量子力学3.ppt

1、第三节 量子力学中的力学量,1 力学量的算符表示 2 基本力学量 3 电子在库仑场中的运动（氢原子） 4 本征函数的正交性 5 算符与力学量的关系 6 两力学量同时具有确定值的条件 7 测不准关系,1,1 力学量的算符表示（1）算符定义,算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。设某种 运算把函数u变成v ，用符号表示为,则表示这种运算的符号 就称为算符。,如果算符 作用于一个函数，结果等于乘上一个常数，即,则称为 的本征值，为属于的本征函数，方程称为算符 的本征值方程。求力学量F的本征值问题，归结为解本证值方程。薛定谔方程即为本征值方程。,物理意义：当体系处于 的本证态 时，力学量F

2、具有确定的值，这个值就是 在 态中的本证值 。,2,（2）算符的一般特性,（1）算符是线性的,（2）厄米算符,如果对于两任意函数和，算符 满足下列等式,则 称为厄米算符，式中x代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。只有满足这个条件的算符，才能表示实的物理量。 由于：,厄米算符的平均值是实数,与力学量对应的算符必须是线性的，这是态迭加原理所要求的。,3,关于厄米算符的运算有：,（1）相等 （2）相加 （3）相乘,若,有,则称 和 是对易的。,4,2 基本力学量 （1）坐标和动量算符,坐标算符： 动量算符： 动量算符的本征值方程是,式中p是动量算符的本征值，p(r)是属于这个本征值的本

3、征函数,（1）,（1）式的三个分量方程是,（2）,5,方程（1）的解是,（3）,设想粒子被限制在一个箱长为L的立方体箱中，如图所示。要求 波函数在两个相对的箱壁上对应的点具有相同的值，波函数所满足 的这种边界条件称为周期性边界条件。再由归一化条件：,因而,像这样把粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件的 归一化方法，称为箱归一化。,6,（2）角动量算符,经典力学 角动量 量子力学 角动量算符,在直角笛卡尔坐标中的三个分量算符是,角动量平方算符,7,由于角动量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角 动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此采用球坐标较为方便。

4、,角动量算符在球坐标中的表达式为：,8,的本征值方程可以写为,其中 Y(,) 是 L2 算符的本征函数，属于本征值2 的。,9,方程两边必须等于同一常数，以m2 表示，得,关于 的方程的解,将上式代入 的本征值方程，并以 乘方程两边，整理得,10,通解即为这些特解的迭加。 由归一化条件而得。,即 m 0，1， 2， 3， m称为磁量子数,根据波函数的单值条件,特解,求解函数（ ）。,关于的方程变为,令,代入（ ）的方程中，得出的函数以P（）表示,11,为使 Y(,) 在 变化的整个区域(0, )内都是有限的则必须满足： = （ + 1 ），其中 = 0, 1, 2，3， 和 m 方程的解叫作缔

5、合勒让德（Legendre） 函数,Pl（）称为勒让德（Legendre）多项式。,关于Y(,)方程的解就是球函数 Yl m(,)，其表达式：,12,Nlm是归一化常数，由归一化条件,可以算得,由上面的结果可以知 的本征值是 ，所属的本征函数是 Ylm(,)：,由于量子数 表征角动量的大小，所以称为角量子数；m 称为磁量子数。,13,根据球函数定义式可知，对应于一个 的值，m 可以取(2 +1)个值。因此当 确定后，尚有(2 +1)个磁量子状态不确定。换言之，对应一个值有(2 +1)个量子状态。把这种对应于一个本征值有一个以上本证函数的情况称为简并，把对应于同一本征值的本证函数的数目称为简并度

6、。 的本征值是(2 +1) 度简并的。,由式,有,即在Ylm态中，体系角动量在z轴方向的投影是,一般称 =0的态为s态， =1,2,3的态依次称为p,d,f态。 处于这些态的粒子，依次简称为s,p,d,f粒子。,14,3 电子在库仑场中的运动,考虑一电子在一带正电的核所产生的电场中运动。电子的质量为，带电荷-e，核的电荷是+Ze；Z=1时，这个体系就是氢原子.,体系 Hamilton 量,H的本征方程,取核在坐标原点,电子受核的吸引势能为：,15,这方程在球极坐标中的形势是,分离变量 化简方程，设,则有：,方程的左边仅与r有关，右边仅与，有关，而r,，都是独立变量，所以只有当等式两边都等于同一

7、个常数时，等式才会成立，以表示这个常数，则方程可以分解为两个方程,（1）,（2）,16,方程1称为径向方程，方程2 与辏力场的具体形式无关，它正是电子 角动量平方的本征值方程，即有：,代入方程1有,当E0 时，对于E的任何值，方程都有满足波函数条件的解，即体系的能量具有连续谱，这时电子可以离开核而运动到无限远处（电离）。当 E0 时， E 具有分立谱，电子处于束缚态。,计算可以得到当 E0 时，能量本征值为：,17,粒子的径向函数为,式中Nnl是归一化常数，,缔合拉盖尔多项式,第一玻尔半径,由归一化条件,库仑场中运动的电子能量小于零时的定态波函数是,18,对于一个n ， n可以取n0,1,2，

8、 n-1等共n个值，对于一个l ， m可以取m0，l ， 2， l,可以取(2 l+1) 个值。n 相同而 l，m不同，本证函数nlm就不同。因此，对应于第n个能级En 就有,个波函数，电子第n个能级是n2 度简并的。对m的简并是由于势场是奏力场，对l 简并则是库仑场所特有的。,进一步讨论氢原子内电子在空间各点的几率分布。当氢原子处于 nlm(r,)态时，电子在 (r,)点周围的体积元,内的几率是：,19,例1. =0, m=0，有：W00 = (1/4)，与 也无关，是一个球对称分布。,Rnl(r)已归一化,电子在 (,) 附近立体角 d = sin d d 内的几率,20,例2. =1,

9、m =1时，W1,1() = (3/8)sin2 。在 =/2时，有最大值。在 = 0沿极轴方向（z 向）W1,1 = 0。 而在 =1， m = 0 时， W1，0= (3/4)cos2 。其情况恰好相反，在 =0处，几率有最大值。在 = /2处，几率为零。,21,如果两函数1，2 满足关系式,4 本征函数的正交性,则称1 和2 相互正交。式中积分是对变量变化的全部区域进行的.（证明略）,属于不同本征值的两个本征函数相互正交这种性质，不仅是动量本征函数所独有的，而且是厄密算符的本征函数所共有的。也就是说，厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交，,假定本征函数已经归一化：,则有,22,

10、如果F 的本征值组成连续谱，则本证函数可以归一化为函数，有,满足上述条件的函数k 或称为正交归一系。,例如，角动量算符LZ的本证函数组成正交归一系。,角动量平方算符 的本证函数组成正交归一系。,23,如果F是满足一定条件的厄米算符，它的正交归一本证函数是n(x) (n =1,2,.),对应的本证值是n,如任意函数(x)可以按这组函数展开，即,5 算符与力学量的关系,为求Cn，将m*(x)乘上式两边，并对 x 积分，由m(x)的正交归一性，有,则称这组函数n(x) 组成完全系。,24,由于,所以|cn|2具有几率的意义，cn称为几率振幅。我们知道|(x)|2表示在x点找到粒子的几率密度，|c(p

11、)|2表示粒子具有动量p的几率，那末同样，|cn|2则表示F 取n 的几率。,当(x)已归一化时，Cn也是归一化的。,25,由于,所以|cn|2具有几率的意义，cn称为几率振幅。我们知道|(x)|2表示在x点找到粒子的几率密度，|c(p)|2表示粒子具有动量p的几率，那末同样，|cn|2则表示F 取n 的几率。,当(x)已归一化时，Cn也是归一化的。,26,归纳上述讨论，引进量子力学中关于力学量与算符的关系的一个基本假设： 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本证函数组成完全系。当体系处于波函数(x)|所描写的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是算符F的本征值之一，测得n的几率是|

12、cn|2。 根据这个假定，力学量在一般状态中没有确定的数值，而有一系列的可能值，这些可能值就是表征这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。 按照由几率求平均值的法则，力学量F在态中的平均值是,可以改写为,27,由正交归一性可以证明上述两式是相等的。,对于没有归一化的波函数,28,对于F 的本征值部分组成连续谱、部分组成分离谱的情况,C由下式给出,29,1、如果两个算符 和 有一组共同本征函数 ，而且 组成 完全系，则算符 和 对易。,6 两力学量同时具有确定值的条件,即,2、如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。,这两个结果并不相同，且,30,上式可以记为,称为x和px的对易关系。同样有,31,上述关系说明，动量分量和它所对应的坐标是不对易的，而和它不对应的坐标是对易的，动量各分量之间也是对易的。,要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量。这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量的完全集合。在完全集合中力学量的数目一般与体系自由度的数目相等。例如，氢原子中电子的自由度为3，完全确定它需要的状态需要三个相互