动力学普遍方程及拉格朗日方程.ppt

1、动力学的一般方程和拉格朗日方程是经典动力学的两个发展方面，拓宽了研究领域。矢量动力学也称为牛顿-欧拉动力学。牛顿运动定律由单个自由粒子约束粒子和粒子系统组成(基于达朗贝尔原理)。欧拉寻求牛顿运动定律刚体和理想流体的一种新的表达形式，并将虚位移原理和达朗贝尔原理应用于动力学，建立了一个新的分析力学体系拉格朗日力学，并研究了一个有N个质点和理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，如果一个系统有任意一组虚位移，系统的总虚功为0，动力学的一般方程和系统的总虚功为0。利用理想约束条件，得到在任意时刻作用于具有理想约束和双侧约束系统的主动力和惯性力的元功之和等于零。动力学一般方程的直角坐标形式，适用于具有理想约

2、束或双侧约束的系统。动力学的一般方程适用于稳态约束系统和非稳态约束系统。动力学的一般方程适用于完全约束系统和不完全约束系统。动力学的一般方程既适用于强有力的系统，也适用于无力的系统。动力学的一般方程主要用于解决动力学的第二个问题，即主动奋斗系统的运动规律是已知的。在应用一般动力学方程求解系统运动规律时，正确分析运动并对系统施加惯性力是非常重要的。因为动力学的一般方程不包含约束力，所以没有必要解除约束并拆卸系统。要应用一般的动力学方程，必须正确分析主力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。应用动力学的一般方程，其解如下：1 .分析运动并施加惯性力；2.该系统有一个自由度，这使得它有一个虚

3、拟位移x，3。应用动力学的一般方程，其中：例2，离心调速器，已知：m1球A和B的质量；m2重量的质量c。l杆的长度；O1 y1轴的旋转角速度。寻求：关系。解决方案：该系统的约束是理想的，不考虑摩擦；该系统有一个自由度。取广义坐标q=，1。分析运动并确定惯性力，球甲和球乙以相同的速度绕Y轴旋转；重锤静止不动。球A和球B的惯性力是2，这使得系统有一个虚位移。a、b和c处的虚位移分别为rA、rB和rC。3。应用动力学的一般方程，根据几何关系，有，3。应用动力学的一般方程，发现：1 .三棱柱后退的加速度a1；2.圆轮质心C2相对于三棱柱的加速度ar。解决方案：1 .分析运动，三棱柱平移，加速度为a1。

4、圆的旋转在一个平面内移动，质心的隐含加速度为AE=A1质心的相对加速度为ar；圆轮的角加速度是2。解决方案：2 .施加惯性力；解决方案：3 .确定虚位移，考察由三棱柱和圆盘组成的系统，该系统有两个自由度。第一组，第二组，二自由度系统有两组虚位移：解：4，应用动力学的一般方程，解：4，应用动力学的一般方程，解：5，联立方程，拉格朗日方程，主要动力，虚位移，广义坐标，即第一拉格朗日经典关系(消失点)是找到任何广义坐标qj的偏导数。如果位置向量是求任意广义坐标qj的偏导数，然后求时间的导数，则得到第二个拉格朗日关系，称为拉格朗日方程或第二类拉格朗日方程。如果作用在系统上的主要力都是强有力的，根据强有

5、力的广义主要力，引入拉格朗日函数和LTV，得到强有力的拉格朗日方程。对于具有完全约束和N个自由度的系统，由N个拉格朗日方程组成的方程可以其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。根据选定的广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力。将动能或拉格朗日函数和广义力代入拉格朗日方程。拉格朗日方程的应用，解：1 .该系统有一个自由度，作为其广义坐标。2.计算系统的动能，其中。计算广义力。应用拉格朗日方程，解：1 .该系统有两个自由度，以X为广义坐标。2。计算系统的动能，其中。计算广义力：(1)阶，(2)阶，4。利用拉格朗日方程，解为：例6，质量为m、长度为l的均匀杆AB可以绕A端的铰链在平面内转动，A

6、端的小圆轮与刚度系数为k的弹性弹簧连接，可以在滑槽内上下滑动。弹簧的原始长度是10。求：系统的运动微分方程，k，解：1。系统的约束是完全的约束，而主要的力量是强大的。2.系统有两个自由度，广义坐标是q=(x)，x坐标的原点在弹簧的原始长度之下。解决方案：3 .计算系统的动能：除去弹性弹簧的质量，系统的动能是AB杆的动能。通过速度vC的确定，系统的势能由弹簧势能和重力势能组成，其中O点为共同势能零点：拉格朗日函数；4.利用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。解决方案：1 .系统的约束是完整的，主要力量是强大的。2.系统有两个自由度，广义坐标选择为Q=(x)，x坐标的原点取自弹簧的原始强度。3.计

7、算系统的动能并确定速度vC。系统的势能由弹簧势能和重力势能组成。4.利用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。解决方案：1 .系统的约束是完全的约束，而主要的力量是强大的。2.系统有两个自由度，广义坐标选择为q=(，)。3。计算系统的动能：从运动学可以看出：建立坐标系统O1x1y1，与质心O1，3一起平移。计算系统的动能：拉格朗日函数，4。利用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，拉格朗日方程的初始积分，(1)循环积分(广义动量守恒)，(2)当L函数不明确包含某个广义坐标qj时，qj _称为循环坐标。这时，有循环积分：系统的主力有势，L函数没有明确包含时间T，约束是稳定的，也就是说，有可以守恒的机制：这可以通过能量积分得到。因为L函数没有明确包含，它是循环坐标，系统有循环积分：结论与讨论，达朗贝尔原理虚位移原理给出了粒子系统平衡的充分必要条件。虚位移原理可以通过达朗贝尔原理推广到质点系统动力学，得到达朗贝尔拉格朗日方程，即第一拉格朗日方程，也称为一般动力学方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系统的第二动力学问题，即已知的主动运动。结论和讨论第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔拉格朗日方程，也称为动力学的一般方程。达朗贝尔拉格朗日方程适用于具有理想约束或双边约束的系统。达朗贝尔拉格朗日方程适用于稳态约束系统和非稳态