高中数学322复数代数形式的乘除运算教案新人教A版选修

1、3.2.23.2.2复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 (教师用书独具) 三维目标 1知识与技能 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念 2过程与方法 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题， 通过运算过程体会这一变形本质意 图 3情感、态度与价值观 利用多项式除法和复数除法类比， 知道事物之间是普遍联系的 通过复数除法运算，培 养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力 重点难点 重点：复数代数形式的乘除法运算 难点：复数除法法则的运用 (教师用书独具) 教学建议 建议本节教学采用自学指导法， 在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完 成本节教

2、学：(1)类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则 (2)归纳推理 法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识， 通过归纳类比，推导复 数除法法则(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观 化，以突破教学难点 教学流程 创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运 算让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则， 及其满足的运算律引导学生分析例题 1 的运算方法并求解， 教师只需指导完善，解答疑 惑并要求学生独立完成变式训练由学生分组探究例题 2 解法，引导学生去发现 i 运算 的

3、周期性，及其应用方法完成互动探究 完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法并进行反馈矫正 归纳整理，进行课 堂小结，整体认识本节所学知识， 强调重点内容和规律方法 学生自主完成例题 3 变式训 练，老师抽查完成情况， 对出现问题及时指导通过易错辨析纠正运算中出现的错误 让 学生自主分析例题 3， 老师适当点拨解题思路， 学生分组讨论给出解法 老师组织解法展示， 引导学生总结解题规律 n 1.掌握复数代数形式的乘、除运算(重点) 课标解读2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(难点) 3理解共轭复数的概念(易错点) 【问题导思】 1如何规定两个复数相乘？ 复数的乘法 【提示】两个复数

4、相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i 换成1，并且把 实部与虚部分别合并即可 2复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？ 【提示】满足 (1)设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR R)，则 2 z 1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i. (2)对于任意z1，z2，z3C C，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 z 1z2z2z1 (z1z2)z3 z 1(z2z3) z 1(z2z3)z1z2z1z3 【问题导思】 复数的除法与共轭复数 如何规定两个复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR R，cdi0)相除？ 【提示】 z 1 abiabi z

5、 2 cdicdi cdiacbdbcadi . cdic2d2 (1)z1abi，z2cdi(a，b，c，d为实数，cdi0)，z1，z2进行除法运算时， 通常先把(abi)(cdi)写成 果： abi的形式再把分子与分母都乘以 cdi 化简后可得结 cdi acbdbcad i. c2d2c2d2 (2)共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时， 称这两个复数为共轭复数，称这两个复数为共轭复数，z z的共轭复数的共轭复数 用用z z表示即表示即z za ab bi i，则，则z za ab bi.i.虚部不等于虚部不等于0 0 的两个

6、共轭复数也叫共轭虚的两个共轭复数也叫共轭虚 数数. . 复数代数形式的乘除法运算 (1)(2013课标全国卷)设复数z满足(1i)z2i，则z() A1iB1iC1iD1i (2)(2013大纲全国卷)(1 3i) () A8 1i 6 2 3i (3)计算() _. 1i 3 2i 【思路探究】(1)先设出复数zabi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的 值 B 8C 8i D8i 3 (2)直接利用复数的乘法运算法则计算 1i2 3i (3)先计算再乘方，且将的分母实数化后再合并 1i 3 2i 【自主解答】(1)设zabi，则(1i)(abi)2i，即(ab)(ba)i2i. ab0

7、， 根据复数相等的充要条件得 ba2， a1， 解得 b1， z1i.故选 A. (2)原式(1 3i)(1 3i) (1 3i)(22 3i)26i 8. 22 1i (3)法一原式 2 i 6 2 6 2 3i 5 3 2i 62i3i 61i. 5 2 1i 法二原式 2 i 6 6 2 3i 3 2i i i 2 3i 2 3i i 1i. 【答案】【答案】(1)A(2)A(3)1i 1复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实 数化，注意最后结果要写成abi(a，bR R)的形式 2记住以下结论可以提高运算速度 (1)(1i) 2i，(1i) 2i； 1

8、i1i (2)i，i； 1i1i 1 (3) i. i 计算： (1)(1i) ； 1331 (2)( i)( i)(1i)； 2222 2i (3). 2i 【解】【解】(1)(1i) 12ii 2i. 22 2 22 1331 (2)( i)( i)(1i) 2222 ( ( ( 3133 2 i ii )(1i) 4444 313 i)(1i) 424 31 i)(1i) 22 3311 i i 2222 1 31 3 i. 22 2i (3) 2i 2i2i24i24 i. 2i2i555 虚数单位 i 的幂的周期性及其应用 2 3i2 2 013 (1)计算：()； 1i 12 3i

9、 1i 22 013 (2)若复数z，求 1zzz的值 1i 【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现 i 的形式，然后再根据 i 的 值的特点计算求解 i 【自主解答】(1)原式 2 1 006 2 i() 2i 22 2 i 22 22 013 nn 12 3i 12 3i ( 2 21 006 2 ) () 1i1i 1i 2 1i2 1 006 ii 2 (2)1zzz 1z ， 1z 2 2 014 1i1i2i 而zi， 1i1i1i2 所以 1zzz 1要熟记i 的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i 联系起来以便 nn 22 013 1i1i 1i. 1i

10、1i 2 0142 计算求值 2如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解 在本例(2)中若zi，求 1zzz 【解】【解】由题意知 1zzz 1 1i 1i 2 014 22 013 22 013的值 1ii i 450322 22 013 1i 1i 1i 1i. 1i 原式1i. 共轭复数的应用 设z1，z2C C，Az1z2z2z1，Bz1z1z2z2，问A与B是否可 以比较大小？为什么？ 【思路探究】设出z1，z2的代数形式化简A，B判断A，B是否同为实数结论 【自主解答】设z1abi， z 2cdi(a，b，c，dR R)， 则z1abi，z2cdi， Az1z2z2z1

11、(abi)(cdi)(cdi)(abi) acadibcibdi acbciadibdi 2ac2bdR R， 22 Bz 1 z 1 z2z2 |z1| |z2| abcdR R， A与B可以比较大小 1zz|z| |z| 是共轭复数的常用性质 2实数的共轭复数是它本身， 即zR Rzz，利用此性质可以证明一个复数是实数 3若z0 且zz0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数 22 2222 22 已知zC C，z为z的共轭复数，若zz3iz13i，求z. 【解】【解】设zabi(a，bR R)，则zabi(a，bR R)， 由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i， 即

12、ab3b3ai13i， a b3b1 则有 3a3 22 22 ， 解得 a1 b0 z z 或 a1 b3 ， 所所 3i.3i. 以以1 1或或z z1 1 记错 i 值而致误 12i 设复数z满足i，则z() 2 z A2iB2i C2i 12i 【错解】【错解】设复数zabi(a，bR R)满足i， D2i z 所以 12iaib. 解得 a2， b1， 所以z2i，故选 D 项 【答案】【答案】D 【错因分析】【错因分析】将 i 1 当成 i 1 来运算漏掉负号 【防范措施】【防范措施】在进行乘除法运算时， 灵活运用 i 的性质，并注意一些重要结论的灵活 应用 12i 【正解】【正解

13、】设复数zabi(a，bR R)满足i， 22 z 所以 12iaib. 解得 a2， b1， 所以z2i，故选 C 项 【答案】【答案】C 1复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以 及乘法对加法的分配律 (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分 母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化 2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题 3复数问题实数化思想 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数其桥梁是设复数z z

14、a ab bi(i(a a，b bR) )，利利 用用 化化 复复数数相相等等的的充充要要条条件件转转 . . 10i 1(2012北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为() 3i A(1,3)B(3,1) C(1,3) 【解析】【解析】 10i10i3i10i3i 13i， 22 3i3 110 D(3，1) 其对应点的坐标为(1,3)，选 A. 【答案】【答案】A 2(2013安徽高考)设 i 是虚数单位，若复数a () A3 C1 【解析】【解析】因为a B1 D3 10103i103i aa(a3)i，由纯 3i3i3i10 10 (aR R)是纯虚数，则a的值为 3i 虚数的定义

15、，知a30，所以a3. 【答案】【答案】D 3若x2yi 和 3xi 互为共轭复数，则实数x_，y_. 【解析】【解析】由题意得： x1， y1. x23x， y1， 【答案】【答案】11 4计算： 13 (1)(1i)( i)(1i)； 22 (2) 2 3i 3 2i 2 ； (3)(2i) . 13 【解】【解】(1)法一(1i)( i)(1i) 22 1313 2 ( i ii )(1i) 2222 ( 3131 i)(1i) 22 31313131 2 iii 2222 1 3i. 13 法二原式(1i)(1i)( i) 22 13 2 (1i )( i) 22 13 2( i) 2

16、2 1 3i. (2) 2 3i 3 2i 2 3i 3 2i 3 2i 2 3 2i 3 2i 2 3i 32 2 62i3i 6 5 5i i. 5 (3)(2i) (2i)(2i) 44ii 4i.4i. 3 3 2 2 一、选择题 1复数(2i) 等于() A34iB54i C32i 【解析】【解析】(2i) 44ii 44i134i.故选 A. 【答案】【答案】A 53i 2i 是虚数单位，复数() 4i A1i C1i 【解析】【解析】 53i53i4i1717i 1i. 2 4i4 117 B1i D1i 22 2 D52i 【答案】【答案】C 3(2013课标全国卷)若复数z满

17、足(34i)z|43i|，则z的虚部为() A4 C4 4 B5 4 D5 |43i|4 35 【解析】【解析】(34i)z|43i|，z 34i34i 4 的虚部为 . 5 【答案】【答案】D 4若zz6，zz10，则z() A13i C3i 【解析】【解析】设zabi(a，bR R)，则zabi， 2a6 22 ab10 22 34i34 i，z 2555 B3i D3i ，解得a3，b1，则z3i. 【答案】【答案】B 2i 5 (2013湖北高考)在复平面内， 复数z(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位 1i 于() A第一象限 C第三象限 【解析】【解析】z B第二象限 D第四象限

18、 2i2i1i 1i，所以z1i，故复数z的共轭复数 1i1i1i 对应的点位于第四象限 【答案】【答案】D 二、填空题 6(2013江苏高考)设z(2i) (i 为虚数单位)，则复数z的模为_ 【解析】【解析】z(2i) 34i，所以|z|34i| 3 4 【答案】【答案】5 3bi 7若abi(a，b为实数，i 为虚数单位)，则ab_. 1i 【解析】【解析】 3bi3bi1i 1i2 222 2 5. 13b3b (3b)(3b)ii. 222 3b 2 b， a3b， 2 解得 a0， b3. ab3. 【答案】【答案】3 1i 2 0122 014 8当z时，zz_. 2 1i2i

19、2 【解析】【解析】z，zi， 2 2 z2 012(i)2 0121， z2 014(i)2 0141， z2 012z2 014110. 【答案】【答案】0 三、解答题 9计算下列各题： 1i (1) 1i 7 1i 1i 7 34i22i 43i 3； 11 4 1i 75 (2) ( 2 2i) () () ； i1i1i (3)( 31 12 22i 8 i) () . 22 1 3i 231i 1i8 23 【解】【解】 (1)原式(1i) (1i) 1i1i 82i1i 33 (2i) i(2i) (i) i 881616i16i. 11 4 1i 75 (2) ( 2 2i)

20、() () i1i1i i( 2) (1i) (1i) 1 16 2(1i) i 4 1 (16 2 )(16 21)i. 4 (3)( 31 12 22i 8 i) () 22 1 3i 12 522 34i1i 34ii 2 1i 1 1i 2 i 27 (i) ( 31 12 1i 8 i) () 22 13 i 22 13 12 ( i) 22 1i 24 13 i 22 33 13 i 22 13 34 ( i) (88 3i) 22 188 3i78 3i. 10复数z 1i31ia 2 ，若z 0，求纯虚数a. 2iz 2 2i33i 【解】【解】z1i， 2i a为纯虚数，设a

21、mi(mR R，m0)， 则z (1i) 2 a z 2 2i 1i mimim 2 ( 2)i0， 22 mm m 0 2 m 220 ，m4，a4i. a 11 定义运算 c 限？ b z 12i 则满足adbc，0 的复数z所对应的点在第几象 d1i1i b d a 【解】【解】结合 c adbc可知 z 12i z(1i)(1i)(12i)0， 1i 1i z 1i12i1i 1i1i 2 12i 2i， 1i 应应的的点点在在第第四四象象 . . 限限 复复数数z z所所对对 (教师用书独具) 5z15z2 已知z1、z2C C，z12z2R R，且1，求证：z23z1为纯虚数 z 2 2z1 【思路探究】由题目条件推出(z23z1) ，再证明其小于 0