泰勒公式的推导思路

1、泰勒公式的推导思路 引：已知，求如 0 = 1e 0.1 ( )=f xe此类的函数值是比较困难的，那么是否有一种比较简 单的方法求解呢？泰勒公式正式为此而出现的。 在学习微分的时候我们曾经使用过，当 0 xx比接近于时 000 f(x)f(x )+ f(x ) (x- x )， 这样用一次多项式来表达函数f(x)的值，在计算时就相对简单了。但是其精度就比较大， 那么如何构造一个多项式使其计算比较简单， 且精度又很高呢？设想如果将该式的右边变成 n 次多项式会不会使其精度得到明显的提高呢？这就是泰勒公式要解决的问题。 从 000 f(x)f(x )+ f(x ) (x- x )该 式 出 发

2、， 此 为 关 于x的 一 次 多 项 式 ， 设 ， 1 p(x)= 000 f(x )+ f(x ) (x- x ) 当 0 =x x时，f(x)与有以下的关系： 1 p(x) = 100 p (x ) f(x )； 10 p (x )= =0+1= 00000 f (x )+ f(x ) (x- x )f(x )f(x ) 即函数值和 1 阶导数均相等 现在我们使用 n 次多项式来构筑f(x)的表达式 设 2 2 + n 0100n0 f(x)f(x )+a (x- x ) a (x- x )a (x- x )， 令 2 n2 p (x)=+ n 0100n0 f(x )+a (x- x

3、 ) a (x- x )a (x- x ) （很多人会问： 你怎么就知道用 n 次方来组合呢？我感觉是首先我们推导这个过程是看 到其上面一次多项式出现= 100 p (x ) f(x )和 10 p (x )= 0 f(x ) 也就是说组合的过程要考虑到函数 的导数，因为 n 次函数才能有 n+1 阶导数。其次指数 n 采用的是自然数的排列而不是奇数 或者是等比数列等等的方式呢？因为这样排列在求导数时的计算比较简单） 现在的均不知道，怎么求呢？既然在一次项中 2 , 1 a aa n10 p (x )= 0 f(x ) ，那么当 0 =x x 时也应该有这样类似的效果，于是得出如下过程 0n0

4、 p (x )()f x和 n00 23 n23 3-1-1 23 0 n00 3-1-1 n23 p (x )= () p (x)=(+) =01+2+3+n = p ()= () p (x)=(01+2+3+n) =0 n 01000n0 n 100n0 1 n 100n0 f x f(x )+a (x- x ) a (x- x )a (x- x )a (x- x ) +aa (x- x )a (x- x )a (x- x ) x x xaf x +aa (x- x )a (x- x )a (x- x ) + -2 23 0 n020 -2 n23 -3 3 0 n030 (n) n0 0

5、+21+3 2+nn-1) = p ()=2=() p(x)=(00+21+3 2+nn-1) =00+0+3 2+nn-1)n-2) = p()=3 2=() p()=n n 0n0 n 0n n n0 aa (x- x )a (x- x ) x x xafx +aa (x- x )a (x- x ) +aa (x- x ) x x xafx x 0 （ （ （ (n) 0 !=() n afx 即： n00 n00 n020 n030 (n)(n) n00 p (x )= () p ()= () p()=2=() p()=3 2=() p()=n!=() 1 n f x xaf x xaf

6、x xafx xafx 求得： 0 20 30 (n) 0 = () 1 =() 2 1 =( 3 2 1 =( n! 1 n af x afx af afx ) ) x 则 23(n) n0000 111 p (x)=()+()+()+() 23 2n! n 00000 f(x )+ f x (x- x )fx (x- x )fx (x- x )fx (x- x ) 现在多项式已经构造完成，但是 n ( )p (x)f x中间仍然为约等，也就是还不能完全相等， 那么他们之间的差值是多少呢？ nn f(x)= p (x)+R (x)，其中 n R (x)即为他们之间的差值。 根据拉格朗日中值定理可知： (n+1)n+1 0 000 ( )(x-x ) (x)-f(x )= ( )(x-x );(x,x ),= ( +1)! n f ffR (x) n 于是有 接下来如