第三节 中心极限定理.ppt

1、第五章 大数定律和中心极限定理,5.3 中心极限定理,大数定律揭示了大量随机变量的算术平均值 在一定条件下具有某种稳定性这一重要规律。 而在概率论中还有一类重要的极限定理，它是 解决在什么条件下，大量独立的随机变量的和 的分布是以正态分布为极限分布。,如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限.,列维一林德伯格（LevyLindberg）定理.,它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的

2、r.v之和近似服从正态分布.,定理1（独立同分布下的中心极限定理）,设1, 2, 是独立同分布的随机变量序列，且E(i)= ，D(i)= 2 ，i=1,2,，则,例1、 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,由题 设知，各 i 独立，,16只元件的寿命的总和为,解: 设第i只元件的寿命为 i , i=1,2, ,16,E( i)=100, D( i)=10000,依题意，所求为P(1920),由于E() = 1600,D() = 160000,由中心极限定理,近似N(0

3、,1),P( 1920)=1-P( 1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,=1-,定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）,设随机变量n(n=1,2, ) 服从参数为n,p (0p1)的二项分布,(De Moivre-Laplace),定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量的分布近似正态分布 N(np,np(1-p).,则对任意x，恒有,q=1-p,由定理1有结论成立。,推论：,设随机变量 n(n=1,2, ) 服从参数为 n , p (0p1) 的二项分布,说明：这个公式给出了n 较大时二项分布 的概率 计算方法。,当 n

4、充分大时有：,例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 （1） 写出X的概率分布 （2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户 且不多于30户的概率的近似值,(2) np=20 npq=16 P14X30,=(5/2)-(-3/2) =0.9937-1+0.9331=0.9268,解: (1) XB(100 , 0.2),例3 P170某单位有1000台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证分机用外线时不等待？,解：设有部分机同时使用外线，则有,设有N条外线。由题意有,由德莫佛-拉普拉斯定理有,用频率估计概率时误差的估计：,由上面的定理知,用这个关系式可解决许多计算问题。,第一类问题是已知 求概率,第二类问题是要使,问最少应做多,少次试验？这时只需求满足下式的最小的n,第三类问题是已知,例4现有一批种子，其中良种占1/6。今任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6