第十二章 动能定理.ppt

1、理论力学,东北大学理学院力学系 张英杰,PAG 2,综合运用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。,动量定理,动能定理,动量矩定理,用矢量法研究动力学问题,第十二章 动能定理,PAG 3,力的功,质点和质点系的动能,功率、功率方程、机械效率,动能定理,势力场 势能 机械能守恒定律,普遍定理的综合应用,第十二章 动能定理,PAG 4,（代数量）,常力在直线运动中的功,变力在曲线运动中的功,元功,力在全路程上作的功等于元功之和,12-1 力的功,一、功, 力在一段路程内所积累的效应,单位: J（焦耳）,1 J = 1 Nm,PAG 5,元功,作用力F 在质点从M1到M2的运动过程中

2、所作的功,12-1 力的功,一、功, 力在一段路程内所积累的效应,（代数量）,取固结于地面的直角坐标系为质点运动的参考系， 为三个坐标轴的单位矢量。,当力始终与质点位移垂直时,该力不作功,PAG 6,质点系,1、重力的功, 质心始末位置高度差,12-1 力的功,二、常见的功,重力作功只与运动始末位置有关,与运动轨迹形状无关,PAG 7,弹性力,2、弹性力的功,12-1 力的功,二、常见的功,弹簧刚度系数 k(N/m),PAG 8,弹性力的功,12-1 力的功,弹性力的功只与弹簧始末的变形量有关，而与力作用点 A 的轨迹形状无关。,12时，弹性力作正功； 12时，弹性力作负功。,2、弹性力的功,

3、二、常见的功,PAG 9,3、定轴转动刚体上作用力的功,12-1 力的功,二、常见的功,作用在刚体上的是力偶,Mz 力偶对转轴z之矩(等于力偶矩矢M在z轴上的投影),作用于转动刚体上力的功 = 力矩的功,PAG 10,4、平面运动刚体上力系的功,12-1 力的功,二、常见的功,力系元功,元功,力系向质心简化所得的主矢,力系向质心简化所得的主矩,PAG 11,4、平面运动刚体上力系的功,12-1 力的功,二、常见的功,平面运动刚体上力系所做的功等于刚体所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得主矢和主矩作功之和。,质心C由C1移到C2,且刚体转角由1到2,力系元功,力系所作的功,C点可以是刚

4、体上的任意一点，计算力系的主矢或主矩时,可不考虑不作功的力。,PAG 12,解:,例12-1 杆长l,质量m,弹簧原长l0,弹性系数k,把杆压在图示高度h,松手后杆达到竖直位置,求此时弹性力、重力所作的功。,A,O,A,12-1 力的功,PAG 13,单位：J（焦耳）,（标量，恒取正值）,12-2 质点和质点系的动能,一、质点的动能,质点的质量为m,速度为v,质点的动能,1 J = 1 Nm,PAG 14,12-2 质点和质点系的动能,二、质点系的动能, 质点系内各质点动能的算术和,1、平移刚体,（各质点速度相同,可以质心速度表示）,2、定轴转动刚体,PAG 15,12-2 质点和质点系的动能

5、,二、质点系的动能,3、平面运动刚体,平行轴定理,平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。,PAG 16,运动分析,构件动能,例12-2 某瞬时,重物A下降的速度为v1,匀质圆轮C在地面上只滚不滑,求此瞬时系统的动能。,12-2 质点和质点系的动能,或,系统动能,PAG 17, 质点动能定理的微分形式,12-3 动能定理,一、质点的动能定理,质点运动微分方程的矢量形式,方程两边点乘,质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。,元功, 质点动能定理的积分形式,质点在运动过程中动能的改变量等于作用于质点的力作的功。,PAG 18,12-3 动能定理,二、质点系的动能定理,质点动

6、能定理的微分形式,质点系内任一质点的质量为mi ，速度为 ，作用在该质点上的力为, 质点系动能定理的微分形式,质点系动能的增量等于作用于质点系全部力所作元功的和。, 质点系动能定理的积分形式,质点系在运动过程中，起点和终点的动能改变量等于作用于质点系的全部力在该过程中所作功的和。,PAG 19,12-3 动能定理,三、理想约束, 约束力作功等于零的约束,1、光滑面约束,2、固定铰支座、可动铰支座、向心轴承和固定端,3、联接刚体的光滑铰链（中间铰）,PAG 20,12-3 动能定理,三、理想约束,4、柔索约束（不可伸长的绳索）,5、刚性二力杆,柔索拉紧时，约束力作功之和恒等于零。,PAG 21,

7、12-3 动能定理,三、理想约束,6、其它,刚体沿固定表面只滚不滑(不计滚动摩阻),静滑动摩擦力作用点未动，不作功；,接触点为速度瞬心,固定面约束力垂直于力作用点的位移，不作功。,PAG 22,刚体内所有内力作功的和等于零。,12-3 动能定理,三、理想约束,6、其它,PAG 23,12-3 动能定理,三、理想约束,6、其它,质点系内力作功之和不一定等于零。,质点系由两个相互吸引的质点M1和M2组成,当两质点相互趋近或离开时，两力作功之和不为零。,PAG 24,12-3 动能定理,三、理想约束,应用质点系的动能定理，要根据具体情况分析所有的作用力，以确定它是否作功；理想约束的约束力不作功，而质

8、点系的内力作功之和并不一定等于零。,应用动能定理解题的步骤：, 选取某质点（或质点系）作为研究对象； 选定应用动能定理的一段过程； 分析质点系运动，计算所选过程起点和终点的动能； 分析作用于质点系的力，计算各力在选定过程中所 作的功，并求它们的代数和； 应用动能定理建立方程，求解未知量。,PAG 25,解: 取质点为研究对象, 应用质点动能定理,质点位置: , 运动和力分析,例12-3 质量为m的质点,自高处自由落到下面有弹簧支持的板上;不计板和弹簧的质量,弹簧的刚性系数为k，质点下落高度为h。求弹簧的最大压缩量max。, 在这段过程中重力作功, 动能,质点速度: 由0 v1,12-3 动能定

9、理,PAG 26,质点位置: ,应用动能定理,这段过程中重力作功,弹簧力作的功,质点速度: 由v1 0,12-3 动能定理,例12-3 质量为m的质点自高处自由落到有弹簧(刚性系数为k)支持的板上。不计板和弹簧的质量,求弹簧的最大压缩量。,PAG 27,解: 取质点为研究对象, 应用质点动能定理,质点位置: , 运动和力分析, 在这段过程中重力作功, 动能,质点速度: 0 0,弹簧力作的功,12-3 动能定理,例12-3 质量为m的质点自高处自由落到有弹簧(刚性系数为k)支持的板上。不计板和弹簧的质量,求弹簧的最大压缩量。,PAG 28,解: 取球为研究对象, 运动和力分析,球的运动：平面运动

10、,例12-4 Yo-yo球质量为70g,d=12mm,惯性半径C=14mm,球从位置以初角速度100rad/s上升,求Yo-yo球能上升的高度。,球的位置：,球质心的速度: 由vC 0, 动能,12-3 动能定理,A 点为速度瞬心,球的角速度: 由 0,PAG 29, 应用动能定理, 在这段过程中重力作功,12-3 动能定理,例12-4 Yo-yo球质量为70g,d=12mm,惯性半径C=14mm,球从位置以初角速度100rad/s上升,求Yo-yo球能上升的高度。,或,PAG 30,C,P,O,解: 取圆柱和鼓轮为研究对象, 运动和力分析,例12-5 卷扬机的鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿倾

11、角为的斜坡上拉,鼓轮半径R1,质量m1分布在轮缘上;圆柱半径R2,质量m2均布,系统由静止开始运动,圆柱只滚不滑,求圆柱中心C经过路程S时的速度和加速度。,圆柱速度: 由0 vC,圆柱位置:C经过路程S,12-3 动能定理, 系统动能,PAG 31, 在这段过程中力作的功, 应用质点系动能定理,12-3 动能定理,例12-5 鼓轮半径R1,质量m1分布在轮缘上,轮上作用一常力偶M;圆柱半径R2,质量m2均布,系统由静止开始运动,圆柱只滚不滑,求圆柱中心C经过路程S时的v和a。,求导上式,PAG 32,解: 取绞车和重物为研究对象, 运动和力分析,例12-6 绞车主动轴在恒力偶M作用下提升质量为

12、m的重物;主动轴,从动轴(包括轴上齿轮等附件)的转动惯量分别为 J1和J2,传动比i12=1/2;鼓轮半径为R,不计轴承摩擦和吊索质量。绞车开始静止,求当重物上升h时的速度和加速度。,重物速度v,以重物静止位置和上升高h处分别作为质点系运动的始点和终点。,12-3 动能定理, 系统动能,PAG 33,例12-6 轴在恒力偶M作用下提升质量为m的重物; 轴,轴的转动惯量分别为 J1和J2, i12=1/2;鼓轮半径为R。绞车开始静止,求重物上升h时的速度和加速度。,12-3 动能定理, 在这段过程中力作的功, 应用质点系动能定理,求导上式,PAG 34,解: 取摆锤为研究对象, 运动和力分析,

13、系统动能,摆锤速度：,摆锤的位置：, 这段过程中力作的功,12-3 动能定理,重力做功,例12-7 冲击试验机摆锤质量18kg,重心与转轴距离l= 840mm,不计杆重;试验开始时,将摆锤升高到摆角1=70o的地方释放,冲断试件后,摆锤上升的摆角2=29o,求冲断试件所需能量。,PAG 35, 应用质点系动能定理,重力做功,冲断试件消耗功,12-3 动能定理,例12-7 冲击试验机摆锤质量18kg,重心与转轴距离l= 840mm,不计杆重;试验开始时,将摆锤升高到摆角1=70o的地方释放,冲断试件后,摆锤上升的摆角2=29o,求冲断试件所需能量。,PAG 36,一、功率P, 单位时间内,力所作

14、的功,12-4 功率、功率方程、机械效率,功率的数学表达式,力的功率, 切向力与力作用点速度的乘积,转动刚体上力的功率, 力对转轴之矩与角速度的乘积,功率的单位：W（瓦特）或 kW（千瓦）,1W=1 J/s,力的元功,PAG 37,二、功率方程,12-4 功率、功率方程、机械效率,由质点系动能定理的微分形式:, 功率方程,质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。,工程实际中，,PAG 38,三、机械效率,12-4 功率、功率方程、机械效率, 度量机器对输入功率有效利用的程度,一般情况下机械效率1,多级传动系统:,PAG 39,12-4 功率、功率方程、机械效率,例1

15、2-8 车床电动机功率P输入=5.4kW,传动件间的摩擦使损耗功率为0.3P输入,如工件直径d=100mm,转速n=42r/min,求允许切削力Fmin？若工件转速n=112r/min,求允许切削力Fmax？,解:工件匀速转动,动能不变,设切削力为F,切削速度为v,PAG 40,12-4 功率、功率方程、机械效率,例12-9 物块质量为m,用轻质细绳跨过滑轮与不计质量的弹簧相连,弹簧原长l0 ,刚度系数k ;滑轮半径为R,转动惯量J,不计轴承摩擦,建立系统的运动微分方程？,功率,带入功率方程,解:以弹簧原长时为原点,动能,PAG 41,12-4 功率、功率方程、机械效率,设0为系统静止时弹簧的

16、伸长量,例12-9 物块质量为m,用轻质细绳跨过滑轮与不计质量的弹簧相连,弹簧原长l0 ,刚度系数k ;滑轮半径为R,转动惯量J,不计轴承摩擦,建立系统的运动微分方程？,PAG 42,一、势力场,12-5 势力场 势能 机械能守恒定律,物体在某空间内总受到大小、方向由所在位置确定的力的作用，这个空间即为力场。,有势力 在势力场中物体受到的力，也叫保守力。,若物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点初始和终了的位置有关，而与该点轨迹形状无关，这种力场为势力场，或保守力场。,重力场、太阳引力场,重力场、弹性力场、万有引力场,PAG 43,二、势能V,在势力场中，质点从点M运动到任选的点

17、M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。,零势能点：任选的势能为零的点（M0）,12-5 势力场 势能 机械能守恒定律,零势能点可任意选取，对于不同的零势能点，势力场中同一位置处的势能可能具有不同的数值。,PAG 44,1、重力场中的势能,零势能点：M0 点,点M处的势能,12-5 势力场 势能 机械能守恒定律,三、常见的势能,PAG 45,2、弹性力场中的势能,12-5 势力场 势能 机械能守恒定律,三、常见的势能,零势能点：变形量为0处(M0),变形量为处(M)的弹簧势能：,零势能点：弹簧自然位置处(M1),变形量为处(M)的弹簧势能,PAG 46,3、万有引力场中的势能,1

18、2-5 势力场 势能 机械能守恒定律,三、常见的势能,质量为m1的质点受质量为m2的物体的万有引力F 作用。,零势能点：点A0,质点在点A的势能：,f 引力常数,零势能点：在无穷远处,r1,质点系受多个有势力作用时，各有势力可以有各自的零势能点。,PAG 47,12-5 势力场 势能 机械能守恒定律,零势能点:弹簧原长O处；重力杆平衡位置,质量为m,长为l的匀质杆AB,A端铰支,B端由无重弹簧(刚度系数为k)拉住,并于水平位置平衡,此时弹簧伸长量为0 。求杆有微小摆角时,系统的势能。,总势能,零势能点:系统杆平衡位置,总势能,PAG 48,12-5 势力场 势能 机械能守恒定律,质点系在势力场

19、中运动,有势力的作用点从M1M2,有势力作功W12,零势能点：点M0,M1位置的势能,M2位置的势能,有势力的功与轨迹形状无关,有势力作功等于质点系在运动过程的初始位置与终了位置的势能差。,PAG 49,12-5 势力场 势能 机械能守恒定律,四、机械能守恒定律,由动能定理, 机械能守恒定律,质点系仅在有势力作用下运动时,其机械能守恒。,有势力的功,若系统运动过程中,只有有势力作功,机械能：质点系在某瞬时动能与势能的代数和。,PAG 50,应用机械能守恒定律解题的步骤：,12-5 势力场 势能 机械能守恒定律, 选取某质点或质点系为研究对象,分析研究对象所受 的力,所有作功的力都应为有势力；,

20、 确定运动过程的始、末位置；, 确定零势能位置,分别计算两位置的动能和势能；, 应用机械能守恒定律建立方程,求解未知量。,PAG 51,解: 取重物为研究对象,例12-11 钢索绕在匀速转动的鼓轮D上,重物质量m=250kg,以v = 0.5m/s匀速下降,求鼓轮突然被卡住后,钢索的最大张力。(钢索 k=3.35106N/m),鼓轮匀速转动时,重物处于平衡状态,钢索的张力,钢索伸长量,鼓轮被卡后,重物继续下降,当重物速度为零时,钢索张力最大。,12-5 势力场 势能 机械能守恒定律, 取运动过程的始、末位置,重物平衡位置钢索达到最大张力位置,PAG 52,12-5 势力场 势能 机械能守恒定律

21、, 取位置为重力和弹性力的零势能点,位置,位置, 应用机械能守恒定律,例12-11 钢索绕在匀速转动的鼓轮D上,重物质量m=250kg,以v = 0.5m/s匀速下降,求鼓轮突然被卡住后,钢索的最大张力。(钢索 k=3.35106N/m),PAG 53,例12-12 摆质量为m,质心为C,O端为光滑铰支,摆对O轴转动惯量为JO;摆在D处用刚度系数为k的弹簧悬挂,在铅直平面内摆动,摆杆在水平位置处平衡。设OD=CD=b,求摆从水平位置处以0向下作微幅摆动时,摆的角速度与角的关系。,12-5 势力场 势能 机械能守恒定律, 取水平位置为零势能位置,解: 取系统为研究对象, 取运动过程的始、末位置,

22、摆杆由水平位置任意位置,位置,位置, 应用机械能守恒定律,PAG 54,(不相交),2、在势力场中，势能相等的点构成等势能面,3、有势力方向垂直于等势能面,指向势能减小的方向。,12-5 势力场 势能 机械能守恒定律,五、势力场的其他性质,重力场中等势能面：水平平面,弹性力场中等势能面：以弹簧固定端为中心的球面,地球引力场中等势能面：以地心为中心的球面,1、有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对该坐标的偏导 数冠以符号。,PAG 55,1、质点系的动量定理, 动量定理的微分形式, 动量定理的积分形式, 动量定理的导数形式,质点系动量守恒定律,12-6 普遍定理的综合应用,PAG 56,2、质心运

23、动定理,质心运动守衡:,12-6 普遍定理的综合应用,PAG 57,3、动量矩定理,质点的动量矩定理：,质点系的动量矩定理：,12-6 普遍定理的综合应用,PAG 58,4、动量矩守恒定律,质点动量矩守恒定律：,质点系动量矩守恒定律：,12-6 普遍定理的综合应用,PAG 59,5、刚体绕定轴的转动微分方程,刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作刚体用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。,12-6 普遍定理的综合应用,6、质点系相对于质心的动量矩定理,质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。,PAG 60,7、刚体的平面运动微分方程,12-6 普遍定理的综

24、合应用,PAG 61,8、动能定理,质点系动能定理的微分形式：,质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作元功的和。,质点系动能定理的积分形式：,质点系在某段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。,12-6 普遍定理的综合应用,PAG 62,质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点系的所有力功率的代数和。,工程实际中,9、功率方程,12-6 普遍定理的综合应用,质点系仅在有势力的作用下运动时，其机械能守恒。,10、机械能守恒定律,PAG 63,12-6 普遍定理的综合应用,PAG 64,例12-13 半径为r,质量为m 的圆轮,受到轻微扰动后,

25、 在半径为R的圆弧上往复滚动,圆弧表面足够粗糙,以保证圆轮只滚不滑, 求圆轮质心C的运动规律。,解： 取圆轮为研究对象,画受力图, 取自然坐标系,运动分析, 列刚体平面运动微分方程,小扰动,12-6 普遍定理的综合应用,PAG 65, 由初始条件求积分常数,12-6 普遍定理的综合应用,例12-13 半径为r,质量为m 的圆轮,受到轻微扰动后,圆轮在半径为R的圆弧上往复滚动(只滚不滑), 求质心C的运动规律。,PAG 66,解: 取系统为研究对象, 圆轮在任一位置的动能,12-6 普遍定理的综合应用, 圆轮上力的功率, 由功率方程,小扰动,例12-13 圆轮半径为r,质量为m ,受轻微扰动后,

26、在半径为R的圆弧上往复滚动(只滚不滑), 求质心C的运动规律。,PAG 67,O 任一位置,解: 取系统为研究对象, 取运动过程的始,末位置, 取O处为重力场零势能点,12-6 普遍定理的综合应用,例12-13 圆轮半径为r,质量为m ,受轻微扰动后,在半径为R的圆弧上往复滚动(只滚不滑), 求质心C的运动规律。,小扰动, 由机械能守恒定律,PAG 68,例12-14 两均质轮及物块质量均为m ,两轮半径均为R ,轮C上缘绕一刚度系数为k的无重水平弹簧,轮与地面间无滑动。若在弹簧原长处自由释放重物,试求重物下降h时的速度,加速度以及轮与地面的摩擦力。,解: 取系统为研究对象, 运动和力分析,物

27、块位置:,物块速度: 由 0 v, 系统动能,12-6 普遍定理的综合应用,PAG 69,例12-14 两均质轮及物块质量均为m ,两轮半径均为R ,无重水平弹簧刚度系数为k,轮与地面间无滑动,在弹簧原长处自由释放重物,求重物下降h时的速度,加速度及轮与地面的摩擦力。,12-6 普遍定理的综合应用, 在这段过程中力作的功, 应用质点系动能定理,求导上式,PAG 70,例12-14 两均质轮及物块质量均为m ,两轮半径均为R , 无重水平弹簧刚度系数为k,轮与地面间无滑动,在弹簧原长处自由释放重物,求重物下降h时的速度,加速度及轮与地面的摩擦力.,12-6 普遍定理的综合应用, 取轮C为研究对象

28、,刚体相对于质心的动量矩定理,C,或 刚体的平面运动微分方程,PAG 71,例12-15 均质细杆长为l,质量为m,静止直立于光滑水平面上,当杆受微小干扰而倒下时,求杆刚到地面时的和地面约束力.,解: 取均质细杆为研究对象, 运动和力分析,杆的位置:,质心速度:由 0 vC,杆的角速度:由 0 ,A 端速度:由 0 vA,P :杆的瞬心,12-6 普遍定理的综合应用,静止A端左滑角, 系统动能, 在这段过程中力作的功,PAG 72,例12-15 均质细杆长为l,质量为m,静止直立于光滑水平面上,当杆受微小干扰而倒下时,求杆刚到地面时的和地面约束力.,12-6 普遍定理的综合应用, 应用质点系动

29、能定理, 对均质细杆刚到地面时进行受力分析, 运动分析,(以A为基点),沿铅垂方向投影得, 列刚体平面运动微分方程,PAG 73,例12-16 A,B质量为m,匀质轮C,D质量均为2m,半径为R;轮C铰接在长为3R的无重梁CK上,绳与轮间无滑动,系统由静止开始运动。求A上升的a ;HE 段绳的拉力;固定端K 处约束力。,解: 取系统为研究对象, 运动和力分析,A的位置:,A的速度:由 0 v,12-6 普遍定理的综合应用, 系统动能, 在这段过程中力作的功,PAG 74,例12-16 A,B质量为m,匀质轮C,D质量均为2m,半径为R;轮C铰接在长为3R的无重梁CK上,绳与轮间无滑动,系统由静

30、止开始运动。求A上升的a ;HE 段绳的拉力;固定端K 处约束力。,12-6 普遍定理的综合应用, 应用质点系动能定理, 取轮C,物块A为研究对象,受力分析,A,H,E,C, 由质点系对C轴的动量矩定理求解,质点系对C轴的动量矩,外力对C轴之矩,PAG 75,例12-16 A,B质量为m,匀质轮C,D质量均为2m,半径为R;轮C铰接在长为3R的无重梁CK上,绳与轮间无滑动,系统由静止开始运动。求A上升的a ;HE 段绳的拉力;固定端K 处约束力。,12-6 普遍定理的综合应用, 由动量定理得, 取杆KC为研究对象,受力分析,PAG 76,例12-17 已知轮I半径r,质量m1,作用力偶M;轮半

31、径R=2r,质量m2;轮半径r,质量m3;压力角(齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角)为20,物块质量mA,系统初始静止,不计摩擦力,求物块A上升h时,O1、O2处的约束力。,12-6 普遍定理的综合应用,解: 取系统为研究对象, 运动分析,A的位置:12,A的速度:由 0 vA, 系统动能, 在这段过程中力作的功,PAG 77,例12-17 轮I:r, m1,作用力偶M ;轮:R=2r, m2;轮:r, m3; 压力角为20,物块质量mA,系统初始静止,不计摩擦力,求物块A上升h时,O1、O2处的约束力。,12-6 普遍定理的综合应用, 应用质点系动能定理,求导,或 由功率方程求物块加速度,

32、PAG 78,例12-17 轮I:r, m1,作用力偶M ;轮:R=2r, m2;轮:r, m3; 压力角为20,物块质量mA,系统初始静止,不计摩擦力,求物块A上升h时,O1、O2处的约束力。,12-6 普遍定理的综合应用, 研究I轮,压力角为20,PAG 79,例12-17 轮I:r, m1,作用力偶M ;轮:R=2r, m2;轮:r, m3; 压力角为20,物块质量mA,系统初始静止,不计摩擦力,求物块A上升h时,O1、O2处的约束力。,12-6 普遍定理的综合应用, 研究、轮, 研究物块A,PAG 80,例12-18 已知圆轮半径R,质量m,由刚度系数为k的弹簧拉住圆心C绕轴O转动,C

33、A=2R为弹簧原长,M为常力偶,求圆心C无初速度由最低点到达最高点时,O处约束力。,12-6 普遍定理的综合应用,解: 取圆轮为研究对象, 运动分析,圆轮的位置:最低点最高点,圆轮的速度:由 0 , 系统动能, 在这段过程中力作的功,PAG 81,例12-18 已知圆轮半径R,质量m,由刚度系数为k的弹簧拉住圆心C绕轴O转动,CA=2R为弹簧原长,M为常力偶,求圆心C无初速度由最低点到达最高点时,O处约束力。,12-6 普遍定理的综合应用, 应用质点系动能定理,能否求导计算角加速度, 列刚体定轴转动微分方程,PAG 82,例12-18 已知圆轮半径R,质量m,由刚度系数为k的弹簧拉住圆心C绕轴

34、O转动,CA=2R为弹簧原长,M为常力偶,求圆心C无初速度由最低点到达最高点时,O处约束力。,12-6 普遍定理的综合应用, 由质心运动定理得,PAG 83,例12-19 已知均质杆AB长度为l,质量为m,初始铅直静止,无摩擦。求: B端未脱离墙,摆至角位置时的,及墙角约束力; B端脱离瞬间的1 ; 杆着地时的vC及2 。,12-6 普遍定理的综合应用,解: 取杆为研究对象, 运动分析,杆的位置:铅直摆至角 杆的角速度:由 0 杆的角加速度:由 0 , 系统动能, 在这段过程中力作的功,PAG 84,12-6 普遍定理的综合应用, 应用质点系动能定理,求导计算角加速度,例12-19 已知均质杆

35、AB长度为l,质量为m,初始铅直静止,无摩擦。求: B端未脱离墙,摆至角位置时的,及墙角约束力; B端脱离瞬间的1 ; 杆着地时的vC及2 。,PAG 85,12-6 普遍定理的综合应用, 由质心运动定理得,例12-19 已知均质杆AB长度为l,质量为m,初始铅直静止,无摩擦。求: B端未脱离墙,摆至角位置时的,及墙角约束力; B端脱离瞬间的1 ; 杆着地时的vC及2 。, 脱离瞬间,PAG 86,12-6 普遍定理的综合应用, 脱离后,杆水平方向动量守恒,脱离瞬间,杆着地时(AC水平),以B点为基点,向铅直方向投影,例12-19 已知均质杆AB长度为l,质量为m,初始铅直静止,无摩擦。求:

36、B端未脱离墙,摆至角位置时的,及墙角约束力; B端脱离瞬间的1 ; 杆着地时的vC及2 。,PAG 87,12-6 普遍定理的综合应用, 在铅直水平的过程应用动能定理,例12-19 已知均质杆AB长度为l,质量为m,初始铅直静止,无摩擦。求: B端未脱离墙,摆至角位置时的,及墙角约束力; B端脱离瞬间的1 ; 杆着地时的vC及2 。,PAG 88,例12-20 质量为m1的三棱柱ABC放在光滑水平面上,质量为m2的均质圆柱体O由静止沿AB向下只滚不滑,若斜面倾角为,求三棱柱体的加速度。,12-6 普遍定理的综合应用,解: 取系统为研究对象, 运动和受力分析, 取O点为动点,动系在三棱柱上,三棱

37、柱平移:0v1,大小 方向,? ?, ,？ ,由点的速度合成定理求解,圆柱体平面运动:只滚不滑,PAG 89,12-6 普遍定理的综合应用, 在水平方向应用动量守恒定理,例12-20 质量为m1的三棱柱ABC放在光滑水平面上,质量为m2的均质圆柱体O由静止沿AB向下只滚不滑,若斜面倾角为,求三棱柱体的加速度。, 应用质点系动能定理,PAG 90,12-6 普遍定理的综合应用,例12-20 质量为m1的三棱柱ABC放在光滑水平面上,质量为m2的均质圆柱体O由静止沿AB向下只滚不滑,若斜面倾角为,求三棱柱体的加速度。,圆柱重力作功,求导上式,PAG 91,作业：3、7、9 23、26、28,第十二

38、章 动能定理,PAG 92,（J/焦耳）,1、力的功,重力的功,弹性力的功,定轴转动刚体上作用力的功,平面运动刚体上力系的功,第十二章 动能定理,PAG 93,平移刚体,定轴转动刚体,平面运动刚体,（J/焦耳）,2、质点和质点系的动能,第十二章 动能定理,PAG 94,3、动能定理,质点系动能定理的微分形式：,质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作元功的和。,质点系动能定理的积分形式：,质点系在某段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。,第十二章 动能定理,PAG 95,应用动能定理解题的步骤：, 选取某质点（或质点系）作为研究对象； 选定应

39、用动能定理的一段过程； 分析质点系运动，计算选定过程的起点和终点的动能； 分析作用于质点系的力，计算各力在选定过程中所作 的功，并求它们的代数和； 应用动能定理建立方程，求解未知量。,3、动能定理,第十二章 动能定理,PAG 96,4、理想约束, 约束力作功等于零, 光滑面约束； 固定铰支座、可动铰支座、向心轴承和固定端； 联接刚体的光滑铰链（中间铰）； 柔索约束（不可伸长的绳索）； 刚性二力杆。,刚体沿固定表面只滚不滑(不计滚动摩阻)，约束力不作功； 刚体内所有内力作功的和等于零，质点系内力作功之和不一定等于零。,第十二章 动能定理,PAG 97, 单位时间内力所作的功,力的功率,切向力与力作用点速度的乘积,作用在转动刚体上力的功率,力对转轴的矩与角速度的乘积,功