导数常见题型方法总结

1、对导函数问题类型的总结例1 :已知如果区间d的函数的导函数、区间d的导函数、以及区间d始终成立，则函数在区间d被称为“凸函数”，实数m是常数(1)如果区间是“凸函数”，则求出m的取值的范围(2)对于满足任意一个实数，函数在区间上为凸函数，求出的最大值由函数得到解：在(1)区间为“凸函数”在区间 0，3 中始终成立解法1 :从二次函数的区间最大值开始：等价解法2 :分离变量法：当时，一直成立。当时，一直成立等价的最大值()始终成立，()为增函数的话(2)当时区间都是“凸函数”和当时总是成立的一样变更主元法再次等价于稳态成立(视为与m相关的一次函数的最大值问题)。-22例2 :设为函数(i )求函

2、数f(x )的单调区间和极端值(ii )如果任意不等式始终成立，则求a的取值范围解： ()三甲aa三甲将得到的单调增加区间设为(a，3a )将所得到的单调减少区间设为(-，a )和(3a，)x=a时，极小值x=3a时，极大值=b。()为|a，可得到：任意的恒成立与该二次函数的对称轴(缩约法)等价即，定义域位于对称轴的右边，该二次函数的最大值问题是单调递增函数的最大值问题。上面是递增函数因此，对于任意而言不等式始终成立是等价的又来了二次函数重视区间最大值求出方法：对称轴(单调区间重视)和定义域的关系例3 :已知函数图像上的一点处的切线的斜率(i )求出的值；(ii )当时所要求的值域；(iii

3、)当时，不等式总是成立，求实数t的取值范围。解： (i )解(ii )由(i )可知，上单调增加、上单调减少、上单调减少另外-的值域(iii )命令思维方法1 :要始终成立，只需分离变量即可思维方法2 :二次函数区间的最大值二、残奥仪表问题1 .问题类型1 :求某区间中已知函数的单调性残奥仪表的范围解法1 :在某个区间时常成立，转换为基础问题型解法2 :利用子区间(即子定径套思想)首先求出函数的单调增加或减法区间，接着将所给出的区间作为所求出的增加或减法区间的子定径套在制作问题时一定要辨别“(m，n )中是减函数”和“函数的单调减法区间是(a，b )”，明确前者是后者的子定径套这两个句子的不同

4、例4 :已知，函数(i )若函数为偶函数，则求出的极大值和极小值(ii )如果函数是以上的单调函数，则能够求出的值的范围解：(i)为偶函数，此时，命令，解决：清单如下：(-、-2)-2(-2，2 )2(2，)0-0键盘增量极大值递减极小值键盘增量的极大值可知，的极小值为(ii)函数为上面的单调函数，尺判别式始终在规定区间r成立解开的话。总结以上内容，可取值的范围为例5、已知函数(i )求出的单调区间(ii )如果以 0，1 单调增加，则求出a可取值的范围。 次定径套思想甲- 1战斗机-1解： ()一，只在当时取“=”的话单调增加。2、单调增加区间：单调增加区间：(ii )是上述增加区间的子定径

5、套1、时，单调递增符合题意总而言之，a的可能值范围是 0，1 。2、问题类型2 :根数问题问题1函数f(x )和g(x ) (或x轴)的升交点，即方程根的个数问题解题顺序第一步：描绘“穿透图”(即解导函数不等式)和“趋势图”，即三次函数的大致趋势“是先增加后增加，还是先减少后增加”阶段2 :从趋势格拉夫结合升交点的个数或根的个数，写不等式(组)，主要看极大值和极小值0的关系第三步：解不等式(组)就可以了。例6 .已知函数和区间上的增函数。(1)可求实数的值的范围(2)与函数的图像如果有3个不同的升交点，则求出实数可取值的范围解： (1)题意？在区间上是递增函数在区间始终成立(分离变量法)即，由

6、于是恒成立，所以可取值的范围为(2)设置，为(1)所知吗当时，以r增加，显然没有合适的问题此时，随之而来的变化如下表所示极大值极小值和的图像有3个不同的升交点，即方程式有3个不同的实根，所以需要解。根据以上内容，能够求出的值的范围为根的数量是知道的，但是有些根是否能求出来是知道的。例7、已知函数(1)的极值点，且图像越过原点求出的极端值(2)在(1)的条件下，如果存在实数使得函数的图像和函数的图像具有始终包含的3个不同的升交点，则求出实数的可能值的范围。否则说明理由。 高1考1资1源2网解： (1)的图像一过原点，又是极值点，对-1(2)假设函数的画像和函数的画像经常包含的3个不同的升交点有以

7、下三条路线已整理：也就是说，总是有三个不均匀的根有所含的根因为一定能分解，所以用附项汇集法因子性地分解十字协方法分解：总有三个不均匀的根等价于有两个不等于1的不均匀根。问题2切线的根数的问题，即以切点为未知数的方程式的根数例如7 .已知函数取点处的最小值-4，并且对于该导函数的可能值的范围，获得(1)的解析式。(2)如果过去的点与曲线的三条切线相交，则获得实数的可能值的范围(1)从题意中得到往上往上因此，这里取极小值、从开始联合。(2)设置接点q，太多了命令。求：方程有三个根。需要：故： 因此求出的实数的范围如下所示众所周知，存在问题3的区间中的极值点个数有导函数=0的根的个数解法：根分布或判

8、别式例8，求解：函数的定义域在(i)m=4时，f (x)=x3-x2 10x，=x2-7x 10，命令，解或。命令，解开可知函数f(x )的单调增加区间为和(5，)，单调减少区间为。()=x2-(m 3)x m 6，1要使函数y=f (x )在(1，)上具有两个极值点，=x2-(m 3)x m 6=0根据(1，)。根分布问题：于是，解m3具有用于获得公式(1)的单调区间(=x4 f(x)(xr )并且仅具有三个极值点以获得a的可能值的范围。解： (1)当时，可以解开，也可以解开所以增加区间，减少区间为当时，同样得到的增加区间，减少区间为(2)有极值点且只有三个=0有3根根时，或因为方程有两个非

9、零的实根或者或时，可验证的函数只有三个极值点其他例题：1、(最大值问题和主元变更法的例子).已知上面定义的函数的区间中的最大值是5，最小值是-11。(i )求函数的解析式(ii )时，始终成立，求取实数的可取值的范围解： ()令=0，得因此，将得到下表：00-极大因此，必定达到最大值。即，、(ii)、等价、然后，问题在于在向上恒成立时获得实数的可能值的范围为此需要的是求出实数的取值的范围是 0，1 .2、(根分布和线性修正图例)已知函数(i )函数同时具有极端值，且函数图像上的点的切线与直线平行时求出的解析式(ii )取极大值且取极小值时，将点所在平面区域设为s，通过原点的直线l将s分为面积比

10、1:3这两个，求出直线l的方程式.解： (i ) .由，函数有时有极端值另外，在那里的切线与直线平行故乡。七分，七分，七分(ii )解法一：取得极大值且取得极小值即令、则故障点所在的平面区域s为图abc，易得、在云同步上de是abc的中二进制位线，求出的直线l的方程式是：另一种情况是，不垂直于x轴的直线l也将s分为面积比1:3的两个部分，直线l方程式与ac、bc分别相交于f、g时，得到的点f的横轴是：得到的点g的横轴是：即，即由于求解3360或(向下舍入)，因此线性方程是：总之，求出的直线方程式是：或者12点(ii )解法：取得极大值且取得极小值即令、则故障点所在的平面区域s为图abc，易得，

11、此外，de是abc的中二进制位线，求出的直线l的方程式为：另一种情况是直线bo与ac相交于h，因为直线bo方程为：得到直线l与ac的升交点为：，求出的直线方程式为：或3、(根的个数问题)已知函数的图像如图所示。(i )求出的值；(ii )如果函数在图像点处的切线方程是，则获得函数f (x )的解析式(iii )如果方程有3个不同的根，求实数a的取值范围。解：从问题上知道：(i )从图中可知函数f (x )的图像超过点(0，3 )，为=0得到题意=-3且f (2 )=5解是a=1，b=-6所以f (x )=x 36 x 29 x 3题意f (x )=ax3bx 2(3a2b ) x3(a 0)经

12、由=3a x22 bx-3 a-2 b=0b=-9 a方程式f (x )=8a具有3个不同的根，仅在满足f (5 )8af (1 ) 的情况下从 到25 a38a 7a3a 3当a3时，方程f (x )=8a有三个不同的根。4、(根的个数问题)已知的函数(1)取函数中的极端值，并且在所确定的值和下一单调区间中(2)如果，研究与曲线的升交点个数解： (1)根据命令得到的单调增加区间，单调减少区间为(2)从问题中得出也就是说令令得或立即-此时，有、升交点。立即，马上就有升交点很快，有两个升交点当时，有升交点从综合上可以看出，或者，当时有升交点，有两个升交点5、(简单切线问题)已知函数图像上的斜率为3的两个切线间的距离是函数.(i )如果函数在此处有极端值，则所求得的解析式；(ii )如果函数在区间上是增函数且在区间上成立，则求出实数可取值的范围.f (x )=3/a2x 2，从3/a2 x2=3得到x=a，即，接点坐标为(a，a )、(-a，-a )切线方程式是y-a=3(x-a )或y-a=3(x-a ) (两点)整理为3x-y-2a=0或3x-y 2a=0解答a=1，f(x)=x3。g(x)=x3-3bx 3(4分)g(x)=3x2-3b，g(x )为x=1，表示有极端值，