf(u)及uj

26、(x)都可导，则复合函数yfj(x)的微分为 dyyxdxf (u)j(x)dx。 于由j(x)dxdu，所以，复合函数yfj(x)的微分公式也可以写成 dyf (u)du 或 dyyudu。,由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式dyf (u)du保持不变。这一性质称为微分形式不变性。,在求复合函数的微分时，可以不写出中间变量。,例3ysin(2x1)，求dy。 解：把2x1看成中间变量u，则,2cos(2x1)dx。,cos(2x1)2dx,cos(2x1)d(2x1),dyd(sin u),cos udu,若yf(u)，uj(x)，则dyf (u)du。,若yf(u)

27、，uj(x)，则dyf (u)du。,例5ye13xcos x，求dy。 解：应用积的微分法则，得,e13x(3cos xsin x)dx。,(cos x)e13x(3dx)e13x(sin xdx),dyd(e13xcos x),cos xd(e13x)e13xd(cos x),例6在括号中填入适当的函数，使等式成立。 (1) d( )xdx； (2) d( )cos w t dt。,解：(1)因为d(x2)2xdx，所以,(2)因为d(sin w t)w cos w tdt，所以,四、微分的应用,如果函数yf(x)在点x0处的导数f (x)0，且|Dx|很小时，我们有 Dydyf (x0)Dx， f(x0Dx)f(x0)dyf (x0)Dx， f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx。 若令xx0Dx，即Dxxx0，那么又有 f(x)f(x0)f (x0)(xx0)。 特别当x00时，有 f(x)f(0)f (0)x。,1. 微分在近似计算中的应用,例1有一批半径为 1cm 的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜