数学物理方程(谷超豪) 第三章 调和方程习题解答_第1页
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1、第三章第三章调整和方程1创建方程确定解条件1 (其中,(21 rfxxu n=l ) (其中,221n xxr=l是n维调和函数)。 测试证明221 ) (=NRC CRF )2(nrinccrf1) (21=)2(=n中的21,c是常数。 证书: ) (rfu=,rxrfxrrfxuiii=()(322)(1) (),rxrfrfrfxrfxuii=31222 ) ()。 (rxrfrnrfrxrfxunininii=) (1) (rfr NRF=即方程式0=u化为0)(1)(=rfrnrfrnrfrf1)(=)。 积分是121 ) (如果crna rfn=2n,则是22 ) (=如果NRC

2、 CRF是2=n,则是r A rf 1 )(=如果InrAcrf 11 )(=如果2=n,则是rinccrf 110 sin1) (sins in1) (12222=ururrurru证明:球面(zyx的关系: cossinrx=,能够写成sinssin的cosrz=(3)把22 zuyu uuu=作为变量的置换,首先,如果设sinr=,那么变换(1)就分为2个阶段,cos=x,sin=y (2) sinr=,cos=x 单音符号(2=单音符号)单音符号(sin ),单音符号(2=单音符号)单音符号(4) 单一操作系统(cos=uuu=2222单一操作系统sin 2单一操作系统sin2)单一操

3、作系统sin (22 )单一操作系统sin (cos ) 对于cossin (sin=uuuu=uuu 2222 cossin2cosco ssin2sin ),可以再次使用等式(3)将2 2 2 2 z uu转换为uuyuxu 112222222 (5)=uuz uzuyuxu 112222222。 这也可以直接使用等式(5),并且其可以获得等式(4) rururuzuu=112222重用。 r u r uu cos sin =所以,cossin (sin1sin 112222222 rururururuuyuu=uctgrurururu 2222 rurururururuuruu 222

4、)。 22 2 22 2 12 sin 11或0 sin1(sins in1) (122222=ururrurru 3证明加号运算符在柱坐标中)、(在zr中可写为2221 ) (1zurrurru=证明:柱坐标)、(zr和垂直角坐标)、(zyx之间的关系cosrx=zz=利用上问题结果为rururruyuxu=112222221)(1=ururrr为22221 )。 (1zuururrru=4.以下的函数证明是调和函数(1)cbyax (a,b,c是常数) :如果设cbyaxu =,显然是02=xu.02=y,所以0=u。 当设调和函数为xyv2=时,u变为02=xv02=yv。 所以0=v。

5、 使v为调和函数(3) 3223 33yyxxyx和证: 23 3xyxu=、62xxu=、62xyu=为0=u、u为调和函数。 32 3yyxv=、62yxv=yyv62=。 因此,0=v和v是调和函数。(4) )(cossin ), cos、sin是常数和nnxchnynxchnynxshnynxshny证明: shnynshnyyy2(=chnynchnyy2) (=nnxnxxsin ) (sin2=coxnxnxx2) () sin (=nxs hny,因此与调和函数nxshnysin相同指令1 ) cos (=ychxychxxu 221 ) cos (=ychxshxu 221

6、) cos (=yyn cos (2cos ) cos (322 ychxychxyshxychxxu=) cos cos (23 yshxchxyshxcoxychx=2) cos (sin=) cos (2) cos (sin=) cosco scos () cos (23 yshxchxyshxchxychx=) sin 22 cos2() cos (22322 yshxxxxxx 操作系统(sin=ychxyv命令2 )操作系统(sin=ychxyshxvyxshychxxvsin )操作系统(sin=ychxyshychxxvsin )操作系统(223 ychxychyxshychx

7、=221 )操作系统(sin 是指cos (2ychxychx=) cos (sin 322 ychxychxychxyu=) sin2cos sins in2() cos (23 xychychxychx=) sin2sin2() cos (2222 ) (5)。 以证明极坐标表示的以下函数满足调和方程(1)和rln证:为了调和函数问题,第uru,1,ln=; 因此,0、0、0、222=vrv011222=vrrvrrvu(2)是常数和nnr nn (简单证明: nru n cos=nnr r u n cos 1=nrnn r u n cos )。 1(22=nrnuncos22=因此0co

8、s) 1(2222=nrnnrrnnu nnn命令nrvnsin=0sin )1(2222=nrnnrrnnvnnn () cossincoslnrrrr和cossinlnrrr证书:sincoslnrrru=.sincos2coslncossinsinln.cos 1单一版本1 (ln22 rrrrurrurururu=0单一版本2 cosln 1单一版本) 1(ln1cos1=rrrrrrru命令cossinlnrrrv=cossin )2(ln1cossin )1(ln.222 rrrvrrrrvrrv=.0 cossin )2(ln1cossin ) 1(ln1sin1=RRRRRRv6.用分离变量法求出以下调和方程式的第一边界问题中所述的矩形平板) 0, 0byax (以上的稳定温度分布:=.0 )、()0(0 2 2 2 2 bxu a x xu yauyu y u x u解:令)、(yYxXyxu=代入方程式、=Y Y xX xX ) )、()0(yau yuyu取得0 ) () 0(=aXX这个取得边值问题=0)()0(0axxxx在第一章讨论中知道,但是2 )(a n n=的情况下,由于有上述

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