基本方程组的数值求解1.ppt

1、基本方程组的数值求解,一、引言,控制层流和湍流燃烧的微分方程组的几个特点： 方程很复杂，无法得到分析解，需要数值求解。 各个方程的结构相似，都包含时间导数项、对流项、扩散项和源项几部分。因此，各个方程可以用相同的方法求解。其中动量方程可写成 (1) 方程是非线性的，比如对流项有三个应变量，是三次项。非线性方程需要用迭代方法求解。 各方程之间是互相耦合的。求解时，需对所有方程进行联立求解。,二、积分区域与微分方程的离散化,1积分区域的离散化 积分区域的离散化，把参数连续变化的流场用有限个点来代替 交线的交点称为网格的结点 两相邻结点之间的距离称为网格步长 时间坐标上定出有限个离散点，相邻两离散点

2、间的距离为时间步长,图1 网格结点的符号,X3,X2,X1,P,2微分方程的离散化,利用连续方程，一维非定常流动的方程写为 （2） 在控制容积上积分，并利用奥-高定律，得 上标n表示当前时间层的值；上标（n-1）表示前一时间层的值 对流项和扩散项的参数暂时未注明取哪一个时间层的值 式中扩散通量一般用中心差分： , （4） 但在对流项中，e点和w点的值可以用不同的插值方法得出。,图2 控制容积 控制容积在x方向为等距网格，长度为 ，其它两个方向上取单位长度 控制容积在与x方向垂直的面元面积 =1 控制体的体积,三、交错网格,在用控制容积法建立差分方程时，需用插值办法计算差分方程的系数 Harlo

3、w等人提出用交错网格，以减少因插值而引进的误差 在这种网格中，速度定义在两结点之间的中点上，其余参数仍定义在网格线的交点上 实线的交点定义了除速度分量以外的所有参数，称为主结点 实线与虚线的交点定义了不同的速度分量，称为速度的结点 计算标量的对流通量时，速度就定义在控制体的面之上，毋须插值,图3 交错网格 在建立动量方程（比如说u）的差分方程时，交错网格的优点更为突出 在非交错网格中，P点压力梯度的差商近似为 在交错网格中，w点压力梯度的差商近似为 用交错网格的精度比非交错网格要高得多,四、差分格式,1差分方程的要求 在计算数学中，为评价差分格式，提出了相容性、稳定性、耗散性、色散性等原则，并

4、发展了一系列的分析方法 为了容易理解，这里从物理的真实性、收敛性及解的精度几方面进行讨论 差分方程可以写为 (5) 式中，取和号下的指数nb表示P点周围的结点。对一维问题，是两项相加，二维问题是四项相加，余此类推。,1）物理上的真实性,差分方程的系数要同号：在差分方程（5）中，Bnb和BP要同号 在控制面上，通量要保持一致：在计算两个控制体的通量时，要保证在同一面元上有相同的表示式，不然的话，在这个面元上就得引进一个小的源或汇，以便保证参数总的守恒。,2）迭代求解的收敛性,对于非线性方程组的求解，目前还没有成熟的理论，可借用线性代数方程组的原则对差分方程进行一些限制。斯卡巴勒（Scarboro

5、ugh）指出： 所有结点的差分方程，其系数之和需满足 （6） 至少有一个结点，系数之和满足 （7） 对于非线性代数方程，上述条件是充分的，但不一定是必要的,3）解的精确性,要使最后求得的结点与实验符合，除了合理安排差分网格外，恰当地选择差分格式也是重要的因素之一。,2对流项和扩散项的差分,很多差分格式的系数都与参数 、 的比值佩克莱特（Peclet）数 有关 数表示了对流与扩散作用的相对大小 当 数的绝对值很大时，导热或扩散的作用就可以忽略。这时，对流的作用就把流动上游的信息一直带到下游，而通过扩散向上游传递的下游的信息则几乎等于零 如果输运系数为粘性系数，则数即为以网格步长为特征长度的雷诺数

6、 参数D恒为正值，参数C的正负号与速度相同。,定常一维的流动和扩散过程，其控制方程为 （8） 在图2所示的控制容积上积分得 （9） 另一方面，方程（8）有精确解，通解为 （10） 代入W-P段两端的边界条件：当 时， ；当 时， 可得该段的解为 其中 为w截面的佩克莱特数。,将上式代入式（9）的后一项，可得 （11） 其中 为w截面的参数， 。通解中代入P-E段两端的边界条件，同样可得 （12） 这里 ， 。,将式（11）和式（12）代入式（9），并利用连续条件 可得 其中 ， ，（13）,几种对流项差分格式,1）中心差分格式 参见图2，令 ， ，连同式（4）一起代入方程（3），可得 （14）

7、,隐式中心差分格式,利用连续方程 进一步得 （15）,（15）式中各系数分别为,（16）,显式中心差分格式,（17） 在该差分方程中，系数本应取n时间层的值，但在求解以前，是未知的，所以近似取n-1时间层的值。其它系数同式（16）。,2）迎风差分格式,参见图2，令 代入方程（3），同样可得式（15）或式（17），只是系数要改为 （19） 这就是迎风差分格式的系数。,将精确解给出的系数，以及中心差分和迎风差分的系数 分别为式（16）和式（19） 同时画出在图4中 从图中可看出，当时，中心差分格式比迎风差分格式更接近于精确值。但当数增大或减小时，中心差分很快就远离精确值 迎风差分格式在数较小时，精度不如中心差分格式高，但它对精确值的偏离不随数或流动雷诺数改变，适合解高雷诺数的流动。,图4 差分方程系数的比较 根据图4，可推荐混合差分、指数差分和乘方差分等几种差分格式,3）混合差分格式,根据 数的大小来确定差分方程的系数 当 时，用中心差分 当 时，用 数趋于无穷时的渐近值，BE=0，BW=Cw；同样，当 时，用 数趋于负无穷时的渐近值， ，BW=0 用一个式子表示，即为混合差分格式 (20),4）指数差分格式,差分方程系数直接用由定常一维方程精确解推出的公式（13）计算。 系数较精确