高考数学(文科)常用公式

1、高考数学（文科）公式大全高考数学（文科）公式大全 及重要基础知识记忆检查及重要基础知识记忆检查 目录目录 第第一一章章集集合合与与常常用用逻逻辑辑用用语语2 2 第第二二章章函函数数3 3 第第三三章章倒倒数数及及其其应应用用7 7 第第四四章章三三角角函函数数8 8 第第五五章章平平面面向向量量1212 第第六六章章数数列列1313 第第七七章章不不等等式式1515 第第八八章章立立体体几几何何1717 第第九九章章平平面面解解析析几几何何1919 第第十十章章概概 率率 、 统统 计计 及及 统统 计计 案案 例例 2424 第第十十一一章章算算法法初初步步及及框框图图2525 第第十十二

2、二章章推推理理与与证证明明2626 第第十十三三章章数数系系的的扩扩充充与与复复数数的的引引入入2626 第第十十四四章章几几何何证证明明选选讲讲2626 第第十十五五章章坐坐标标系系和和参参数数方方程程2727 第第十十六六章章不不等等式式选选讲讲2727 第第一一章章集集合合与与常常用用逻逻辑辑用用语语 1. 1. 集合的基本运算 ； 2.2. .集合的包含关系:； 3.3. 识记重要结论： AB AA B;AB A A B; C U A BC U AC U B;C U A BC U AC U B 4 4对常用集合的元素的认识 B x x x6 0中的元素是不等式x x6 0的解，B即不等

3、式的解集； C y y x 2x1,0 x 5中的元素是函数y x 2x1,0 x 5的函数值，C A x x23x4 0中的元素是方程x 3x4 0的解，A即方程的解集； 22 2 22 即函数的值域； D x y log2 x 2x1 中的元素是函数y log 2 x22x1的定义域，D即函数 的定义域； M 2 x, y y 2x3中的元素可看成是关于x, y的方程的解集，也可看成以方程 n y 2x3的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。 nnn 5 5. 集合a 1,a2 ,a n 的子集个数共有2个；真子集有21 个；非空子集有21 个；非 空的真子集有22 个. 6 6. 方

4、程f (x) 0在(k1,k 2 )上有且只有一个实根 ,与f (k 1 ) f (k 2 ) 0不等价,前者是后者的 一个必要而不是充分条件. 特 别 地 , 方 程ax bx c 0(a 0)有 且 只 有 一 个 实 根 在(k1,k 2 ) 内 , 等 价 于 2 f (k 1 ) f (k 2 ) 0 ,或 f (k 1 ) 0 且 k 1 k k 2 b 1 2a2 ,或 f (k 2 ) 0 且 k 1 k 2 b k 2 . 22a 7 7. 闭区间上的二次函数的最值问题： 二次函数f (x) ax bx c(a 0)在闭区间p,q上的最值只能在x 2 b 处及区间的两 2a

5、端点处取得，具体如下： (1) 当 a0 时， b p,q，则有 若x 2a b f (x) min f (), f (x) max maxf (p), f (q)； 2a b p,q，则有 若x 2a f (x) max maxf (p), f (q)，f (x) min minf (p), f (q). (2) 当 a0 和 x0 和 x0)或向下(b0)或向右( 0 时，有 x a x2 a a x a. 2 x a x2 a2 x a x a 大射线小线段 或 k x 1 x 2 f f( (k k) ) k kO O x x1 1x x2 2 x x=-=-b b/2a/2a x 1

6、 k x 2 1210 x x = - = -b b/2a/2a x x1 1 k k x x2 2 f f( (k k) ) O O fk 0 0, fk 1 0, f k 2 0, k b k 12 2a 6868. （1）理解绝对值的几何意义， 并了解下列不等式成立的几何意义 及取等号的条件： x 1,x2 k 1,k2 x x = - = -b b/2a/2a f f( (k k1 1) ) k k1 1 f f( (k k2 2) ) k k2 2 O O x x1 1x x2 2 |ab|a|b|，a,bR； |ab|ac|cb|，a,bR. （2）会利用绝对值的几何意义求解 以下

7、类型的不等式： fk 1 fk 2 0 或 fk 0, 1 x 1 、x 2 有 且只有一 个在 k k 1 1 bk 1 k 2 k1 2a2 k k 2 2 或 k 1,k2 内 O O fk 2 0, k 1 k 2 b k 2 2a2 |axb| c；|axb| c； | xc| xb| a. 6969. 无理不等式 （1） （2） （3） f (x) 0 ；f (x) g(x) g(x) 0 f (x) g(x) f (x) 0 f (x) 0 ；f (x) g(x) g(x) 0或 f (x) g(x)2 g(x) 0 f (x) 0 f (x) g(x) g(x) 0 f (x)

8、 g(x)2 7070. 指数不等式与对数不等式 (1)当a 1时, af (x) ag(x) f (x) 0 f (x) g(x);log a f (x) log a g(x) g(x) 0 . f (x) g(x) (2)当0 a 1时, af (x) ag(x) f (x) g(x); f (x) 0 log a f (x) log a g(x) g(x) 0 f (x) g(x) 第第 八八 章章立立 体体 几几 何何 7171. 常用公理和定理 公理公理 1 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理公理 2 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理

9、公理 3 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理公理 4 4：平行于同一条直线的两条直线平行 定理定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直 一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行 两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行 垂直于同一个平面的两条直线

10、平行 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 7272. 三余弦定理（最小角定理:立平斜公式） 设 AB 与平面 所成的角为 1 ,AC 是 内的任一 条直线，且 AC 与 AB 的射影 AB 所成的角 / 为 2 ，AB 与 AC 所成的角为则 / B B A A C C BB cos cos 1 cos 2 .如右图。 则d A,B =| AB| 图 B B 7373. 空间两点间的距离公式 若 A(x 1, y1,z1) ，B(x2, y2,z2)， ABAB(x 2 x 1) 2(y 2 y 1) 2(z 2 z 1) 2 . BB A A S 7474. 面积射影

11、定理：S .(平面多边形及其射影的面积 cos 分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为).如图。 7575 已知：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 C C 图 、 ，因此有cos2cos2cos21；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所 2 。成的角分别为、（线线面12） ，则有cos coscos 7676 棱锥的平行截面的性质： 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相 似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方） ；相应小棱锥与小棱锥的侧面

12、积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 ）若每个顶点引出的棱数为m，则：. 7777. 球 222 4 3R ,其表面积S 4R2； 3 球的半径（R） ，截面圆半径（r） ，球心到截面的距离为（d）构成直角三角形，因而有关 球的半径是 R，则其体积V 系：r R2d2，它们是计算球的关键所在。 7878. 球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长 , 正方体的棱切球的直 径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四

13、面体的内切球的半径为 径为 6 a,外接球的半 12 6 a. 4 7979 柱体、锥体的体积 11 V 柱体 Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）;V 锥体 Sh（S是锥体的底面积、 33 h是锥体的高）. 8080. 空间向量的直角坐标运算：设a x 1, y1,z1 ,b x 2 , y 2 ,z 2 ，则 ab x 1 x 2 , y 1 y 2 ,z 1 z 2 ； ab x 1 x 2 , y 1 y 2 ,z 1 z 2 ； ab x 1x2 y 1 y 2 z 1z2 ； abx 1 x 2 , y 1 y 2 ,z 1 z 2 R,或 abx 1x2 y 1 y 2 z 1

14、z2 0 x 1 y 1 z 1 ； x 2 y 2 z 2 8181. 二面角l 的平面角计算（夹角）公式：设a,b为平面，的法向量。通常情况 下，若已知a x 1, y1,z1 ,b x 2 , y 2 ,z 2 ，则cos a , b 8282.空间两点的距离公式：设 x 1x2 y 1y2 z 1z2 x y zx 2 z 2 y 2 2 1 2 1 2 1 222 Ax 1, y1,z1 ,B x 2 , y 2 ,z 2 ，则 d A、B x 1 x 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1. 2 2 8383 高中数学角的范围： 向量夹角:0,180； 直线的倾斜角:0,180)；

15、 共面直线的夹角:0,90； 直线和平面夹角:0,90； 异面直线夹角:(0,90； 二面角:0,180。 第第 九九 章章平平 面面 解解 析析 几几 何何 84.84. 斜率公式 k y 2 y 1 (x , y )P (x , y ) tan （P、） 111222 . x 2 x 1 2 / 曲 线 y fx 在 点P 0 x 0 , y 0 处 的 切 线 的 斜 率k f x 0 ， 切 线 方 程 ： y f/x 0 xx 0 y 0 . 直线y kxb的一个方向向量为1,k 85.85. 直线的五种方程一般两点斜截距 （1）点斜式 y y 1 k(x x 1) (直线l过点P

16、1(x1, y1) ，且斜率为k) （2）斜截式y kxb(b 为直线l在 y 轴上的截距). y y 1 x x 1 (y1 y2)(P 1(x1, y1) 、P 2 (x 2 , y 2 ) (x 1 x 2 ). y 2 y 1 x 2 x 1 xy (4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b 0) ab （5）一般式 Ax ByC 0(其中 A、B 不同时为 0). （3）两点式 86.86. 两条直线的平行和垂直 (1)若l 1 : y k 1xb1 ，l2: y k2xb2 l 1 |l 2 k 1 k 2 ,b 1 b 2 ; l 1 l 2 k 1k2 1. (2)

17、若l 1 : A 1x B1 y C 1 0,l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0,且 A1、A2、B1、B2都不为零, A 1 B 1 C 1；l 1 l 2 A 1 A 2 B 1B2 0； A 2 B 2 C 2 （3）直线l:Ax ByC 0中，若A 0,B 0, 有谁垂（吹）谁 则l垂直于y轴；若A 0,B 0,则l垂直于x轴。 l 1 |l 2 8787四种常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程 (1)定点直线系方程：经过定点 P 0 (x 0 , y 0 )的直线系方程为y y 0 k(x x 0 )(除直线 x x 0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ;经

18、 过 定 点 P 0 (x 0 , y 0 ) 的 直 线 系 方 程 为 A(x x 0 ) B(y y 0 ) 0,其中A,B是待定的系数 (2)共点直线系方程：经过两直线l 1 : A 1x B1 y C 1 0,l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0的交点 的直线系方程为(A 1x B1 y C 1) (A 2 x B 2 y C 2 ) 0(除l 2 )，其中 是待定的系数 (3)平行直线系方程：直线y kxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系 方程与直线Ax ByC 0平行的直线系方程是Ax By 0( 0)， 是参变 量 (4)垂直直线系方程：与直线Ax B

19、yC 0 (A0，B0)垂直的直线系方程是 Bx Ay 0, 是参变量 88.88. 点到直线的距离 A B 8989.Ax ByC 0或0(其中 A、B 不同时为 0).所表示的平面区域 设直线l : Ax By C 0，则Ax ByC 0(或0)所表示的平面区域是： 若C 0,则用原点O0,0试，结果适合不等式，表示原点所在的平面区域就是。否则， 边界的另一区域才是； 若C 0，则用点1,0或者0,1试，方法同上。 90.90. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 (xa) (y b) r ； 22 （2）圆的一般方程 x y Dx Ey F 0(D E 4F0). 22 222 d | A

20、x 0 By 0 C | 22 (点P(x0, y0),直线l：Ax ByC 0). 是 0， （0，1） 、 （1，0）试 非 0， （0、0）试 （3）圆的直径式方程 (xx 1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是 A(x 1,y1)、 B(x 2,y2). 9191. 点与圆的位置关系 点 P(x 0 , y 0 ) 与圆 (x a)2 (y b)2 r2 的位置关系有三种若 d (a x 0 )2(b y 0 )2， 则d r 点P在圆外;d r 点P在圆上;d r 点P在 圆内. 9292. 直线与圆的位置关系 直线Ax By C 0与圆(x a) (y b) r的位

21、置关系有三种: d r 相离 0; d r 相切 0; d r 相交 0.其中d 9393. 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，O 1O2 d d r 1 r 2 外离 4条公切线; d r 1 r 2 外切 3条公切线 r 1 r 2 d r 1 r 2 相交 2条公切线; 222 Aa Bb C A B 22 . d r 1 r 2 内切 1条公切线; 0 d r 1 r 2 内含 无公切线. 9494. 圆的切线方程：已知圆x y r过圆上的P 0 (x 0 , y 0 )点的切线方程为 222 x 0 x y 0 y r2; 9595. 椭圆

22、 椭圆定义：MF；a 2a |F 1F2 | 0） 1 MF 2 2（ F 1B1 OF 1 OB 1 （即c b a，注意RtFOB； 11 ） 设P是椭圆上任意一点， 且F 1PF2 ， 则有PF 1 PF 2 2 PF 1 PF 2 cos2c. 下表是椭圆的标准方程及几何性质。 标准方程 222 2 22 222 x2y2 1(a b 0) a2b2 B1y x2y2 1(a b 0) b2a2 y F1 x 图形 A1F1 O B2 F2 A2x F2 OB1 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半长轴 焦距 |x|a,|y|b|x|b,|y|a 0、 a b，0， c 0， 关于x轴

23、、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 0 0,b、a， 0 c， 长半轴椭长为a，短半轴长为b 焦距为2c a、b、c 关系 离心率 a2 b2c2 e c a 2 b 2b 2 1 eore 1 a a x2y2a2a2 )，PF 2 e( x)； 椭圆 2 2 1(a b 0)焦半径公式：PF 1 e(x abcc 椭圆的的内外部： 22x 0 y 0 x2y2 点P(x0, y0)在椭圆 2 2 1(a b 0)的内部 2 2 1； abab 22x 0 y 0 x2y2 点P(x0, y0)在椭圆 2 2 1(a b 0)的外部 2 2 1； abab x2y2 22222 椭圆 2 2

24、 1(a b 0)与直线Ax ByC 0相切的条件是A a B b c . ab 9696. 双曲线 双曲线定义： MF 1 |-| MF 2 =2a0 2a1 Y N x1 N 是 Y 1 s s1 i i=100 否 y=x2y=1y=4x i=4 否 输出 S 是 S1=S1+xi 输出 y 输出 s 结束 结束 结束 图 图 图 如果执行下面的程序 框图，如图，输入 N=5,则 输出的数等于 _； 阅读下面的程序框图， 运行相应的程序后， 则输出 S 的值为_. 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水 管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了 抽样调查，其中4 位居民的月均用水量分别

25、为:x 1,x4 (单位：吨)。根据如图所示的程序框 图，若x 1,x2 ,x 3 ,x 4 分别为 1，1.5，1.5，2，则输 出的结果 s 为_. 开始 输入 N S=0,k=1 开始 s=0 s s 1 kk 1 k=k+1 k11 是 输出 s 结束 图 第第 十十 二二 章章推推 理理 与与 证证 明明 109109. 归纳推理归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有 代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 ； 类比推理类比推理是从特殊到特殊的推理。通常是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相 似性越多，相似

26、的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠 110110. 综合法是“由因导果” ；分析法是“执果索因” ；反证法，往往用于“正难则反” ，思路 决定出路。 第第 十十 三三 章章数数 系系 的的 扩扩 充充 与与 复复 数数 的的 引引 入入 110110. 复数的相等：abi cdi a c,b d.（a,b,c,d R） 111111. 复数z abi的模：| z |=|abi|=a2b2. 112112. 复数的四则运算法则 (1)(abi)(cdi) (ac)(bd)i; ;(2)(abi)(cdi) (ac)(bd)i; ; (3)(abi)(cdi) (acbd)(bcad)i; ; (4)(abi)(cdi) 2 2 acbdbcad 2 i(cdi 0). 222c dc d 113.113. zz z z (其中z abi和z abi互为共轭复数) 114114. 1i 2i； 2 1i1i i； i 1i1i 虚数单位i的幂的周期性： i4n1 i，i4n2 1，i4n3 i，i4n41，n N 22 一、二、三、四 i负一，相反数 32 115.115. 设 1 3 i ,则有: 12 0；31；2,. 第第 十十 四四 章章几几 何何 证证 明明