高中数学211椭圆及其标准方程教案新人教A版选修

1、2 21.11.1椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 (教师用书独具) 三维目标 1.知识与技能 (1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程； (2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程 2过程与方法 (1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结 合的思想； (2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力 3情感、态度与价值观 (1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积 极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神； (2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美、

2、几何图形的对称美，提高 学生的审美情趣 重点、难点 重点：椭圆定义及其标准方程 难点：椭圆标准方程的推导过程 椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的， 揭示了椭圆的本质属性， 也是椭圆方程建立 的基石 这给学生提供动手操作、 合作学习的机会， 通过实例使学生去探究椭圆的形成过程， 进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破 (教师用书独具) 教学建议 本节课宜采取的教学方法是“问题诱导启发讨论探索结果”以及“直观观察归 纳抽象总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合引导学生学 习方式发生转变，采用“激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究”的学习方式，形成

3、师 生互动的教学氛围 学法方面， 通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程， 从而启发椭圆的定义及椭圆的标 准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用； 通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程， 指 导学生进一步理解数形结合思想， 产生主动运用的意识； 通过揭示因椭圆位置的不确定性所 引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导 教学流程 创设问题情境，引出问题：按问题要求画出什么样的图形？ 引导学生共同画图，观察、分析画出的图形的特点与满足的要求，引出椭圆定义. 通过观察椭圆的形状，结合定义，引导学生求出椭圆的标准方程，理解参数a，b，c的意义. 通过例1及其变式训练，使学生理解椭圆的定义，学会使用定义

4、解决问题. 通过例2及其互动探究，使学生掌握用待定系数法求椭圆方程. 探究求与椭圆有关的轨迹方程的方法，完成例3、例4及其变式训练，从而解决如何求轨迹方程问题. 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识. 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正. (对应学生用书第 19 页) 1.掌握椭圆的定义会用待定系数法求椭圆的标准方程(重 课标解读点) 2了解椭圆标准方程的推导、坐标法的应用(难点) 椭圆的定义 【问题导思】 1取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子， 移动笔尖，这时能在图板上画出一个圆 如果把细绳的两端拉开一段距离， 分别固定在图板的两点处(

5、如图)套上铅笔， 拉紧绳子， 移动笔尖，画出什么样的一个图形？ 【提示】椭圆 2在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？ 【提示】笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长 把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这 两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 【问题导思】 椭圆的标准方程 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？ 【提示】以椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴，线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建 系 标准 方程 焦点 焦点在x轴上焦点在y轴上 x2y2 1(

6、ab0) a2b2 (c,0)与(c,0) y2x2 1(ab0) a2b2 (0，c)与(0，c) a，b，c 的关系 c2a2b2 (对应学生用书第 20 页) 椭圆定义的理解及简单应用 (1)已知F1(4,0)，F2(4,0)，则到F1、F2两点的距离之和等于 8 的点 的轨迹是_； (2)椭圆1 的两焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于A、B两点，则ABF 1 1625 的周长为_ 【思路探究】(1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求ABF 1 的周长？ 【自主解答】(1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨 迹是线段F1F2. (2)由椭

7、圆的定义，|AF1|AF2|2a，|BF1|BF1|2a， |AF1|BF1|AF2|BF2|AF1|BF 1|AB|4a20， ABF 1 的周长为 20. 【答案】(1)线段F1F2(2)20 1 定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据， 根据椭圆的定义可知， 集合PM|MF 1| |MF2|2a，|F1F2|2c，a0，c0，且a、c为常数 当ac时，集合P为椭圆上点的集合； 当ac时，集合P为线段上点的集合； 当ac时，集合P为空集 因此，只有|F1F2|2a时，动点M的轨迹才是椭圆 2注意定义的双向运用，即若|PF 1|PF2|2a(a|F1F2|)，则点 P的轨迹为椭圆；反 之，椭

8、圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a. x2y2 椭圆 1 上的一点M到左焦点F1的距离为 2，N是MF1的中点，则|ON|等于() 259 A2 C8 B4 3 D.2 x2y2 1 【解析】如图，F2为椭圆右焦点，连MF 2，则 ON是F 1MF2 的中位线，|ON| |MF2|， 2 又|MF1|2，|MF 1|MF2|2a10， |MF2|8，|ON|4. 【答案】B 求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)两焦点坐标分别为(4,0)和(4,0)且过点(5,0)； (2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点 【思路探究】 (1)焦点的位置确定了吗

9、？怎样求出标准方程？(2)焦点位置不确定时该 怎么办？有没有简便的求解方法？ 【自主解答】(1)椭圆的焦点在x轴上， x2y2 设它的标准方程为 221(ab0)，ab 2a54 2 22 54 2 210， a5.又c4，bac25169， 故所求椭圆的标准方程为 1. 259 (2)法一当椭圆的焦点在x轴上时， x2y2 x2y2 设所求椭圆的方程为 221(ab0)ab 椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， 40 ab1， 01 ab1. 22 22 a2， 则 b1. 所求椭圆的方程为： y1； 4 当椭圆的焦点在y轴上时， x2 2 y2x2 设方程为 221(ab0)ab 椭圆经过

10、两点(2,0)，(0,1)， 04 ab1， 10 ab1. 22 22 a1， 则 b2. 与ab矛盾，故舍去 综上可知，所求椭圆的标准方程为 y1. 4 法二设椭圆方程为mxny1(m0，n0，mn) 椭圆过(2,0)和(0,1)两点， 4m1， n1， 22 x2 2 1 m ， 4 n1， x2 综上可知，所求椭圆方程为 y1. 4 2 1求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法， 即先由条件确定焦点位置， 设出方程， 再设法求出a、b代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量 2当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mxny1(mn，m0，n0)因为它包 括焦点在x轴上(mn)和焦点在y轴

11、上(mn)两类情况， 所以可以避免分类讨论， 从而达到 了简化运算的目的 22 22 本例(2)若改为“经过(2 3，1)和( 3，2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标 准方程 【解】设椭圆的标准方程为mxny1 (m0，n0，mn)， 12mn1， 将点(2 3，1)，( 3，2)代入上述方程得 3m4n1， 22 1 m， 15 解得 1 n 5， 故所求椭圆的标准方程为 1. 155 x2y2 22 求与椭圆有关的轨迹方程 已知圆xy9， 从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP， 垂足 为P，点M在PP上，并且PM2MP，求点M的轨迹 【思路探究】设动点Mx，y，Px0，y0找M，P的

12、关系 用点M坐标表示点P坐标 代入圆方程 得点M轨迹 【自主解答】设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0 x，y03y. P(x0，y0)在圆xy9 上， x0y09. 将x0 x，y03y代入得x9y9，即 y1. 9 点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆 y1. 9 1转代法(即相关点法)求轨迹方程： 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的， 只要把所求动点坐标 “转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称作“转代 法” 2用转代法求轨迹方程大致步骤是： (1)设所求轨迹上的动点P(x，y)，再设具有某种运动规律f(x，y)0 上

13、的动点Q(x， 22 22 22 x2 2 x2 2 y)； (2)找出P、Q之间坐标的关系，并表示为 x1 y2 x，y， x，y； (3)将x，y代入f(x，y)0，即得所求轨迹方程 设A、B是椭圆1 与x轴的左、右两个交点，P是椭圆上一个动点，试求AP中 2516 x2y2 点M的轨迹方程 x5 x 2 ， 【解】 设P(x，y)，AP的中点M(x，y)， 则 y y 2 ， 0 00 0 x02x5， 即 y02y， 代入椭圆方程1， 2516 2 2x5y2 得 1， 254 所以AP中点M的轨迹方程是 2x5 25 2 x2y2 1. 4 y2 已知B、C是两个定点，|BC|8，且

14、ABC的周长为 18，求这个三角 形顶点A的轨迹方程 【思路探究】(1)解答本题时如何建系更简单？(2)由ABC的周长为 18 能否得到A 到B、C的距离之和为定值？这满足椭圆的定义吗？ 【自主解答】以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐 标系 由|BC|8，可知点B(4,0)，C(4,0) 由|AB|BC|AC|18， 得|AB|AC|10|BC|8. 因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为 2a10，即a5，且点A不能在x轴上 由a5，c4，得b9. 所以点A的轨迹方程为 1(y0) 259 1本题紧扣椭圆的定义求得了顶点A的

15、轨迹方程，解答时不要漏掉y0 这一条件 2用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合 椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可 2 x2y2 11 22 已知A( ，0)，B是圆F：(x ) y4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线 22 交BF于P点，则动点P的轨迹方程为_ 【解析】如图，依题意知|PA|PB|，所以|PA|PF|PB|PF|BF|2，所 11y 2 以点P的轨迹为以A( ，0)，F( ，0)为焦点的椭圆，其方程可设为x 21，又因为 c 22b 134 22222 ，a1，所以bac ，从而所求的动点P的轨迹方程为xy1. 2

16、43 4 22 【答案】xy1 3 2 (对应学生用书第 21 页) 忽略椭圆标准方程中ab0 的条件致误 x2y2 方程 2mm1 围 21 表示焦点在 y轴上的椭圆，求实数m的取值范 x2y2 【错解】方程 2mm121 表示焦点在 y轴上的椭圆，则m(m1) ，解得m 22 11 ，所以实数m的取值范围是(， ) 22 【错因分析】错解只注意了焦点在y轴上，而没有考虑m0 且(m1) 0，这是经 常出现的一种错误，解题时要注意 22 x2y2 【防范措施】椭圆的焦点在x轴上时，其方程为 221(ab0)，焦点在 y轴上 ab y2x2 时，其方程为 221(ab0)，应用时一定要注意条件

17、 ab0，否则极易将焦点位置 ab 弄错 m0， 22 xy m1 20， 【正解】方程 221 表示焦点在 y轴上的椭圆，则 mm1 m12m2， m0， m1， 解得 1 m . 2 2 1 故实数m的取值范围是(，0)(0， ) 2 1熟悉椭圆定义、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所 运用的数学思想方法，以达到优化解题思路、 简化解题过程的目的，但切忌只想不算， 形成 解题思路后，一定要动手计算，没有形成结论就不应该停手 2在运用椭圆的定义解题时，一定要注意隐含条件ac. 3注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系 4求椭圆的标准方程常用的方法是定义法

18、和待定系数法 (对应学生用书第 22 页) 1 设P是椭圆1 上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点， 则|PF1|PF2|等于() 2516 A10 B8 C5 D4 【解析】由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a2510. 【答案】A 2椭圆1 的焦点坐标是() 1625 A(4,0) C(3,0) B(0，4) D(0，3) x2y2 x2y2 【解析】 a25，b16 且焦点在y轴上， c3， 焦点坐标为F1(0， 3)，F2(0,3) 【答案】D 3一椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距 离之和为 20，则此椭圆的标准方程为() A. C.

19、1 10036 1 10036 222 22 x2 y2 y2 x2 B. D. 1 400336 1 2012 y2x2 y2x2 【解析】由题意c8，a10 且焦点在y轴上，bac1006436，方程 为1. 10036 【答案】C 4已知一椭圆标准方程中b3，c4，求此椭圆的标准方程 【解】b9，c16，abc25. 此椭圆的焦点不确定， 22222 y2x2 标准方程为 1 或 1. 259259 x2y2y2x2 (对应学生用书第 89 页) 一、选择题 1已知平面内两定点A，B及动点P，设命题甲是：“|PA|PB|是定值”，命题乙是： “点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆”，那么甲是

20、乙的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 条件 【解析】由椭圆定义知甲/ 乙，但乙甲，故甲是乙的必要不充分条件 【答案】B D既不充分也不必要 x2y2 2 设椭圆 22 1(m1)上一点P到其左、 右焦点的距离分别为3和1， 则m() mm1 A6 B3 C2 D4 【解析】由题意椭圆焦点在x轴上，则 2m314，m2. 【答案】C 3 设P是椭圆1 上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为 2， 则PF1F2是() 1612 A锐角三角形 C钝角三角形 B直角三角形 D等腰直角三角形 x2y2 【解析】由椭圆定义知|PF1|PF2|2a8，不妨设|PF1|PF2|，|PF1|

21、PF2| 2，|PF 1|5，|PF2|3，又|F1F2|2c4，PF1F2 为直角三角形 【答案】B x2y2 4若方程 2 1 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是() aa6 Aa3 Ca3 或a2 2 a a6， 【解析】椭圆的焦点在x轴上， a60， 2 Ba2 Da3 或6a a3 或6a2. 【答案】D x2y2 5(2013天水高二检测)设集合A1,2,3,4，m、nA，则方程 1 表示焦点 mn 在x轴上椭圆的个数是() A6B8 C12 【解析】椭圆焦点在x轴上，mn，因此，当m4 时，n1,2,3；当m3 时， n1,2；当m2 时，n1，共 6 种情况 【答案】

22、A 二、填空题 x2 2 6若方程 ay1 表示椭圆，则实数a应满足的条件是_ a a0， xy 【解析】将方程化为 1，此方程表示椭圆须满足：1 a1 a ， a a 22 解得a0 且 a1. 【答案】a0 且a1 7已知椭圆1 的焦点在y轴上，且焦距为 4，则实数m_. 10mm2 x2y2 4 2 【解析】由题意，焦点在y轴上，焦距为4，则有m2(10m)( ) ，解得m8. 2 【答案】8 图 211 8 (2013临沂高二检测)如图 211 所示， 一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点， M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于 点P，则

23、点P的轨迹是_ 【解析】 折叠后的M与F重合， |PM|PF|， 又|PM|PO|r， |PF|PO| r|OF|，故点P的轨迹是以O、F为焦点的椭圆 【答案】椭圆 三、解答题 9求符合下列条件的椭圆的标准方程 (1)过点A( 62 2 ， 3)和B(，1)的椭圆 33 (2)过点(3,2)且与 1 有相同焦点的椭圆 94 【解】(1)设所求椭圆方程为mxny1(m0，n0，mn) 椭圆过点A( 62 2 ， 3)和B(，1)， 33 2 22 x2y2 m m 6 3 2 2 3 n 22 3 21， n1 1， 1 解得m1，n . 9 所求椭圆的标准方程为x 1. 9 (2)已知椭圆 1 中a3，b2，且焦点在x轴上，c945. 94 2 y2 x2y2 2 x2y2 设所求椭圆方程为 22 1. aa5 点(3,2)在所求椭圆上， 94 22 1. aa5 a15. 所求椭圆方程为1. 1510 10已知椭圆 1 的焦点为F1、F2，P是该椭圆上一点，且|PF 1|4，求： 92 (1)|PF 2|的值； (2)F1PF2的大小 【解】由题意知：a3，b2，cab 7. (1)由椭圆定义知|PF 1|PF2|2a6. |PF1|4，|PF2|2. (2)|F1F2|2c2 7，由余弦定理： 2 4 2