测量坐标系转换问题讨论及最小二乘坐标转换程序设计

1、测量坐标系转换问题讨论及最小二乘坐标转换程序设计摘要：在工程实践中，常常会遇到坐标基准的选择和坐标系的建立问题，这会关系的后续工作的进行。进行基准的选择，要考虑到多方面的因素，包括基准面和基准线的选择问题。而在进行数据处理的时候，有要将外业观测数据先归算至椭球面，然后再投影至高斯投影面，最后在进行平差计算，在归算和投影中，要注意中央子午线和投影高程面的选择，以减小投影变形，满足精度要求。由于根据需要选择了不同的坐标系，所以就不可避免的产生了坐标转换的问题。本文就着重阐述了工程控制网的建立和坐标系的选择以及归算和高斯投影方面的知识。关键词：坐标系 高斯投影 坐标转换 精度分析The conver

2、sion of measurement coordinate system and the programme design the least square coordinate transformation Abstract: In engineering practice, we often encounter the problem of how to choose coordinates of reference and coordinate system, which has close relationship with the following works. For the

3、choice of benchmark, many various factors should be taken into consideration, including the choice of datum level(基准面) and central meridian. When in the course of data processing, we should firstly operator the field observation data to ellipsoid, and then projected to the Gauss projection plane, an

4、d the last course is adjustment calculation. In the return calculation(归算) and projection, we should pay attention to the choice of central meridian and the projection surface elevation, in order to reduce the projection distortion and meet the required precision. Because we have chosen the differen

5、t coordinate system for different engineering practice, so it is inevitable that we should do the work of coordinate transformation. This article focuses on the establishment of project control network, the choice of coordinate; return calculation (归算) and the Gauss projection knowledge, and the tra

6、nsformation of different coordinate system and the precision of coordinate transformationKey word: Coordinate system，Gauss projection， coordinates transformation precision analysis目 录第一章 绪论1第二章 常用大地测量坐标系及其转换关系22.1大地测量参考系统和大地测量参考框架22.1.1 大地测量参考系统22.1.2 大地测量参考框架32.2大地测量常用坐标系32.2.1 北京54坐标系42.2.2 1980国家

7、坐标系42.2.3 新北京54坐标系52.2.4 2000国家大地坐标系52.3 坐标系间的转换关系62.3.1 不同空间直角坐标系间的转换关系62.3.2 不同大地坐标系间的转换关系7第三章 高斯投影概述93.1 地图数学投影和投影变形93.2 地图投影的分类103.3 高斯投影113.3.1 高斯投影的基本概念113.3.2 高斯投影的分带123.3.3 高斯投影正算的公式133.3.4 高斯投影反算公式143.3.5 高斯投影的性质153.4 高斯投影的换带计算163.5 高斯投影正反算程序设计17第四章 工程控制网建立的基本原理194.1 工程控制网的特点194.2 工程控制网的分类1

8、94.3 工程平面控制网的布设原则204.4 工程测量中投影带和投影面的选择214.4.1 有关投影变形的基本概念214.4.2 有关工程测量平面控制网的精度要求的概念224.4.3 工程测量投影带和投影面选择的基本出发点224.4.4 工程测量中几种可能采用的坐标系23第五章 平面直角坐标的转换255.1 概述255.2 常用的平面坐标的转换方法255.2.1 直接参数法255.2.2 相似变换法265.2.3 多项式逼近法285.3 影响平面坐标转换的精度的因素305.4 最小二乘法坐标转换程序设计31第六章 总结33致谢34参考文献35第一章 绪论测量坐标系的选择及其相互间的转换是测量工

9、作经常遇到的问题，也是在测量中需要解决的重要问题，坐标系选择的科学与否，将直接影响到测量速度与后续工作的进行。除此之外，在测量工作中如果能恰当的选择坐标系，也会大大减少测量的工作量以及施工中的麻烦。在坐标系的选择中首先值得注意的是投影面的选择和中央子午线的选择，以限制归算和投影的变形，使测量的精度满足设计要求。这就不可避免的牵涉到了投影与归算的问题，包括几种减小投影变形的方法，例如：具有抵偿投影面的高斯正形投影、任意带高斯正形投影、具有高程抵偿面得任意高斯正形投影等等，对这些问题与方法的探讨，对于理解变形原因和性质及掌握减小变形的方法有很大的帮助。既然在测量中选择了不同的坐标系，就不可避免的产

10、生了不同坐标系间的转换。这包括了不同大地坐标系间、不同空间直角坐标系、不同平面坐标系以及大地坐标系与平面坐标系间等的转换。在这些坐标系间的转换时，有很多的数学模型，各个数学模型的适用情况也有所不同，影响转换精度的因素也会有所不同，如公共点质量及分布。通过设计可以进一步掌握坐标转换问题。 本论文的结构如下：第一章，绪论，介绍本设计的意义和目的；第二章为常用大地测量坐标系及其转换关系，介绍了常用的大地测量坐标系，以及这些坐标系之间的转换关系；第三章为高斯投影概述，介绍地图投影的基本知识及高斯投影的基本概念、高斯投影正反算知识和换带计算；第四章为工程控制网建立的基本原理，介绍了工程控制网的布设原则及

11、方法，另外，还介绍了为限制投影变形所采取的措施和方法；第五章为平面坐标的转换和精度分析，这一章包括了平面直角坐标转换的几种数学模型和每种模型所适用情况，并对影响坐标转换的精度的因素做了分析。第二章 常用大地测量坐标系及其转换关系2.1大地测量参考系统和大地测量参考框架2.1.1 大地测量参考系统大地测量参考系统包括了坐标参考系统、高程参考系统、重力参考系统。坐标参考系统分为天球坐标系和地球坐标系。天球坐标系是以天球为基准建立的坐标系，主要用于研究天体运动和人造卫星的定位与运动。地球坐标系是以旋转椭球为参照建立的，主要用于研究地面上物体的定位与运动，地球坐标系根据坐标表示的不同，可分为大地坐标系

12、和空间直角坐标系。大地坐标系是用大地经纬度和大地高表示的，其表示方法为（B，L，H）。某点的经度就是过该点的子午面与起始子午面的二面角。某点的纬度就是该点的法线与赤道面的夹角。大地高就是地面点沿椭球面的法线到椭球面的距离。在空间直角坐标原点在地心或参考椭球的中心，X轴指向起始子午面与赤道面的交点，其表示形式为（X,Y,Z）。大地坐标系和空间直角坐标系如下图： 大地坐标系 空间直角坐标系图2.1高程参考系统：高程参考系统又可分为大地高、正常高和正高系统。大地高是某点沿法线到椭球面的距离；正常高是某点沿正常重力线到似大地水准面的距离；正高是某点沿铅垂线到大地水准面的距离。正常高H正常及正高H正与大

13、地高H之间的关系如下式： H=H正常+ （1-1）H=H正+N （1-2）图2.2式中：为高程异常，N为大地水准面差距。重力参考系统：它是作为重力观测的参考系统。2.1.2 大地测量参考框架大地测量参考框架是大地测量参考系统的具体实现，是通过一定大地测量方法确定的固定在地面上的控制网点所构建的，分为平面参考框架、高程参考框架和重力参考框架。2.2大地测量常用坐标系WGS-84世界大地坐标系：这是一个地心坐标系。它最初是由美国国防部根据TRANSIT导航卫星系统的多普勒观测数据所建立的。WGS-84是由分布于全球的一系列GPS跟踪站的坐标来具体实现的。它所采用的4个基本参数是：长半轴： a=m地

14、球引力常数： GM=正常化二阶带球谐系数： C=-484.16685地球自转角速度：=大地坐标系：如下图所示，P点的子午面NPS与起始子午面NGS构成的二面角L，叫做P点的大地纬度。由起始子午面起算，向东为正，叫动静，向西为负，叫西经。P点的法线Pn与赤道面的夹角B，叫做P点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬；向南为负，叫南纬。在该坐标系中P点的位置用L,B表示。另外，还有该点的大地高来表示该点的位置。 大地坐标系 空间直角坐标系图2.3空间直角坐标系：如上图所示，以椭球中心O为原点，起始子午线与赤道面的交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为轴，椭球体的旋转轴为轴，构成右手坐标系-X

15、YZ，在该坐标系中，P点的位置用X,Y,Z表示。2.2.1 北京54坐标系新中国成立后我国大地测量进入了全面发展时期，在全国进行了大规模的大地测量工作，迫切需要建立一个参心大地坐标系。由于当时的技术条件，就暂时采用了克拉索夫斯基椭球参数，通过测量计算建立了1954年北京坐标系。北京54坐标系建立以来，我国依据这个坐标系建立了全国天文大地网，完成了大量的测绘任务。但是，随着技术的发展，人们发现了北京54存在以下缺点：（1） 椭球参数存在的误差较大。（2） 参考椭球面与我国大地水准面存在着自西向东明显的系统性的倾斜，在东部地区大地水准面差距最大达+68m。（3） 几何大地测量和物理大地测量应用的参

16、考面不统一。我国在处理重力数据时采用赫尔默特19001909年正常重力公式，与这个公式相应的赫尔默特扁球不是旋转椭球，它与克拉索夫斯基椭球是不一致的，这给实际工作带来了麻烦。（4） 定向不明确。2.2.2 1980国家坐标系由于北京54的缺点，给测量工作带来了大量的麻烦与不便，所以又建立了1980年国家坐标系。它有以下特点：（1）采用1975年国际大地测量与地球物理联合会IUGG第16届大会上推荐的5个椭球基本参数。长半径 a=m,地球的扁率为 1/298.257地心引力常数 GM=3.986 00510,重力场二阶带球谐系数J2 =1.082 6310自转角速度 =7.292 11510 r

17、ad/s（2）在1954年北京坐标系基础上建立起来的。（3）椭球面同似大地水准面在我国境内最为密合，是多点定位。（4）定向明确。椭球短轴平行于地球质心指向地极原点的方向。（5）大地原点地处我国中部，位于西安市以北60 km 处的泾阳县永乐镇，简称西安原点。（6） 大地高程基准采用1956年黄海高程系。2.2.3 新北京54坐标系新1954年北京坐标系,是在1980国家坐标系的基础上，改变1980国家坐标系相对应的1975年椭球几何参数为克拉索夫斯基椭球参数，并将坐标原点 (椭球中心)平移,使坐标轴保持平行而建立起来的。BJ54新的特点是：（1） 采用克拉索夫斯基椭球参数。（2）是综合GDZ80

18、和BJ建立起来的参心坐标系。（3）采用多点定位，但椭球面与大地水准面在我国境内不是最佳拟合。（4） 定向明确，坐标轴与GDZ80相平行，椭球短轴平行于地球质心，指向1968.0地极原点的方向。（5）地原点与GDZ80相同，但大地起算数据不同。（6）高程基准采用1956年黄海高程系。（7）与BJ54相比，所采用的椭球参数相同，其定位相近，但定向不同。2.2.4 2000国家大地坐标系80国家坐标系和北京54坐标系都是参心坐标系，随着社会的进步，国民经济建设、国防建设和社会发展、科学研究等对国家大地坐标系提出了新的要求，迫切需要采用原点位于地球质量中心的坐标系统作为国家大地坐标系。采用地心坐标系，

19、有利于采用现代空间技术对坐标系进行维护和快速更新，测定高精度大地控制点三维坐标，并提高测图工作效率。2000国家大地坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现，其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数如下： 长半轴 am 扁率f1/298. 地心引力常数GM3.1014 自转角速度7.292l15rad /s2.3 坐标系间的转换关系2.3.1 不同空间直角坐标系间的转换关系对于不同空间直角坐标系的转换，包括了3个旋转参数，3个平移参数和1个缩放参数，共计7个参数。相应的坐标变换公式为： （2-3）式中：、为平移参数，、为旋转参数，m为缩放参数。这个模型

20、就是七参数模型。（2-3）式即为不同空间直角坐标系转换的数学模型，其中含有7个未知数，所以在计算时至少需要3个已知公共点才能计算，若多于3个公共点，则可用最小二乘的方法求得这7个转换参数的最佳估值。令，则可将（2-3）式写成： （2-4）取： （2-5）则可写出如下形式的误差方程： （2-6）用矩阵的形式表示：为待求的转换参数向量，为改正数向量，已知值，B为系数阵。根据最小二乘的原则，可列出法方程为 （2-7）其解为： （2-8）则：，由于公共点的坐标存在误差，求得的转换参数将受其影响，公共点坐标的误差对转换参数的影响与点位的几何分布和点数多少有关，因而为了求得较好的转换参数，应当选择一定数量

21、的精度较高且分布较均匀并有较大覆盖面积的公共点。2.3.2 不同大地坐标系间的转换关系对于不同的大地坐标的换算，除了包含3个平移参数，3个旋转参数和1个缩放参数以外，另外还有2个地球椭球参数。下面将给出不同大地坐标间的转换公式。大地坐标与空间坐标的关系为： (2-9)取全微分可得： （2-10）式中：由以上两式可得式中：所以可得： （2-11）上式（2-11）称为广义大地坐标微分方程或广义椭球微分公式。如略去旋转参数和尺度变化参数的影响，即简化为一般的大地坐标微分公式。由于不同大地坐标的换算有9个参数，所以，根据至少3个以上的公共点的两套大地坐标值，可以列出9个以上的（2-11）式，采用最小二

22、乘原理，可以求得9个转换参数的最或然值，从而实现不同大地坐标间的转换。第三章 高斯投影概述我们知道，在外业数据处理时，首先要将观测数据归算至椭球面，然后归算至高斯投影面，才能够进行平差计算的工作。本章就着重研究椭球面上的元素大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角向平面转化的问题。3.1 地图数学投影和投影变形地图数学投影，就是将椭球面上的元素按照一定的数学法则投影到平面上。这里所说的数学法则可以用方程概括为 （3-1）式中，L、B为大地坐标，x、y为相应的平面坐标。由于方位角和边的长度都是与坐标有关的，所以，只要能知道怎样由大地坐标化为相应的平面坐标，就可得到在平面上的方位角和长度。要进行投

23、影，就会产生投影变形，投影变形有长度变形、方向变形、角度变形和面积变形等。3.2 地图投影的分类地图投影的分类方法很多，按照不同的分类方法可将地图投影分为很多类。按照投影的变形性质来分，可将地图投影分为：等角投影、等积投影和任意投影，等角投影就是保证投影前后角度不变，投影的长度比与方向无关，至于位置有关。等积投影就是保证投影前后的面积保持不变。而任意投影就是既不等角，又不等积得以投影，其中应用比较广泛的是保持某一方向的长度比为1.，即等距离投影。按经纬网投影形状分类，可分为：方位投影、圆锥投影和圆柱投影。方位投影就是取一平面与椭球极点相切，将极点附近的区域投影到该平面上。纬线投影后为以极点为圆

24、心的同心圆，而经线则为它的向径，且经线交角不变。用极坐标表示投影方程为：=f（B），= l圆锥投影，就是取一圆锥与椭球某条纬线相切，将纬线附近的区域投影到圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪切展成平面。在这种投影中，纬线投影成同心圆，经线是这些圆的半径，且经线交角与经差成比例，用极坐标表示的投影方法为：=f（B），=l显然，方位投影是圆锥投影=1的特例。圆柱（或椭圆柱）投影，就是取圆柱（或椭圆柱）与椭球赤道相切，将赤道附近的区域投影到圆柱（或椭圆柱）面上，然后将圆柱（或椭圆柱）展开成平面。在这类投影中，纬线投影为一组平行线，且对称于赤道；经线是与纬线垂直的另一组平行线。设中央子午线为x轴，赤道投影

25、为y轴，圆柱的半径为C，则圆柱投影的方程为：x=C f（B），y=Cl在实际应用中，为使投影变形较小，并达到变形均匀的效果，除运用投影面和地球椭球面相对正常位置外，还常常采用其他相对位置，这是还可以按投影面和原面的相对位置关系进行分类：正轴投影：即圆锥轴或圆柱轴与地球相重合时的投影，此时称正轴圆锥投影或正轴圆柱投影。斜轴投影：即投影面与原面相切于除极点和赤道以外的某一位置所得的投影。横轴投影：投影面的轴线与地球自转轴垂直，且与某条经线相切所得的投影。除此之外，为调整投影变形分布，投影面还可以与地球相割于两条标准线，这就是所谓割圆锥、割圆柱投影等。我国大地测量中，采用横轴椭圆柱面等角投影，即高斯

26、投影。3.3 高斯投影3.3.1 高斯投影的基本概念高斯投影是一种特殊的正形投影，想象有一个椭圆柱面套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，这条中央子午线称为中央子午线或轴子午线，椭圆柱的中心轴通过椭球体的中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。如下图：图3.13.3.2 高斯投影的分带由于在高斯投影中，距离中央子午线越远的地方，投影变形越大，而为了减小这种变形，则采用分带的方法进行处理。在分带时，我国规定按经差6和3进行投影分带，为大比例尺和工程测量采用3带投影。在特殊情况下，工程测量控制网也可采用1.5带或任意带。但为了测

27、量成果的通用，需同国家的6或3带相联系。高斯投影的分带如下图所示：图3.2高斯投影6带自0子午线起，每隔6自西向东分带，依次编号1，2,3。我国6带中央子午线的经度，由69起每隔6至135，共计12带，带号用n表示，中央子午线的经度用则。高斯投影3带式在6带基础上形成的，它的中央子午线一部分与6的相同，一部分与6带的分带子午线重合，用n表示3的带号，L表示中央子午线，则L=3n。3.3.3 高斯投影正算的公式高斯投影是一种特殊的正形投影，它除了满足正形投影的一般条件以外，还要满足一些特殊条件。总的来说，高斯投影正算应满足的条件有：（1）中央子午线投影后为直线；（2）中央子午线投影后条件不变；（

28、3）投影具有正形投影的性质，即正形投影条件。由以上条件可知，当B为常数时，x是经差l的偶函数，而y是经差l的奇函数。又由于高斯投影采用分带投影的方法，在每带内经差是不大的，l/是一个微小量，所以式（1）中的x、y展成经差l的幂级数： （3-2）将x、y对l、q分别微分得： （3-3）由正形投影的一般条件（柯西-黎曼条件）可得 （3-4）为最终求出待定系数，显然要确定即可，也就是确定的表达式。而又由第二个条件知位于中央子午线上的点，投影长度不变，即其投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的中央子午线长度，即当l=0时， x=X （3-5）式中X为自赤道量起的子午线弧长。则再结合子午线弧长与经

29、纬度关系的公式可得出系数的具体值，这里省去推到过程，直接给出高斯投影正算公式： （3-6）其中：公式（6）即为高斯投影的正算公式，利用上式，可将大地坐标B、L转化为高斯平面上的平面坐标x、y。3.3.4 高斯投影反算公式在高斯投影正算时，原面是椭球面，投影面是高斯平面，将大地坐标B、L转化为高斯平面上的平面坐标x、y。而在反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，将高斯平面坐标x、y转化为大地坐标B、L。相应的投影方程可用下式表示： （3-7）和正算一样，对投影函数，提出以下3个条件：（1）x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；（2）x轴上的投影长度保持不变；（3）正形投影条件，即高斯面上的

30、角度投影到椭球面上后的角度没有变形，仍然相等。反算公式与正算公式的推导相似，它的基本思想是，首先根据x计算纵坐标在椭球面上的投影的垂足纬度，接着按计算（）及经差l，最后得到： （3-8）为了简化差值（）及l的计算公式的推导，我们借助等量纬度。由于高斯投影的区域不大，因此，可将（q，l）展开为y的幂级数。由上述第一个条件可知，q应是y的偶函数，l应是y的奇函数，因此可得： （3-9）再由第三个条件可得： （3-10）上式就是高斯投影的反算公式。3.3.5 高斯投影的性质从以上高斯投影的正反算公式，以及高斯正反算的条件可得出高斯投影具有以下性质：（1）当l为常数时，随着B的增大x的值增大，y的值减

31、小，又因为cos（-B）=cos（B），所以，不论B值为正或负，y值不变。这就是说，椭球面上除中央子午线外，其它子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午线和赤道。（2）当B为常数时，随着经差l的增加，x和y的值都增大。所以，在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍为对称曲线，同时与中央子午线的投影曲线相互垂直凹向两极。（3）距中央子午线越远的中央子午线，投影后的弯曲月厉害，长度变形也越大。由以上的性质可得高斯投影后的形状如下图所示：图3.33.4 高斯投影的换带计算由高斯投影的性质和条件可知，高斯投影保持了角度不变，但是在距离中央子午线较远的地方，长度变形比较大。为了限

32、制高斯投影的长度变形，必须依据中央子午线进行分带，把投影范围限制在子午线东、西两侧一定的狭长带内分别进行。但这又使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。于是由于分带就必然产生了换带计算的问题。具体来说，在以下情况下要进行坐标临带换算：（1） 当控制网跨越两个带时，为了能在一个带内进行平差计算就必须进行临带换算；（2） 在分带子午线附近进行测图时，往往需要用到另一带内的控制点作为已知点，因此就要将这些点的坐标换算到同一个带内；（3） 当大比例尺测图时，特别是在工程测量中，要求采用3带或1.5带或任意带，而国家控制点通常只有6带坐标，这就产生了6带同3带、1.5带或任意带的换算问题。所以，换带计算

33、是分带带来的必然结果。高斯投影换带计算主要有直接法和间接法两种。直接法就是直接利用换带计算的公式进行换带计算。间接法就是通过大地坐标进行高斯正反算互相换算，也是目前使用较多的方法其计算的流程如下图：3.5 高斯投影正反算程序设计在进行高斯投影正算时，已知数据为中央子午线经度L，该点的经纬度L、B，以及相应的椭球参数。在进行程序的数据输入时，所采用的数据格式如下：正算的数据结构为：点名，B，L反算时的数据结构为：点名，x坐标，y坐标在进行数据输入时，采用的是利用VB调用对话框，从而读取TXT文件的数据，进行计算。从而实现数据的批量处理。对于处理结果也要调用公共对话框，进行存储到TXT文件中。在程

34、序进行计算时，正算时要计算中央子午线弧长X，反算时要计算底点纬度，正反算的程序框图如下： 开始计算读取文件B、L读取x、y文件输入L计算经差l输入L计算X计算t，N计算x，y输出x、y计算计算计算B，l计算L= L+l输出B、L计算结束 图3.4程序的界面如下图：图3.5程序运行时，首先选择椭球参数，如北京54或西安80，然后输入中央子午线的经度，再选择计算方式，正算或者是反算，选择y是否要加500公里，点击“读入数据”按钮，读入已知数据，并将数据在右上方的列表框中显示出来，点击计算按钮，得到计算结果，并存储到txt文档中。高斯投影正算程序的调试结果与数据如下：图3.6上图是正算时要读入的经纬

35、度数据，进行计算后的结果为：图3.7为了验证程序的正确性，再用上面的正算结果进行反算得出经纬度，并与已知的数据进行比较如下：图3.8经过比较可以得出，用一组经纬度进行正反算所得到的结果是一样的，这就验证了程序的正确性。第四章 工程控制网建立的基本原理4.1 工程控制网的特点1、 同相应等级的国家控制网相比，工程测量控制网的边长显著的缩短，远小于国家控制网的边长；2、 工程测量控制网的等级较多；3、 各等级的工程控制网均可作为测区的首级控制，这是因为工程测量的服务对象非常广泛，测区的面积大小不一，大的可以达到几千平方公里，小的可能只有几公顷。我们就可以根据测区面积的大小，选择合适等级的控制网作为

36、测区的首级控制网；4、 三、四等三角测量的起始边，按首级网和加密网分别对待。4.2 工程控制网的分类在工程建设中，从工程施工的进度来说，可将工程划分为三个阶段：规划设计阶段、施工兴建阶段和运营管理阶段。作为为工程建设服务的工程控制网来说，根据工程建设的各阶段对工程测量控制网提出的不同要求，工程测量控制网一般可分为以下三类：一、 测图控制网测图控制网是在工程设计阶段建立的，用于测绘大比例尺地形图的测量控制网。在这一阶段，设计人员利用地形图进行建筑物的设计或区域规划，以求得设计所依据的各项数据。因此，作为图根控制依据的测图控制网，必须保证地形图的精度和相邻图幅间的准确拼接。另外这种控制网也是地籍测

37、量的基本控制。二、 施工控制网施工控制网是在工程施工建设阶段位工程施工放样服务的测量控制网。在这一阶段，施工测量的主要任务是将图纸上设计的建构筑物放样到实地上。对于不同的工程来说，施工测量的具体任务也不同。如，隧道工程施工测量的主要任务是保证对向开挖的隧道能够按照规定的贯通精度贯通，并使各建筑物按照设计修建，放样过程中，标尺安置的方向和距离都是根据控制网计算出来的。因此，在施工放样前，要建立必要精度的施工控制网。三、 变形监测控制网变形监测控制网是在工程竣工后的运营阶段，建立的为监测建筑物变形的变形监测专用控制网。由于在工程施工阶段改变了地面的状态，而建筑物的重量将会引起地基及其周围地层的不均

38、匀变化。此外，建筑物本身及其基础也会由于地基的变化而产生变形，这种变形如果超过了一定的限度，就会影响建筑物的正常使用，严重时还会危及建筑物的安全。在一些大中城市，由于地下水的开采，也会引起市区地面大面积的沉陷，从而造成危害。所以，在工程竣工后的运营阶段，需要对有的建筑物或市区进行变形监测，这就要布设变形监测专用的控制网。而这种变形的量级一般都比较小，为了精确的测出其变化，要求变形监测网有较高的精度。4.3 工程平面控制网的布设原则1、 分级布设，逐级控制对于工程控制网，通常先布设精度要求较高的首级控制网，随后根据测图需要，测图面积的大小再加密若干级较低精度的控制网。用于工程建筑物施工放样的专用

39、控制网，往往分两级布设，第一级作为总体控制，第二级直接为建筑物的施工放样而布设；由于变形监测控制网或其他用途的控制网，通常无需分级，直接布设成高精度的即可。城市控制网或工程GPS网按相邻点的平均距离和精度划分为二、三、四等和一、二级，在布网时可以逐级布设、越级布设或布设同级全面控制网。2、 要有足够的精度以工程控制网为例，一般要求最低一级的控制网的点位中误差能满足大比例尺1:500的测图要求。按图上0.1mm的绘制精度计算，这相当于地面上的点位精度为（0.1500）=5cm。对于国家控制网而言，尽管观测精度很高，但由于变长比工测控制网长得多，待定点与起始点相距较远，因而点位中误差远大于工测控制

40、网。3、 要有足够的密度不论是工测控制网还是专用控制网，都要求在测区内有足够的控制点。4、 要有统一的规格虽然工测控制网是由不同的工测部门独立施测的，单为了互相利用和协调，也应该制定统一的规范以便大家共同遵照执行。4.4 工程测量中投影带和投影面的选择4.4.1 有关投影变形的基本概念平面控制测量投影面和投影带选择的，主要是为了解决长度的变形，这种投影变形有归算变形和投影变形两个部分：（1）实测边长归算到参考椭球面上的变形影响（归算变形），其值为，则 = （4-1）式中为归算边高出参考椭球面的平均高程，s为归算边的长度，R为归算边方向参考椭球发截弧的曲率半径，归算边长的相对变形： （4-2）依

41、据（4-1）式计算的每公里长度变形值，依据（4-2）式计算的不同高程面上的相对变形，如表-1，R的概算值为6370km。从表中可以看出，的值是负值，表明地面实测边长归算到参考椭球面上总是变短的。表4.11030507090100160100020003000/mm-1.6-4.7-7.8-11.0-14.1-15.7-25.1-157-314-472/s（2）将参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的影响，其值为，则由距离改化公式可得： = （4-3）式中，即为投影归算边长，为归算边两端点横坐标的平均值，为参考椭球面的平均曲率半径。投影边长的相对投影变形为： = （4-4）依据（3）、（4）两式

42、分别计算饿每公里长度投影变形值以及相对投影变形值见表-2表4.2y/km102030405060708090100150/mm1.24.911.119.730.744.360.378.799.6133.0从上可见，总是正值，表明将椭球面上的长度投影到高斯平面上，总是增大的；的值随着平方成正比而增大，离中央子午线越远变形越大。4.4.2 有关工程测量平面控制网的精度要求的概念工程测量控制网不但应作为测绘大比例尺的控制基础，还应作为城市建设和各项工程建设施工放样测设数据的依据。为了便于施工放样工作的顺利进行，要求控制点坐标直接反算的边长应等于实地测量的边长，这就是说有上述两项归算投影改正带来的长度

43、变形或该证书，不得大于施工放样的精度要求。一般来说，施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为1/5000-1/20000。因此，由投影归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的1/2，即相对误差为1/10000-1/40000,也就是说，每公里的长度改正数不应该大于10-2.5cm。4.4.3 工程测量投影带和投影面选择的基本出发点（1） 在满足工程测量上述精度要求的前提下，为使得测量结果的一测多用，这时应采用国家统一3带高斯平面直角坐标系，将观测值归算到参考椭球面上。在这种情况下，工程测量控制网要同国家测量系统相联系，使二者的测量成果相互利用。（2） 当边长的两次归算投影改正不能满足上述

44、要求时，为保证工程测量结果的直接利用和计算方便，可以采用任意带的独立高斯投影平面直角坐标系，归算测量结果的参考面可以自己选定。为此，可采用以下几种手段来实现：通过改变从而选择合适的高程参考面，将抵偿分带投影变形，这种方法通常称为抵偿投影面的高斯正形投影；通过改变，从而对中央子午线做适当移动，来抵偿由于高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形，这就是任意带高斯正形投影；通过既改变（选择高程参考面），又改变（移动中央子午线），来抵偿两项归算改正的变形，这就是具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影。4.4.4 工程测量中几种可能采用的坐标系目前，在工程测量中主要采用以下几种平面直角坐标系（1） 国家3带

45、高斯正形投影平面直角坐标系当测区平均高程在100m以下，不大于40km时，其投影变形值和，均小于2.5cm，可以满足大比例尺测图 和工程放样的精度要求。因此，在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地区，无需考虑投影变形问题，直接采用国家统一的3带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标系，使两者相一致。（2） 抵偿投影面的3带高斯正形投影平面直角坐标系在这种坐标系中，仍采用国家3带高斯投影，但投影的高程面不是参考椭球面，而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面。在这个高程参考面上，长度变形为0,当采用第一种坐标系时，有：且超过允许的精度要求（10-2.5）cm时我们可让=0，即于是

46、，当一定时，由上式可得：根据上式，就可以计算出使投影变形为零的投影面。（3） 任意带高斯正形投影平面直角坐标系在这种坐标系中，仍把地面观测结果归算到参考椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家3带的划分方法，而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线。这就是说，保持不变，于是求得：即选择与测区相距ykm的子午线为中央子午线，使两项改正数得到补偿。但在实际应用中，往往是选择过测区边缘，或测区中央，或测区内某一点的子午线为中央子午线，而不用通过计算求得。（4） 具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影直角坐标系在这种坐标系中，往往是指投影的中央子午线在测区中央，地面观测值归算到测区平

47、均高程面上，按高斯正形投影计算平面直角坐标。由此可见，这是综合第二、三两种坐标系长处的一种任意高斯直角坐标系。显然，这种坐标系更能有效的实现两种长度变形的补偿。（5） 假定平面直角坐标系当测区控制面积小于100km时，可不进行方向和距离改正，直接把局部地球表面作为平面建立独立的平面直角坐标系。这时，起算点坐标及起算方位角，最好能与国家网联系，如果联系有困难，可自行测定边长和方位角，起始点坐标可假定，这种坐标系只限于某种工程建筑施工之用。第五章 平面直角坐标的转换5.1 概述众所周知，坐标系之间的差异主要取决于坐标系的定位与定向、椭球参数以及坐标系的尺度定义。从原理上讲，严密的方法是将旧坐标的全

48、部观测资料重新归算到新坐标系中，重新平差计算出各点的新坐标。而近似法是在旧网原始观测数据不足或其他工程急需的情况下常采用的一种方法，采用近似方法进行新旧坐标转换必须有足够的新旧坐标控制点，根据重合点的差值，按一定的规律修正旧格网点的坐标值，使旧网与新网达到最佳的吻合。在工程测量中，由于测量的需要和方便，我们常常选用独立的施工坐标系，而为了测量成果的通用，以及以后控制点的重复利用，就必须把独立的坐标系与国家坐标系或地方坐标系联系起来，进行坐标转换。为了进行坐标转换，就需要一定数量的公共点，这些公共点应当具有这两个坐标系下的两套坐标值。下面介绍几种常用的坐标换算的数学模型，再分析影响坐标转换精度的

49、因素。5.2 常用的平面坐标的转换方法5.2.1 直接参数法 直接参数法就是根据两个公共点的坐标值，（）、（）、（）、（）求出坐标转换的平移参数、尺度因子、旋转参数，再利用坐标转换的公式即可实现坐标的转换。利用这种方法进行坐标转换的数学模型如下：由以上几式可得，平移参数为：尺度因子为：旋转参数为：则其他点（）的坐标转换公式为： 上述方法就是直接根据两个点的公共坐标求解转换参数，然后根据转换参数求得坐标增量的转换值，最后求出转换点在新坐标系下的坐标。这种方法适用于只有两个公共点的两套坐标系下的坐标的情况。对于公共点较多的情况（公共点的各数多于2个）则可采用最小二乘的方法，求得转换参数的最或然值，

50、然后尽享批量的坐标转换。5.2.2 相似变换法相似变换法，也就是所说的最小二乘转换的方法，这种方法根据多个公共点在两套坐标系下的坐标，根据最小二乘原则的条件，从而得出转换参数的最小二乘解，进行坐标转换。从理论上讲，而为坐标的转换可采用4参数模型，三维坐标可采用7参数模型。其中二维转换的4参数模型具体表述如下：设有某点在新坐标系中的坐标为（），在旧坐标系中的坐标为（），如下图所示。旧坐标系的原点在新坐标系中的坐标为（），为将旧网合理的配合到新网上，需要对旧坐标系加以平移、旋转和缩放，以保持旧网的形状不变。已知新旧坐标的坐标变换方程为：式中m为尺度比因子，即缩放参数，为旋转参数。令：则坐标变换方程

51、可化为：式中a,b,c,d为所求未知量，即平差参数。设两坐标系中有n个公共点，（）和（）。，令新坐标系的坐标为观测值，旧坐标系中的坐标设为无误差，则可列出误差方程为：或：求出转换参数以后，则可以求出所有点在新坐标系下的坐标：相似变换的特点是不变换旧网的几何形状，将旧网进行整体平移，旋转和尺度缩放配合到新坐标系中；其缺点是在公共点有间隙存在，而且间隙可能还比较大。5.2.3 多项式逼近法这种方法的基本思想是找一个函数，能够代表新坐标的值所在的函数，然后用这个函数进行旧坐标的转换。多项式逼近法在于选取多项式逼近待求的新坐标系统的变换函数，由多项式逼近任意连续函数时，从理论上讲，选择适当的多项式阶数

52、和系数，可以逼近到任意程度，并保证点与点之间一一对应的可逆连续变换的特性。设X、Y表示旧坐标系的坐标，x、y表示新坐标系的坐标，多项式变换的一般公式为：式中，为变换中心附近的一个原电坐标，是待定系数，求解待定系数至少需要6个公共点。若变换的区域较大、公共点较多，则可选用更高阶的多项式进行变换。若有m个公共点，可列出误差方程，用间接平差求解待定系数，误差方程如下：式中，若观测向量的坐标差彼此独立等精度，则可分别求的两个独立的法方程式：求的法方程阵系数完全一样，知识常数项中（X-x）换成（Y-y）即可。即求的方程为：最小二乘多项式拟合公共点经变换后坐标不再与固定坐标重合，而是保持公共点上的间隙的平

53、方和为最小。5.3 影响平面坐标转换的精度的因素已知公共点的精度对转换精度的影响：由于公共点坐标存在误差，使求得的转换参数也存在误差，用存在误差的转换参数作用于其他点，也必然会给转换结果带来误差。由误差传播律可得：所以，中各元素取决于公共点的分布及公共点在区域坐标系下的坐标精度。则任意一点P相应的转换方程为：则相应的坐标转换误差方差阵为：以上是公共已知点存在的误差对转换结果的精度的影响。公共点的数量和分布对转换精度的影响：为保证坐标转换的成果精度，公共点应均匀的分布在测区，同时转换点不要离公共点太远，公共点的个数以35个为宜，一般不超过6个。5.4 最小二乘法坐标转换程序设计利用最小二乘进行坐标转换的程序设计，其数学模型是以上第二种方法，即：由已知的公共点列