线代知识总结

1、线代知识整理 LB 制作 1 线性代数知识点总结线性代数知识点总结 目录目录 第一章 行列式 . 2 第一节：二阶与三阶行列式 . 2 第二节：全排列及其逆序数 . 2 第三节：n 阶行列式的定义 . 3 第四节：对换 . 4 第五节：行列式的性质 . 5 第六节 行列式按行（列）展开 . 6 第七节 克拉默法则 . 7 第二章 矩阵 . 8 第一节：矩阵 . 8 第二节：矩阵的运算 . 8 第三节：逆矩阵 . 11 第四节：矩阵分块法 . 13 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 . 15 第一节：矩阵的初等变换 . 15 第二节：矩阵的秩 . 16 第三节：线性方程组的解 . 18 第四章

2、 向量组的线性相关性 . 19 第一节：向量组及其线性组合 . 19 第二节：向量组的线性相关性 . 21 线代知识整理 LB 制作 2 第一章第一章 行列式行列式 第一节：第一节：二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 1、把表达式 11221221 a aa a称为 1112 2122 aa aa 所确定的二阶行列式，并记作 1112 2112 aa aa ， 即 1112 11221221 2122 . aa Da aa a aa 结果为一个数。 同理，把表达式 1122331223311321 321123321221 33132231, a a aa a aa a aa a aa a aa

3、 a a称为 由数表 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 所确定的三阶行列式，记作 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 。 即 111213 212223 313233 aaa aaa aaa = 1122331223311321 321123321221 33132231, a a aa a aa a aa a aa a aa a a 注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。 2、利用行列式计算二元方程组和三元方程组： 对二元方程组 11 11221 21 12222 a xa

4、 xb a xa xb 设 1112 2122 0 aa D aa 112 1 222 ba D ba 111 2 212 . ab D ab 则 112 222 1 1 1112 2122 ba baD x aaD aa ， 111 212 2 2 1112 2122 . ab abD x aaD aa 注意：以上规律注意：以上规律还能还能推广到推广到 n 元线性方程组的求解上。元线性方程组的求解上。 第二节：全排列及其逆序数第二节：全排列及其逆序数 1、全排列全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列） 。 n 个不同的元素的所有排列的总数，通常用 Pn (或 An)

5、表示。 逆序及逆序数逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大 线代知识整理 LB 制作 3 于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。 排列的奇偶性：排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。 2、计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法： 方法方法一：一：分别计算出排在1,2,1,nn 前面比它大的数码之和即分别算出 1,2,1,nn这 n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。 方法二：方法二： 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和， 即算出排列中每个

6、元 素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。 第三节：第三节：n 阶行列式的定义阶行列式的定义 1、 定义：定义：n 阶行列式 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa 等于所有取自不同行、不同列的 n 个元素的 乘积 12 12 n ppnp aaa的代数和，其中 p1， p2 pn是 1, 2, ,n 的一个排列，每一项的符号由 其逆序数决定。 2、 11121 12 222 11221122 0 1 00 n tn n nnnn nn aaa aa Da aaa aa a 也可简记为 det ij a， 其中 ij a为行列式 D 的（

7、i，j 元） 。 3、 根据定义，有 12 12 12 11121 21222 12 12 1 n n n n t p pp n ppnp p pp nnnn aaa aaa Daaa aaa 4、 说明：说明： 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一 次方程组的需要而定义的; 2、n 阶行列式是!n项的代数和; 3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积; 4、 12 12 n ppnp a aa的符号为1 t ，t 的符号等于排列 12 ,. n p pp的逆序数 5、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆。 线代知识整理 LB 制作 4 5

8、、推论推论 1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。 即 11121 12 222 11221122 0 1 00 n tn n nnnn nn aaa aa Da aaa aa a 6、推论推论 2：主对角行列式的值等于其对角线上各元素的乘积，副对角行列式的值等于 1 2 1 n n 乘以其副对角线上各元素的乘积。 即 1 2 12n n ， 1 1 2 2 12 1 n n n n 第四节：对换第四节：对换 定义：定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对 换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。 定理定理 1 一个排列中的任意两个元素对换

9、，排列改变奇偶性。 推论推论： 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。 定理定理 2 n 阶行列式det() ij Da的项可以写为 1 212 1 122 ()() ( 1) nn nn t q qqt p pp q pq pq p aaa ， 其中 q1q2qn是行标排列，p1p2 pn是列标排列 。 推论推论：设有 n 阶行列式det() ij Da，则有 1 2 12 () 12 ( 1) n n t q qq qqq n Da aa 或 1 212 1 122 ()() ( 1) nn nn t q qqt p pp q pq pq p Daaa

10、或 1 2 12 () 12 ( 1) n n t q qq ppnp Da aa （行列式三种不同表示方法） 推论推论：在全部n阶排列中2n ，奇偶排列各占一半。 线代知识整理 LB 制作 5 第五节：行列式的性质第五节：行列式的性质 定义定义：记 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa ， 11211 12222 12 n nT nnnn aaa aaa D aaa ，行列式 T D称为行列式D 的转置行列式。 性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等。 性质性质 2 互换行列式的两行 ij rr或列 ij cc，行列式变号。 推论推论 如果行列式有两行

11、（列）完全相同，则此行列式为零。 性质性质 3 行列式的某一行 /列中所有的元素都乘以同一数() j k rk， 等于用数k乘此行列式； 推论推论 1 D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面; 推论推论 2 D中某一行（列）所有元素为零，则=0D。 性质性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零 性质性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111 2122222 12 () () () iin iin nnnininn aaaaa aaaaa D aaaaa 111211111211 212222212222 1212 inin inin

12、nnninnnnninn aaaaaaaa aaaaaaaa aaaaaaaa 性质性质 6 把行列式的某一列 （行） 的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去， 行列式的值不变。 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：利用定义；利用运算 ij rkr把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值。 说明说明：行列式中行与列行列式中行与列地位等同地位等同，行列式的，行列式的 6 个性质凡是对行成立的对列也同样成立。个性质凡是对行成立的对列也同样成立。 线代知识整理 LB 制作 6 第六节第六节 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 1、 余子式余子式 在n阶行列式中，把元素

13、 ij a所在的第i行和第j列划去后，留下来的1n阶 行列式叫做元素 ij a的余子式，记作 ij M。 代数余子式代数余子式 1 ij ijij AM 记，叫做元素 ij a的代数余子式。 2、引理引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）( , )i j元外 ij a都为零，那么这 行列式等于 ij a与它的代数余子式的乘积，即 ijij Da A。 3、定理定理 n阶行列式 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式的乘积之和，即 1122iiiiinin Da Aa Aa A，(1,2,

14、 )in 1122jjjjnjnj Da Aa Aa A或，(1,2, )jn。 4、扩展扩展 范德蒙德(Vandermonde)行列式 12 222 12 1 111 12 111 () n nnij n ij nnn n xxx Dxxxxx xxx 5、展开定理推论展开定理推论 n阶行列式 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa 的任意一行（列）的各元素与 另一行 （列） 对应的代数余子式的乘积之和为零， 即 1122 0() isisinsn a Aa Aa Ais 1122 0 () jtjtnjnt a Aa Aa Ajt或 线代知识整理 LB

15、制作 7 第七节第七节 克拉默法则克拉默法则 1、如果线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 的系数行列式不等于零，即 11121 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa D aaa ，则该方程组有唯一解 312 123 , n n DDDD xxxx DDDD 其中 Di是用非齐次项代替 D 中第 i 列元素 后所得的行列式。 注意注意 克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 2、 定理定理 1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D0，则(1)一定有

16、解，且解是唯一的。 逆否定理逆否定理 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。 3、 定理定理 2 若齐次线性方程组 11 11221 21 12222 1 122 .0 .0 . .0 nn nn nnnnn a xa xa x a xa xa x a xa xa x 的系数行列式0D ， 则 其次线性方程组没有非零解。 （即解唯一，只有零解） 逆否定理逆否定理 如齐次方程组有非零解，则它的系数行列式 D 必为零。 线代知识整理 LB 制作 8 第二章第二章 矩阵矩阵 第一节：第一节：矩阵矩阵 1、定义定义 由m n个 数1, 2,;1, 2, ij aim jn排

17、 成 的m行n列 的 数 表 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa aaa 称为m行n列矩阵。 简称m n矩阵， 记作 11121 21222 11 n n mmmn aaa aaa A aaa ， 简记为 m nijij m n AAaa ，,m nA这个数称为 的元素 简称为元。 说明说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 2、 扩展扩展 几种特殊的矩阵： 方阵方阵 ：行数与列数都等于 n 的矩阵 A。 记作：An。 行行(列列)矩阵：矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩

18、阵：相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：AB 零矩阵：零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：单位阵：主对角线上元素都是 1，其它元素都是 0，记作：En(有时，也可表示为 E ) 3、 注意注意 矩阵与行列式有本质的区别， 行列式是一个算式， 一个数字行列式经过计算可 求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节第二节：矩阵的运算矩阵的运算 1、矩阵的加法矩阵的加法 设有两个m n矩阵 ijij AaBb和，那么矩阵A与B的和记作 AB，规定为 1111121211 2121222222 1122 nn

19、 nn mmmmmnmn ababab ababab AB ababab 说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。 线代知识整理 LB 制作 9 2、矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 1 ABBA； 2ABCABC 11121 21222 11 3,() n n ijijm n m n mmmn aaa aaa AaAa aaa 设矩阵记，A称 为矩阵A的负负矩矩阵阵 40,AAABAB 。 3、数与矩阵相乘数与矩阵相乘 ,AAA数 与矩阵 的乘积记作或规定为 11121 21222 11 , n n mmmn aaa aaa AAAAA aaa 数 与矩阵 的乘积记作或规

20、定为 4、数乘矩阵的运算规律（设数乘矩阵的运算规律（设AB、为为m n矩阵，矩阵，, 为数）为数） 1AA ； 2AAA； 3ABAB。 矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。 5、矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘 设(b ) ij B 是一个m s矩阵，(b ) ij B 是一个s n矩阵，那么规 定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m n矩阵(c ) ij C ，其中 1 2 121 122 j j iiisijijissj sj b b a aaa ba ba b b 1 s ikkj k a b ，1,2,;1,2,im jn， 并把此乘积记作CAB 线代知识整理 LB 制作 10 注意

21、注意： 1。A 与 B 能相乘的条件是：A 的列数B 的行数。 2。 矩阵乘法不满足交换律， 一般ABBA， 且两非零矩阵的积可能是零矩阵。 3。对于 n 阶方阵 A 和 B，若 AB=BA，则称 A 与 B 是可交换的可交换的。 6、矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 1AB CA BC； 2ABA BAB 3 A BCABAC，BC ABA CA 4 m nn nm mm nm n AEEAA 5若A是n 阶方阵， 则称 Ak为A的k次幂， 即 k k AA AA 个 ， 并且 mkm k A AA ， k mmk AA,m k为正整数。规定：A0E 注意注意 矩阵乘法不满足交换律，即A

22、BBA， k kk ABA B（但也有例外） 7、纯量阵纯量阵 矩阵 0 E 0 称为纯量阵，作用是将图形放大倍。且有 ()(E)E AAA，A 为 n 阶方阵时，有()( E ) nnnnn E AAA，表明纯量阵与 任何同阶方阵都是可交换的。 8、转置矩阵转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作转置矩阵，记作A， 如如 122 458 A ， 14 25 28 T A 。 9、转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质： 1 T T AA； 2 T TT ABAB； 3 T T AA； 4 T TT ABB A。 线代知识整理 LB 制作 11 10、方阵的行列式

23、方阵的行列式 由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作 A或det A（记住这个符号记住这个符号） 注意注意 矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是 n2个数按一定方式排成的数表， 而 n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。 11、运算性质运算性质 1 T AA； 2 n AA； (3) ABA BB ABA 12、对称阵对称阵 设 A 为 n 阶方阵，如果满足 A=AT ，即,1 ,2, i jj i aai jn那么 A 称为 对称阵。 说明说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果 T AA 则称矩阵A为反 对称的。即反对称矩阵 A=（aij

24、）中的元素满足 aijaji，i，j=1，2，n 13、伴随矩阵伴随矩阵 行列式A的各个元素的代数余子式 ij A所构成的如下矩阵 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA 称为矩阵 A 的伴随矩阵。 14、性质性质 AAA AA E （易忘知识点易忘知识点） 总结总结 （1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。 （2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩 阵相乘不满足交换律。 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。 第三节第三节：逆矩阵逆矩阵 定义定义 对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B,使得 A

25、BBAE 则说矩阵 A 是可逆的， 并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。 1 AA的逆矩阵记作， 1 AB 即。 线代知识整理 LB 制作 12 说明说明： 1 A ，B 互为逆阵， A = B-1 2 只对方阵定义逆阵。 3.若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的。 定理定理 1 矩阵 A 可逆的充分必要条件是0A ，并且当 A 可逆时，有 1* 1 AA A （重要重要） 奇异矩阵与非奇异矩阵奇异矩阵与非奇异矩阵 当0A 时，A称为奇异矩阵，当0A 时，A称为非奇异矩 阵。即0AAA可逆为非奇异矩阵。 推论推论 若(A=E)ABE或B，则 1 BA 求逆矩阵方法求逆矩阵方法 * *1

26、(1)| 0 2 1 (3) | AA A AA A 先求并判断当时逆阵存在； （ ）求 ； 求。 逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质： 1 11 1,AAAA 若 可逆 则亦可逆 且 1 1 1 2,0,AAAA 若 可逆 数则可逆 且。 111 3,A BABABB A 若为同阶方阵且均可逆 则亦可逆 且()。 1 1 4, T TT AAAA 若 可逆 则亦可逆 且。 1 1 5,AAA 若 可逆 则有。 方阵的多项式方阵的多项式 设 2 012 ( ) m m xaa xa xa x为x的m次多项式， A为n阶矩阵， 记 2 012 (A) m m a Ea Aa Aa A称(A)为矩阵

27、 A 的m次多项式。 注意注意 矩阵 A 的任意两个多项式 j(A)与 f(A)可交换，即(A) ( )( ) ( )f Af AA，矩阵 A 多项式可以像 x 的多项式一样相乘或因式分解。 矩阵多项式的计算矩阵多项式的计算 11 (1), kk AP PAPP 如果则，则 2 012 (A) m m a Ea Aa Aa A 112111 012 ( )P m m Pa EPPaPPaPPaPP （重要）（重要） 线代知识整理 LB 制作 13 总结总结 逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法 1 待定系数法； 1 2 A A A 利用公式； 3 初等变换法 下一章介绍 第四节第四节：矩阵分块法矩

28、阵分块法 1、矩阵分块矩阵分块 将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子 块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。 2、分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则 加法加法 A 与 B 同型， 且 A、 B 的分块方法相同， 则 A 与 B 的和定义为对应子块相加。 数乘数乘 () ij AA。 转置转置 1121 111213 1222 212223 1323 , TT TTT TT AA AAA AAAA AAA AA 设则。 乘法乘法 首 先 AB 有 意 义 ， 其 次 A 的 列 的 分 法 与 B 的 行 的 分 法 相 同

29、 。 ,Am lBln设 为矩阵为矩阵 分块成 1 2 12 ,(),() t n B B AA AAB B 即列向量组即行向量组， 1212 , iiitjjtj AAABBB其中的列数分别等于的行数 那么 111 1 r ssr CC AB CC ， 1 1, ;1, t ijikkj k CA Bis jr 其中。 结论结论 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。 3、分块对角阵（准对角矩阵）分块对角阵（准对角矩阵） 设 A 为 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩 阵， 且非零子块都是方阵， 即 1 2 s A A A A ，1,2, i A

30、is其中都是方阵， 线代知识整理 LB 制作 14 则有： 12 1) s AA AA。 1 2 2)0, i s A A AAA A 若每个则 可逆 且有， 1111 12 1,2, is AAisAdiag AAA 可逆可逆且（diag（A）表示对角阵）表示对角阵 A） 4、有用的结论有用的结论： T A AO,AOP5117设则（证明见课本例） 5、线性方程组的分块表示线性方程组的分块表示 线性方程组 11 112211 21 122222 m1 1m22m . . . . nn nn nnn a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb ， 11111211 22212

31、222 12 . . A(), , , . n n ij nmmmmnm xbaaab xbaaab axbB xbaaab 记， 其中 A 为系数矩阵，x 称为未知数向量，b 称为常数向量，B 称为增广矩阵。增广矩阵可以 分块表示为： 12 ( , )( ,., ) n BA bBa aa b或 线代知识整理 LB 制作 15 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 第一节第一节：矩阵的初等变换矩阵的初等变换 1、初等行变换初等行变换 1() ij rr对调两行，记作。 20() i krk以数乘以某一行的所有元素，记作。 3() ij krkr把某一行所有元素的

32、倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：初等列变换： 把初等行变换中的行变为列， 即为初等列变换， 所用记号是把“r”换成“c”。 扩展扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换， 初等变换的逆变换仍为初等 变换, 且类型相同。 2、矩阵等价矩阵等价 ABAB如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵 ，就称矩阵与等价。 等价关系的性质等价关系的性质 （1）反身性 AA 2 A B , B A;（ ）对称性 若则 3 A B,B C, A C（ ）传递性 若则。 3、行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是 非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖

33、线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非 零行的第一个非零元。 4、行最简形矩阵：行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其 他元素都为 0. 5、 标准型标准型： 对行最简形矩阵再施以初等列变换， 可以变换为形如 r m n EO F OO 的矩阵， 称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵 A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 6、初等变换的性质初等变换的性质：设 A 与 B 为 m n 矩阵，那么 (1); r ABmPPAB存在 阶可逆矩阵 ，使 (2) ; c ABnQAQB存在 阶可逆矩阵 ，使 线代知识整理 LB 制作 16 (3)P;ABmP

34、nQAQB存在 阶可逆矩阵 ，及 阶可逆矩阵 ，使 7、初等矩阵：初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质初等矩阵的性质：设 A 是一个 m n 矩阵，则 （1）对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ; r ABmPPAB即存在 阶可逆矩阵 ，使 （2）对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵； 即; c ABnQAQB存在 阶可逆矩阵 ，使 (3) P;ABmPnQAQB存在 阶可逆矩阵 ，及 阶可逆矩阵 ，使 （4） 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵 1212 , ll

35、 P PPAPPP使。 （5） r AA E可逆的充分必要条件是。 8、初等变换的应用初等变换的应用 （1）求逆矩阵）求逆矩阵： 1 (|)|A EE A 初等行变换 或 1 AE EA 初初等等列列变变换换 。 （2）求）求 A-1B ：A( , ) ( , ), r A BE P即 1 (|)|A BE A B 行 ，则 P=A-1B。或 1 EA BBA 初等列变换 . 第二节第二节：矩阵的秩矩阵的秩 1、 矩阵的秩矩阵的秩 任何矩阵 m n A ，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯 形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。 （非零行的行数即为矩阵的秩） 矩阵的秩矩阵的秩 在矩阵

36、 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D， 且所有 r + 1 阶子式(如果存在 的话)全等于 0， 那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式。数 r 称为矩阵 A 的秩， 记作 R(A). 规定零矩阵的秩，R(0)=0. 说明说明 1. 矩阵 Am n，则 R(A) minm,n; 2. R(A) = R(AT); 3. R(A)r 的充分必要条件是至少有一个 r 阶子式不为零; 4. R(A)r 的充分必要条件是所有 r + 1 阶子式都为零. 线代知识整理 LB 制作 17 2、满秩和满秩矩阵满秩和满秩矩阵 矩阵 ij m n Aa ， 若( )R Am， 称 A 为行满秩矩阵； 若

37、( )R An， 称 A 为列满秩矩阵；,( ),AnR AnA若 为 阶方阵 且则称 为满秩矩阵。 ( )nAR An若 阶方阵 满秩，即 0A ； 1 A必存在； A为非奇异阵； ,. nn AEAE必能化为单位阵即 3、矩阵秩的求法矩阵秩的求法 定理定理 1 矩阵 A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若 AB，则 R(A)=R(B)。 矩阵 Am n，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是 A 的秩。 推论推论 ()( )PQR PAQR A若 、 可逆，则 4、矩阵秩的性质总结矩阵秩的性质总结 (1)0()min , m n R Am n (2)()( ) T

38、R AR A (3), ABR AR B若则 ()( )PQR PAQR A(4)若 、 可逆，则 (5)max ( ), ( )( , )( )( ) ( )( , )( ) 1. R A R BR A BR AR B BbR AR AR A b特别当为非零列向量时，有 (6)()( )( )R ABR AR B (7)()min ( ), ( ).R ABR A R B (8),( )( ). m nn l ABOR AR Bn 若则 (9)AB=OAB=O设，若 为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。 线代知识整理 LB 制作 18 第三节第三节：线性方程组的解线性方程组的解 1、线性方

39、程组 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxa xb 若有解，则称其为相容相容的，否则称为不相容不相容 定理定理 2 n 元齐次线性方程组 Ax=0 （1）R(A) = n Ax=0 有唯一解，零解 （2）R(A) n Ax=0 有非零解. 定理定理 3 n 元非齐次线性方程组Axb （1） 无解的充分必要条件是(A)R(A,b)R （2） 有唯一解的充分必要条件是(A)R(A,b)nR （3） 有无限多接的充分必要条件是(A)R(A,b)nR 2、基础解系基础解系: 齐次线性方程组0Ax 的通解具有

40、形式 1 122 xcc(c1, c2为任意常数)， 称 通解式 1 12212 ,xccc c为任意常数中向量 12 , 构成该齐次线性方程组的基础解系。 3、线性方程组的解法线性方程组的解法 齐次线性方程组：齐次线性方程组：将系数矩阵 A 化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解. 若有非零解， 化成行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为 nR(A)，齐 次线性方程组的通解可以表成基础解系的“线性组合”。 非齐次线性方程组：非齐次线性方程组： 将增广矩阵 B=(A,b)化成行阶梯形矩阵， 判断其是否有解 若有解， 化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形

41、矩阵中非零行的第一个非零 元对应的未知量为非自由的。 非齐次线性方程组解的通解具有形式 * 1 122 xcc (c1, c2为任意常数)， 不带参 数部分 * 是非齐次方程组的一个解；带参数部分 1 122 cc的两个向量构成对应齐次方程 的基础解系。 4、 定理定理 矩阵方程 AXB 有解的充分必要条件是 R(A)R(A,B) 定理定理 ,( )min ( ), ( )ABCR CR A R B设则 线代知识整理 LB 制作 19 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 第一节：第一节：向量组及其线性组合向量组及其线性组合 1、n 维向量维向量 n 个数 a1,a2,an组成的

42、一个有序数组(a1,a2,an) 称为一个 n 维向量,记 为 1 2 12 ()( ,) . T n n a a a aa a 列向量形式 或（行向量形式），其中第 i 个数 ai称为向 量的第 i 个分量。 说明说明 1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵 2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； 3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还 是列向量时，都当作列向量。行向量可看作是列向量的转置。 2、 零向量零向量 0=(0,0,0)T(维数不同维数不同, 零向量不同零向量不同) 负向量负向量 12 (,)T n aaa 。 向量相等向量相等 设 1

43、212 ( ,)( ,) TT nn a aab bb，若,1, 2, ii ab in则 。 3、向量运算规律：向量运算规律：满足以下 8 条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。 ()() 0 （0是零向量，不是数零） ()0 1 ()()() () () 线代知识整理 LB 制作 20 4、向量与矩阵的关系向量与矩阵的关系 向量组向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。 设矩阵 A=(aij)mn有 n 个 m 维列向量，即 111211 212222 12 jn jn mmmjmn A aaaa aaaa aaaa ， 12n a ,a ,aA向量

44、组称为矩阵 的列向量组。同理，也可说矩阵 A 有 m 个行向量组组成。 1212 , (,) mm mnn mA 个 维列向量所组成的向量组构成一个矩阵， 1 2 12 , T T TTT m T m mnm nB 个 维行向量所组成的向量组构成一个矩阵。 另外，线性方程组的解也可以用一个向量来描述；线性方程组的解集合(通解)可以用一 个向量组来描述。 5、向量，向量组，矩阵与方程组的关系向量，向量组，矩阵与方程组的关系 向量组向量组矩阵矩阵： 12 (,) m A 向量方程向量方程 方程组方程组： 111121 221222 12 nn1n2n . m m m m aaab aaab xxx

45、 aaab ， 可简写作 1 122nn xxx 向量方程向量方程方程组方程组矩阵形式矩阵形式 11 22 12 (,) m nn xb xb Axb xb 6、线性组合线性组合 给定向量组 12 :, m A 和向量 b，如果存在一组数 12 , m ， ，使 1122mm b ，则向量 b 是向量组 A 的线性组合线性组合，这时称 b 向量能由向量组 A 线性表示。 7、 定义定义 给定向量组 12 :, m A ，对于任一组实数 12 , m kkk， ，向量 线代知识整理 LB 制作 21 1122mm kkk称为向量组的一个线性组合。 12 , m kkk， ，称为该线性组合的系数。