高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳

1、用空间向量解立体几何题型与方法用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l的方向向量为a a(a1，b1，c1)平面，的法向量u u(a3，b3，c3)，v v(a4， b4，c4) (1)线面平行：la au ua au u0a1a3b1b3c1c30 (2)线面垂直：la au ua aku ua1ka3，b1kb3，c1kc 3 (3)面面平行：u uv vu ukv va3ka4，b3kb4，c3kc 4 (4)面面垂直：u uv vu uv v0a3a4b3b4c3c40 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC， PD的

2、中点，PAAB1，BC2. (1)求证：EF平面PAB； (2)求证：平面PAD平面PDC. 证明以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标 11 系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，1， 2 2 u uu uu ur r1r ru uu uu u r ru uu uu u r r1u uu uu u F0，1， ， EFEF ，0，0，PB PB(1,0，1)，PDPD(0,2，1)，APAP 2 2 u uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r r (

3、0,0,1)，AD AD(0,2,0)，DCDC(1,0,0)，ABAB(1,0,0) u uu uu u r rr ru uu uu u r ru uu uu u r r1u uu uu u (1)因为EF EF ABAB，所以EF EFABAB，即EFAB. 2 又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB. r rr ru uu uu u r ru uu uu uu uu uu u r ru uu uu u (2)因为AP APDCDC(0,0,1)(1,0,0)0，ADADDCDC(0,2,0)(1,0,0)0， r ru uu uu ur ru uu uu u r ru uu

4、 uu ur ru uu uu u 所以AP APDCDC，ADADDCDC，即APDC，ADDC. 又APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因为DC平面 PDC， 所以平面PAD平面PDC. 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的 方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量 与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定， 也可以证明两个平面的法向量垂直. 例 2、在直三棱柱ABC A1B1C1中，ABC90，BC2，CC 14，点 E在线段BB1上， 且EB11，

5、D，F，G分别为CC 1，C1B1，C1A1 的中点 求证：(1)B1D平面ABD； (2)平面EGF平面ABD. 证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BAa，则A(a,0,0)， u uu uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r r 所以BA BA(a,0,0)，BDBD(0,2,2)，B B 1 1D D (0,2，2)， u uu uu uu u r ru uu uu uu uu uu uu u r ru uu uu ur

6、rr r B B 1 1D D BA BA0，B B 1 1D D BD BD0440，即B1DBA，B1DBD. 又BABDB，因此B1D平面ABD. u uu uu u r raau uu uu u r r (2)由(1)知，E(0,0,3)，G，1，4，F(0,1,4)，则EG EG ，1，1，EFEF(0,1,1)， 22 r ru uu uu uu u r ru uu uu uu uu uu uu u r ru uu uu u r r B B 1 1D D EG EG0220，B B 1 1D D EF EF0220，即B 1DEG，B1DEF. 又EGEFE，因此B1D平面EGF.

7、结合(1)可知平面EGF平面ABD. 利用空间向量求空间角基础知识 (1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a a，b b，异面直线所成 的角为，则 cos|cosa a，b b|. |a a|b b| (2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n n，直线的方向向量a a，设线面所成的角为 |a a b b| ，则 sin|cosn n，a a|. |n n|a a| |n n a a| (3)向量法求二面角：求出二面角l的两个半平面与的法向量n n1，n n2， |n n1n n2| 若二面角l所成的角为锐角，则 cos|cosn n1，n n2|； |n n1|

8、n n2| 若二面角l所成的角为钝角，则 cos|cosn n1，n n2|. |n n1|n n2| 例 1、如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4， 点D是BC的中点 (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1 与平面ABA 1 所成二面角的正弦值 解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，则A(0,0,0)， |n n1n n2| u uu uu u u u r ru uu uu uu u r r B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以A A 1 1

9、B B (2,0，4)，C C 1 1D D (1，1，4) u uu uu u u u r r u uu uu uu u r r A A 1 1B B C C 1 1D D u uu uu u u u r ru uu uu uu u r r18310 u uu u u u r ru uu uu uu u r r 因为 cosA A 1 1B B ，C C 1 1D D u u ， 10 |A A 1 1B B |C C 1 1D D | 2018 3 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为 10 10 . u uu uu uu u r ru uu uu u r r (2)设平面ADC 1

10、 的法向量为n n1(x，y，z)，因为AD AD(1,1,0)，AC AC1 1(0,2,4)，所以 u uu uu uu u r ru uu uu u r r n n1ADAD0，n n1AC AC 1 1 0，即xy0 且y2z0，取z1，得x2，y2，所以， n n1(2，2,1)是平面ADC 1 的一个法向量取平面ABA 1 的一个法向量为n n2(0,1,0)设 平面ADC 1 与平面ABA 1 所成二面角的大小为. n n1n n2225 由|cos| ，得 sin. |n n|n n|33 12 91 5 因此，平面ADC 1 与平面ABA 1 所成二面角的正弦值为. 3 例

11、2、如图，三棱柱ABC A1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA 160. (1)证明：ABA1C； (2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB 1C1C 所成角的正弦 值 解(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA 1，A1B. 因为CACB，所以OCAB. 由于ABAA1，BAA 160，故AA1B 为等边三角形，所以OA 1AB. 因为OCOA 1O，所以 AB平面OA 1C. 又A1C平面OA 1C，故 ABA1C. (2)由(1)知OCAB，OA 1AB.又平面 ABC平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC平面AA1B1B，故OA，OA 1，OC 两

12、两相互垂直 u uu uu u r ru uu uu u r r 以O为坐标原点，OA OA的方向为x轴的正方向，|OAOA|为单位长，建立如图所示的空间 直角坐标系O xyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(1,0,0) u uu uu u r ru uu uu u u u r ru uu uu u u u r ru uu uu u u u r r 则BC BC(1,0， 3)，BBBB 1 1 AAAA 1 1 (1，3，0)，A A 1 1C C (0，3，3) 设n n(x，y，z)是平面BB 1C1C 的法向量， u uu uu u r r n n

13、 BCBC0， u uu u u u r r则u u n nBB BB 1 1 0. x 3z0， 即 x 3y0. 可取n n(3，1，1) 故 cos u uu uu u u u r r n n，A A 1 1C C u uu uu u u u r r n nA A 1 1C C 10 u uu uu u u u r r . 5 |n n|A A 1 1C C | 10 所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 5 (1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤： 建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式 进行论证、计算；转化为几何结论 (2)求空间角应注意：

14、 两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角，即 cos|cos|. 两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所 求 例 3、如图，在四棱锥S ABCD中，ABAD，ABCD，CD3AB3， 平面SAD平面ABCD，E是线段AD上一点，AEED3，SEAD. (1)证明：平面SBE平面SEC； (2)若SE1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值 解：(1)证明：平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SE平面 SAD， SEAD，SE平面ABCD.BE平面ABCD，SEBE.ABAD，AB CD， CD3AB3，AEED3，AEB30，CED60

15、.BEC90， 即BECE.又SECEE，BE平面SEC.BE平面SBE， 平面SBE平面SEC. (2)由(1)知，直线ES，EB，EC两两垂直如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴， ES为z轴，建立空间直角坐标系则E(0,0,0)，C(0,23，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以 u u CECE u uu u r r (0，23，0)， u u CBCB u uu u r r (2，23，0)， u u CSCS u ur r (0，23，1) 设平面SBC的法向量为n n(x，y，z)， 则 u uu uu u r r n nCBCB u uu ur r 0， 即 2x

16、23y0， n nCS CS0. 2 3yz0. 令y1，得x3，z23， 则平面SBC的一个法向量为n n(3，1,23) u uu uu u 设直线CE与平面SBC所成角的大小为，则 sin| n nCECE r r |n n| u u CECE u uu u r r 1 |4， 故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为 1 4. 例 4、如图是多面体ABC A1B1C1和它的三视图 (1)线段CC 1 上是否存在一点E，使BE平面A1CC 1？若不存在，请说明理由，若存 在，请找出并证明； (2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值 解：(1)由题意知AA 1，AB，AC 两两垂直，

17、建立如图所示的空间直角坐标系，则 u uu uu u u u r r A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，C1(1，1,2)，则CC CC 1 1 (1,1,2)， u uu uu u r ru uu uu uu u r ru uu uu u u u r r A A 1 1C C1 1 (1，1,0)，A A 1 1C C (0，2，2)设E(x，y，z)，则CE CE(x，y2，z)， u uu uu u r ru uu uu uu u r ru uu uu uu u r r ECEC 1 1 (1x，1y,2z)设CE CEEC EC 1 1 (0)，

18、 xx， 则y2y， z2z， 22 ，则E1 11 u uu uu u r r222 ，. BEBE1 11 r ru uu uu u r ru uu uu uu u BE BEA A 1 1C C1 1 0， u u r rr ru uu uu u由 u uu uu u BEBEA A 1 1C C 0， 得 22 1 10， 22 0， 11 解得2， u uu uu u r ru uu uu uu u r r 所以线段CC 1 上存在一点E，CE CE2EC EC1 1，使BE平面A1CC1. u uu uu uu u r r m mA A 1 1C C1 1 0， u uu u u

19、u r r(2) 设 平 面 C1A1C的 法 向 量 为mm (x，y，z) ， 则 由u u m mA A 1 1C C 0， 得 xy0， 2y2z0， 取x1，则y1，z1.故mm(1，1,1)，而平面A1CA的一个法向量为n n (1,0,0)， 则 cos mm，n n |mm|n n| mmn n133 ，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为. 33 3 利用空间向量解决探索性问题 例 1、如图 1，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的 中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角A DC B(如图 2) (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，

20、并说明理由； (2)求二面角E DF C的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出 BP BC的值；如果不存 在，请说明理由 解(1)在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB.又AB平面DEF，EF 平面DEF，AB平面DEF. (2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间 直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，23，0)，E(0，3，1)，F(1，3， 0)， u u DFDF u uu u r r (1，3，0)， u u DEDE u uu u r r (0，3，1)， u u DADA u

21、uu u r r (0,0,2) 平面CDF的法向量为 u u DADA u uu u r r (0,0,2)设平面EDF的法向量为n n(x，y，z)， 则 u uu uu u r r DFDF 即 x3y0， u u DEDE u uu u r r n n0， ， n n0， 3yz0， 取n n(3，3，3) cos u u DADA u uu u r r u u ，n n DADA u uu u r r | u u DADA u uu u r r n n2121 |n n|7 ，所以二面角E DF C的余弦值为 7 . (3)存在设P(s，t,0)，有 u u APAP u uu u

22、r r (s，t，2)，则 u u APAP u uu u r r u u DEDE u uu u r r 3t20，t 23 3 ， 又 u u BPBP u uu u r r (s2，t,0)， u u PCPC u uu u r r (s,23t,0)， u u BPBP u uu u r r u u PCPC u uu u r r ，(s2)(23t) st， 3st23.把t 23 3 代入上式得s 4 3， u u BPBP u uu u r r 1u uu uu u r r 3 BCBC， 在线段BC上存在点P，使APDE.此时， BP BC 1 3. 1空间向量法最适合于解决立

23、体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、 论证、推理，只需通过坐标运算进行判断. 2解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问 题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简 单、有效，应善于运用这一方法. 例 2、.如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，ACB90，AA 1BC2AC2. (1)若D为AA 1 中点，求证：平面B1CD平面B1C1D； (2)在AA 1 上是否存在一点D，使得二面角B1CD C1的大小为 60？ 解：(1)证明：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC 1所在直线分别为x，y，z 轴建 立空间直

24、角坐标系则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)， u uu uu u r ru uu uu uu u r ru uu uu uu u r r 即C C 1 1B B1 1 (0,2,0)，DCDC 1 1 (1,0,1)，CD CD(1,0,1) r rr ru uu uu uu u r ru uu uu uu uu uu uu u r ru uu uu u 由C C 1 1B B1 1 CD CD(0,2,0)(1,0,1)0000，得C C 1 1B B1 1 CD CD，即C 1B1CD. r rr ru uu uu uu u r

25、ru uu uu uu uu uu uu u r ru uu uu u 由DCDC 1 1 CD CD(1,0,1)(1,0,1)1010，得DC DC 1 1 CD CD，即DC 1CD. 又DC1C1B1C1，CD平面B1C1D.又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D. (2)存在当AD 2 2 AA1时，二面角B1CD C1的大小为 60.理由如下： u uu uu u r ru uu uu u r r 设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，CD CD(1,0，a)，CB CB 1 1 (0,2,2)， 设平面B1CD的法向量为mm(x，y，z)， u uu uu u r r 则

26、 mmCB CB 1 1 0 2y2z0， m m u u CDCD u uu u r r 0 xaz0， 令z1，得mm(a,1，1) 又 u u CBCB u uu u r r (0,2,0)为平面C |mm u u CBCB u uu u r r 1CD 的一个法向量，则 cos 60|m m| u u CBCB u uu u r r| 11 |a222， 解得a2(负值舍去)，故AD2 2 2 AA1.在AA1上存在一点D满足题意 空间直角坐标系建立的创新问题 空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过 直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题解

27、决的关键环节之一就是建立空间直 角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点 一、经典例题领悟好 例 1、如图，四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4， ACBACD 3，F 为PC的中点，AFPB. (1)求PA的长； (2)求二面角B AF D的正弦值 (1)学审题审条件之审视图形 由条件知ACBD 建系 ，AC分别为x，y轴写出A，B，C，D坐标 PA面 ABCD DB 设P坐标 PF CFPBu u 可得F坐标 AF AFAF u uu u r r u u PBPB u uu u r r 0得P坐标并求PA长 (2) 学审题 由(1) u u ADA

28、D u uu u r r ， u u AFAF u uu u r r ， u u ABAB u uu u r r 的坐标 向量n n1，n n2分别为平面 FAD、平面FAB的法向量 n n u u ADAD u uu u r r 0 且n n u uu uu u r r 11 AFAF0求得n n 1n n2 求得夹角余弦 解(1)如图，连接BD交AC于O，因为BCCD，即BCD为等腰三角形，又AC u uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r r 平分BCD，故ACBD.以O为坐标原点，OB OB，OCOC，APAP的方向分别为x轴，y轴，z 轴的正方向，建立

29、空间直角坐标系O xyz，则OCCDcos1.而AC4，得AOAC 3 OC3.又ODCDsin 3 0,0) 3，故A(0，3,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，D(3， r r z u uu uu u 0，1，.又AFAF因PA底面ABCD，可设P(0，3，z)由F为PC边中点，知F 2 r ru uu uu u r r u uu uu u r r z u uu uu uz2 0，2，PB PB( 3，3，z)，AFPB，故AF AFPBPB0，即 6 0，z23 22 (舍去23)， u uu u u u r r 所以|PA PA |23. u uu uu u r ru uu u

30、u u r ru uu uu u r r (2)由(1)知AD AD( 3，3,0)，AB AB( 3，3,0)，AF AF(0,2， 3)设平面FAD 的法向量为n n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n n2(x2，y2，z2)， u uu uu u r ru uu uu u r r 3x13y10， 由n n1AD AD0，n n1AFAF0，得 2y1 3z10， 2) 因此可取n n1(3，3， u uu uu u r ru uu uu u r r 3x23y20， 由n n2AB AB0，n n2AFAF0，得 2y2 3z20， 故可取n n2(3，3，2) 1 从而法

31、向量n n1，n n2的夹角的余弦值为 cosn n1，n n2 . |n n1|n n2|8 3 故二面角B AF D的正弦值为 7 . n n1n n2 8 建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系本题利用ACBD， 若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明 显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建 立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称. 例 2、如图，在空间几何体中，平面ACD平面ABC，ABBCCADADCBE 2.BE与平面ABC所成的角为60，且点E在平面A

32、BC内的射影落在ABC的平分线 上 (1)求证：DE平面ABC； (2)求二面角E BC A的余弦值 解：证明：(1)易知ABC，ACD都是边长为 2 的等边三角形， 取AC的中点O，连接BO，DO，则BOAC，DOAC. 平面ACD平面ABC， DO平面ABC.作EF平面ABC，则EFDO.根据题意，点F落在BO上， EBF60，易求得EFDO3，四边形DEFO是平行四边形，DEOF. DE平面ABC，OF平面ABC，DE平面ABC. (2)建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，可求得平面ABC的一个法向量为n n 1 (0,0,1) u uu uu u r ru uu uu u r r

33、可得C(1,0,0)，B(0，3，0)，E(0，31，3)，则CB CB(1， 3，0)，BE BE (0，1，3) u uu uu u r ru uu uu u r r 设平面BCE的法向量为n n2(x，y，z)，则可得n n2CB CB0，n n 2 BEBE0， 即(x，y，z)(1，3，0)0，(x，y，z)(0，1，3)0，可取n n2(3，3，1) n n1n n113 故 cosn n1，n n2.又由图知，所求二面角的平面角是锐角， 13|n n1|n n2| 故二面角E BC A的余弦值为 13 . 13 专题训练专题训练 1.如图所示，在多面体ABCDA1B1C1D1中，

34、上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互 相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，ABA1B1，AB2A1B12DD 12a. (1)求异面直线AB1与DD 1 所成角的余弦值； (2)已知F是AD的中点，求证：FB1平面BCC 1B1. 解：以D为原点，DA，DC，DD 1 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系，则A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，B1(a，a， a)，C1(0，a，a) u uu uu u u u r r u uu uu uu u r r ABAB 1 1 DDDD 1 1 u

35、uu uu u u u r ru uu uu uu u r ru uu uu u u u r ru uu uu uu u r r u uu u u u r ru uu uu uu u r r (1)ABAB 1 1 (a，a，a)，DDDD 1 1 (0,0，a)，cosABAB 1 1 ，DDDD 1 1 u u |ABAB 1 1 |DDDD 1 1 | 3 ， 3 3 所以异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为. 3 u uu uu u r ru uu uu u u u r ru uu uu ur r (2)证明：BBBB 1 1 (a，a，a)，BC BC(2a,0,0)，FB FB

36、1 1 (0，a，a)， u uu uu ur r u uu uu u u u r r FB FB 1 1 BBBB 1 1 0， r ru uu ur ru uu uu uu u FBFB 1 1 BC BC0. FB1BB1，FB1BC. BB1BCB，FB1平面BCC 1B1. 2如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA 1C1C 是边长为4 的正方形，平面ABC平面 AA 1C1C， AB3，BC5. (1)求证：AA 1平面 ABC； (2)求二面角A1BC1B1的余弦值； BD (3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值 BC1 解：(1)证明：因为四边形AA1

37、C1C为正方形，所以AA1AC. 因为平面ABC平面AA 1C1C，且 AA 1 垂直于这两个平面的交线AC，所以AA 1平面 ABC. (2)由(1)知AA1AC，AA 1AB. 由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)， C1(4,0,4)， u uu uu u u u r ru uu uu uu u r r A A 1 1B B (0,3，4)，A A 1 1C C1 1 (4,0,0)设平面A1BC1的法向量为n n(x，y，z)， u uu uu u u u r r n n

38、A A 1 1B B 0， u uu uu u r r则u u n n A A 1 1C C1 1 0. 3y4z0， 即令z3，则x0，y4，所以n n(0,4,3) 4x0. n nmm16 同理可得，平面B1BC1的一个法向量为mm(3,4,0)所以 cos n n，mm . |n n|mm|25 16 由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为. 25 u uu uu uu u r ru uu uu u r r (3)证明：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且BD BDBC BC 1 1 . 所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4. u

39、uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u u u r r9 所以AD AD(4，33，4)由ADADA A 1 1B B 0，即 9250，解得. 25 因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B. 25 9 此时， 9 . BC125 5，AB BD 3如图(1)，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB2，DC1，BC AD2.将图(1)沿直线BD折起，使得二面角A BD C为 60，如图(2) (1)求证：AE平面BDC； (2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值 1 解：(1)证明：取BD的中点F，连接EF，AF，则AF1，EF ，AFE60. 2

40、 由余弦定理知AE121 13 2 21 cos 60. 22 2 AE2EF2AF2，AEEF. ABAD，F为BD中点BDAF.又BD2，DC1，BC BC2， 即BDCD.又E为BC中点，EFCD，BDEF.又EFAFF， BD平面AEF.又BDAE，BDEFF，AE平面BDC. 5，BD2DC2 3 ， (2)以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A0，0， 2 11 C1， ，0，B1， ，0， 22 u uu uu uu uu uu u r rr ru uu uu u r r11313 . D1， ，0，DBDB(2,0,0)，DADA1， ，ACAC 1， ， 2 22 22

41、 设平面ABD的法向量为n n(x，y，z)， u uu uu u r r n n DBDB0 r r由u uu uu u n n DADA0 2x0， 得 13 xyz0， 22 取z3， 则y3，又n n(0，3，3) u uu uu u r r u uu uu u r rn nAC AC 6 u uu uu u r r .cosn n，AC AC 4 |n n|AC AC| 10 故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为. 4 4如图所示，在矩形ABCD中，AB35，AD6，BD是对角线，过点A作AE BD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将ADE向上折起，使点D到点P的位置，且 PB4

42、1. (1)求证：PO平面ABCE； (2)求二面角E AP B的余弦值 解：(1)证明：由已知得AB35，AD6，BD9.在矩形ABCD中，AE BD， RtAODRtBAD， 在POB中，PB DOAD ADBD，DO 4，BO5. 41，PO4，BO5，PO2BO2PB2， POOB.又POAE，AEOBO，PO平面ABCE. (2)BO5，AOAB2OB225. 5，0,0)，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4)，A(2 B(0,5,0)， u uu u u u r ru uu uu u r r PAPA(25，0，4)，PB PB(0,5，4) u uu u

43、u u r r n n1 PAPA0， u u r r设n n1(x，y，z)为平面APB的法向量则u uu u n n1 PBPB0， 取x25得n n1(2 2 5x4z0， 即 5y4z0. 5，4,5)又n n2(0,1,0)为平面AEP的一个法向量， 461 ， 61 611 61 61 . 2，PA 4n n1n n2 cosn n1，n n2 |n n1|n n2| 4 故二面角E AP B的余弦值为 5.如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD PD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点 (1)求直线PB与平面POC

44、所成角的余弦值； (2)求B点到平面PCD的距离； (3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q AC D的余弦值为 6 ？若存在，求出 3 PQ QD 的值；若不存在，请说明理由 解：(1)在PAD中，PAPD，O为AD中点，所以POAD.又侧面PAD底面 ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD. 又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OCAD，所以以O为坐标原点，OC， OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，1,0)， B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)， u uu uu u r ru uu

45、 uu u r r PB PB(1，1，1)，易证OA平面POC，OAOA(0，1,0)是平面POC的法向量， r ru uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u36PBPBOA OA u uu uu u r ru uu uu u r r cosPB PB，OAOA . 直线PB与平面POC所成角的余弦值为. 3 | PBPB|OAOA|3 u uu u u u r ru uu uu u r r (2) PDPD(0,1，1)，CPCP(1,0,1)设平面PDC的一个法向量为u u(x，y，z)， u uu u u u r r u u CPC

46、Pxz0， r r则u uu uu u u u PDPDyz0， 取z1，得u u(1,1,1)B点到平面PCD的距离为d u uu uu u r r |BP BPu u| |u u| 3 . 3 u uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r r (3)假设存在一点Q，则设PQ PQPDPD (01)PD PD(0,1，1)， r ru uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu uu uu uu u r r PQ PQ(0，)OQOQOPOP，OQOQ(0，1)，Q(0，1) u uu uu u r r 设平面CAQ的一个法向量为mm(x，y

47、，z)，又AC AC(1,1,0)，AQ(0，1,1)， u uu uu u r r m mACACxy0， r r则u uu uu u m mAQAQ1y1z0. 取z1，得mm(1，1，1)， 6 又平面CAD的一个法向量为n n(0,0,1)，二面角Q AC D的余弦值为， 3 61 2所以|cosm m，n n|，得 31030，解得 或3(舍)， 3|mm|n n|3 1 所以存在点Q，且 . QD2 6如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB |mmn n| PQ 垂直于AD和BC，SAABBC2，AD1.M是棱SB的中点 (1)求证：AM平

48、面SCD； (2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值； (3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求 sin的最大值 解：(1)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)， C(2,2,0)，D(1,0,0)， u uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu uu u r r S(0,0,2)，M(0,1,1)所以AMAM(0,1,1)，SDSD(1,0，2)，CDCD(1，2,0) 设平面SCD的法向量是n n(x，y，z)， u uu uu u r r SD SDn n0， r r则u uu uu u CD

49、CDn n0， x2z0， 即令z1，则x2，y1， x2y0. u uu uu uu u r ru uu uu uu u r r 于是n n(2，1,1)AM AMn n0，AMAMn n.又AM 平面SCD， AM平面SCD. (2)易知平面SAB的一个法向量为n n1(1,0,0)设平面SCD与平面SAB所成的二面角 为， 1，0，02，1，1n n1n n 则|cos |n n |n n| 1 16 6 . 3 6 平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为. 3 2 6 ，即 cos 1 63 u uu uu uu u r r (3)设N(x,2x2,0)(x1,2)，则MN MN(

50、x,2x3，1) 又平面SAB的一个法向量为n n1(1,0,0)， sin x，2x3，1 1，0，0 x22x3 2121 x 5x212x10 11 512 10 xx 2 1 1 11 210 12 5 xx 1 137 102 x 55 . 13535 当 ，即x 时，(sin)max. x537 7、如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，FABDAB90，AF ABBC2，AD1，FACD. (1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行； (2)求二面角F CD A的余弦值 解：(1)证明：由已知得，BEAF，BCAD，BEBCB，ADAFA， 平面

51、BCE平面ADF.设平面DFC平面BCEl，则l过点C. 平面BCE平面ADF，平面DFC平面BCEl， 平面DFC平面ADFDF. DFl，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DFl. (2)FAAB，FACD，AB与CD相交，FA平面ABCD. 故以A为原点，AD，AB，AF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图由 u uu uu u r ru uu uu u r r 已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，DF DF(1,0,2)，DCDC(1,2,0) 设平面DFC的一个法向量为n n(x，y，z)， u uu uu u r r n n DFDF0

52、， r r则u uu uu u n n DCDC0 x2z， 不妨设z1. x2y， 则n n(2，1,1)，不妨设平面ABCD的一个法向量为mm(0,0,1) cosmm，n n |mm|n n| mmn n16 ，由于二面角F CD A为锐角， 6 6 6 二面角F CD A的余弦值为. 6 8、.如图，在四棱锥P ABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC2，BD 23，E是PB上任意一点 (1)求证：ACDE； 15 (2)已知二面角A PB D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的 5 正弦值 解：(1)证明：PD平面ABCD，AC平面ABCD，PDAC，