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文档简介

1、1,思考1,思考2,引入,知识要点,2,3,这一讲主要介绍有限集的阶，有限集上的映射及其性质，这些在与计数有关的数学竞赛问题中应用极广，是参赛者必不可少的知识,.有限集元素的数目 1有限集的阶 有限集A的元素数目叫做这个集合的阶，记作|A|或n(A).card(A) 2集族的阶 若M为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M为集族. 设A为有限集，由A的若干个子集构成的集合称为集合A的一个子集族，求满足一定条件的集族的阶是一类常见的问题. 显然，若|A|=n，则由A的所有子集构成的子集族的阶为2n.,4,.映射，映射法 定义1 设X和Y是两个集合（二者可以相同）.如果对于每个 ，都有惟一确定的

2、与之对应，则称这个对应关系为X到Y的映射.记为这时,称为的象,而x称为y的原象,特别当X和Y都是数集时，映射f称为函数. 定义2 设f为从X到Y的一个映射. (1)如果对于任何x1、 （2）如果对于任何 ，都有 ，使得f(x)=y，则称f为满射; （3）如果映射f既为单射又为满射，则称f为双射（一一映射）； （4）如果f为满射且对任何 ，恰有X中的m个元素x1、x2、xm，使得 定理1 设X和Y都是有限集，f为从X到Y的一个映射, （1）如果f为单射，则|X|Y| （2）如果f为满射，则|X|Y| （3）如果f为双射，则|X|=|Y| （4）如果f为倍数为m的倍数映射，则|X|=m|Y|. 这

3、个定理的结果是显然的.,5,差集：ABx|xA且xB(部分资料上用“AB”表示),6,2.容斥原理:设表示集合所含元素的个数,我们用|A|表示有限集合A的元素个数(新教材中用 表示有限集合A的元素个数)。 原理一：给定两个集合A和B，要计算AB中元素的个数，可以分成两步进行： 第一步：先求出A+B（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步：减去AB（即“排除”加了两次的元素） 总结为公式：|AB|=A+B-AB。 原理二：给定三个集合A，B，C。要计算ABC中元素的个数，可以分三步进行： 第一步 求|A|+|B|+|C|； 第二步 减去|AB|，|AC|，|BC|； 第三步 加上|ABC|。,7,4.覆盖与划分：如果集合 SS1S2Sn，则 S1、S2、Sn叫做集合S的一个覆盖； 如果同时又有SiSj(ij),则 S1、S2、Sn叫做集合S的一个划分.,推广,8,加法原理：做一件事有n类办法，第一类办法中有n1种不同的方法，第二类办法中有n2种不同的方法，第n类办法中有nn种不同的方法，那么完成这件事一共有n1+n2+nn种不同的方法。 乘法原理：做一件事分n个步骤，第一步有种n1不同的方法，第二步有n2种不同的方法，第n步有nn种不同的方法，那么完成这件事一共有n1.n2.nn种不同的方法。,9,练习,10,11,练习,12,13,练习,14,2.

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