高考数学一轮复习 选修系列 14.2 不等式选讲 第2课时 不等式的证明课件 理

1、14.2不等式选讲,第2课时不等式的证明,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,(1)比较法： 作差比较法： 知道abab0，ab只要证明 即可，这种方法称为作差比较法. 作商比较法： 由ab0 1且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明 即可，这种方法称为作商比较法.,1.不等式证明的方法,知识梳理,ab0,(2)综合法： 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法. (3)分析法： 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一

2、个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“执果索因”的方法.,(4)反证法和放缩法： 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法. 在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.,(5)数学归纳法： 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时

3、，可以用以下两个步骤： 证明当nn0时命题成立； 假设当nk (kn*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.,(1)柯西不等式： 柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2) (当且仅当adbc时，等号成立). 柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.,2.几个常用基本不等式,(acbd)2,考点自测,解答,解答,(121212)(abc)3.,x0，y0，,解答,题型分类深度剖析,例1(1)已知x，y

4、均为正数，且xy，求证：2x 2y3；,题型一用综合法与分析法证明不等式,证明,因为x0，y0，xy0，,证明,只需证明(abc)23. 即证：a2b2c22(abbcca)3， 而abbcca1， 故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca). 即证：a2b2c2abbcca.,所以原不等式成立.,思维升华,用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法. 综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩

5、证关系，可以增加解题思路，开阔视野.,跟踪训练1设a、b、c均为正数，且abc1，证明：,证明,由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得 a2b2c2abbcca. 由题设得(abc)21， 即a2b2c22ab2bc2ca1.,证明,例2若a，br，求证：,当|ab|0时，不等式显然成立. 当|ab|0时，,题型二放缩法证明不等式,证明,思维升华,(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：,利用函数的单调性； 真分数性质“若00，,(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.,跟踪训练2,证明,由2nnkn(k1,2，n)，得,原不等

6、式成立.,题型三柯西不等式的应用,证明,(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值.,解答,思维升华,(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明. (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为： (111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.,证明,由柯西不等式及题意得，,课时作业,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.已知xy1，求2x23y2的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,即a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

7、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2， 即(x2y3z)214，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,证明,又abc0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.已知a，b，cr，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,由柯西不等式得 (441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32， 9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2. 2a2bc8，,1,2,3,4,5,

8、6,7,8,9,10,证明：(1)ab2； (2)a2a2与b2b2不可能同时成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,证明,(2)假设a2a2与b2b2同时成立， 则由a2a2及a0得0a1； 同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾. 故a2a2与b2b2不可能同时成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(1)求m；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,所以f(x)2的解集mx|1x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)证明：当a，bm时，|ab|1ab|.,由(1)知，当a，bm时，1a1，1b1，

9、从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0， 即(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.(1)关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求a的取值范围；,|x3|x4|(x3)(x4)|1， 且|x3|x4|1，即a的取值范围是(1，).,由柯西不等式，得,(xyz)2， 即251(xyz)2. 5|xyz|，5xyz5. xyz的取值范围是5,5.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,因为a，b(0，)，ab1， x1，x2(0，)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,证明,(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,方法一由a，b(0，)，ab1， x1，x2(0，)，及柯西不等式可得：,所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.,方法二因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)