高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.5 垂直关系课件 文 北师大版

1、8.5垂直关系,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.直线与平面垂直,知识梳理,任意,mno,a,b,ab,2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.,直二面角,(2)判定定理与性质定理,垂线,交线,l,重要结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也

2、垂直.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行.() (3)直线a，b，则ab.() (4)若，aa.() (5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.(),1.(教材改编)下列命题中不正确的是 a.如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面 b.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 c.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 d.如果平面平面，平面平面，l，那么l,考点自测,答案,解析,根据面面垂直的性质，知a不正确，直线l可能平行平面，也可能在平面内.,2.设平面与平

3、面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的 a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件,答案,解析,若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.,3.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则 a.若mn，n，则m b.若m，则m c.若m，n，n，则m d.若mn，n，则m,答案,解析,a中，由mn, n，可得m或m或m与相交，错误； b中，由m，可得m或m或m与相交，错误； c中，由m，n，可得mn，

4、又n，则m，正确； d中，由mn，n，可得m与相交或m或m，错误.,4.(2016深圳模拟)在正四面体abcd中，e，f，g分别是bc，cd，db的中点，下面的结论不正确的是 a.bc平面agf b.eg平面abf c.平面aef平面bcd d.平面abf平面bcd,答案,解析,易知点a在平面bcd上的投影在底面的中心，而中心不在ef上， 所以平面aef平面bcd错误，选c.,5.(教材改编)在三棱锥pabc中，点p在平面abc中的投影为点o. (1)若papbpc，则点o是abc的_心.,答案,解析,外,如图1，连接oa，ob，oc，op， 在rtpoa、rtpob和rtpoc中， papc

5、pb， 所以oaoboc，即o为abc的外心.,(2)若papb，pbpc，pcpa，则点o是abc的_心.,答案,解析,垂,如图2，延长ao，bo，co分别交bc，ac，ab于h，d，g. pcpa，pbpc，papbp， pc平面pab，ab平面pab，pcab， 又abpo，popcp， ab平面pgc， 又cg平面pgc， abcg，即cg为abc边ab的高. 同理可证bd，ah为abc底边上的高， 即o为abc的垂心.,题型分类深度剖析,题型一直线与平面垂直的判定与性质,例1(2016全国甲卷改编)如图，菱形abcd的对角线ac与bd交于点o，ab5，ac6，点e，f分别在ad，cd

6、上，aecf ，ef交bd于点h.将def沿ef折到def的位置.od . 证明：dh平面abcd.,证明,几何画板展示,由已知得acbd，adcd.,因此efhd，从而efdh.,所以oh1，dhdh3. 于是dh2oh2321210do2，故dhoh. 又dhef， 而ohefh，且oh，ef平面abcd， 所以dh平面abcd.,思维升华,证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质

7、定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,跟踪训练1(2015江苏)如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，已知acbc，bccc1.设ab1的中点为d，b1cbc1e. 求证：(1)de平面aa1c1c；,由题意知， e为b1c的中点， 又d为ab1的中点，因此deac. 又因为de 平面aa1c1c，ac平面aa1c1c， 所以de平面aa1c1c.,证明,(2)bc1ab1.,证明,又因为bc1平面bcc1b1， 所以bc1ac. 因为bccc1，所以矩形bcc1b1是正方形， 因此bc1b1c. 因为ac，b1c平面b1ac，acb1cc， 所以bc1平面b1ac. 又因为ab1平面b

8、1ac， 所以bc1ab1.,题型二平面与平面垂直的判定与性质,例2如图，四棱锥pabcd中，abac，abpa，abcd，ab2cd，e，f，g，m，n分别为pb，ab，bc，pd，pc的中点. (1)求证：ce平面pad；,证明,方法一取pa的中点h，连接eh，dh. 又e为pb的中点， 所以eh綊 ab. 又cd綊 ab， 所以eh綊cd. 所以四边形dceh是平行四边形，所以cedh. 又dh平面pad，ce 平面pad. 所以ce平面pad.,方法二 连接cf. 因为f为ab的中点， 所以af ab. 又cd ab， 所以afcd. 又afcd，所以四边形afcd为平行四边形. 因此

9、cfad，又cf 平面pad，ad平面pad， 所以cf平面pad.,因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpa. 又ef 平面pad，pa平面pad， 所以ef平面pad. 因为cfeff，故平面cef平面pad. 又ce平面cef，所以ce平面pad.,(2)求证：平面efg平面emn.,证明,因为e、f分别为pb、ab的中点，所以efpa. 又因为abpa， 所以efab，同理可证abfg. 又因为effgf，ef平面efg，fg平面efg. 所以ab平面efg. 又因为m，n分别为pd，pc的中点， 所以mncd，又abcd，所以mnab， 所以mn平面efg. 又因为mn平面em

10、n，所以平面efg平面emn.,引申探究,1.在本例条件下，证明：平面emn平面pac.,证明,因为abpa，abac， 且paaca，所以ab平面pac. 又mncd，cdab，所以mnab， 所以mn平面pac. 又mn平面emn， 所以平面emn平面pac.,2.在本例条件下，证明：平面efg平面pac.,证明,因为e，f，g分别为pb，ab，bc的中点， 所以efpa，fgac， 又ef 平面pac，pa平面pac， 所以ef平面pac. 同理，fg平面pac. 又effgf， 所以平面efg平面pac.,思维升华,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a

11、). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,跟踪训练2 (2016江苏)如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，d，e分别为ab，bc的中点，点f在侧棱b1b上，且b1da1f，a1c1a1b1. 求证：(1)直线de平面a1c1f；l,由已知，de为abc的中位线， deac，又由三棱柱的性质可得aca1c1， dea1c1， 又de 平面a1c1f，a1c1平面a1c1f， de平面a1c1f.,证明,(2)平面b1de平面a1c1f.,证明,在直三棱柱abc-a1b1c1中，aa1平面a1b1c1， aa

12、1a1c1， 又a1b1a1c1，且a1b1aa1a1， a1c1平面abb1a1， b1d平面abb1a1， a1c1b1d， 又a1fb1d，且a1fa1c1a1， b1d平面a1c1f， 又b1d平面b1de， 平面b1de平面a1c1f.,题型三直线、平面垂直的综合应用,例3如图所示，在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，abdc，pad是等边三角形，已知bd2ad8，ab2dc4 . (1)设m是pc上的一点，求证：平面mbd平面pad；,ad2bd2ab2，adbd. 又平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad， bd平面abcd，bd平面pad. 又bd平面mb

13、d，平面mbd平面pad.,证明,(2)求四棱锥pabcd的体积.,解答,过p作poad， 平面pad平面abcd， po平面abcd， 即po为四棱锥pabcd的高. 又pad是边长为4的等边三角形，po2 . 在四边形abcd中，abdc，ab2dc， 四边形abcd为梯形.,思维升华,垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.,跟踪训练3(2016全国乙卷)如图，已知正

14、三棱锥p-abc的侧面是直角三角形，pa6，顶点p在平面abc内的正投影为点d，d在平面pab内的正投影为点e，连接pe并延长交ab于点g. (1)证明：g是ab的中点；,证明,因为p在平面abc内的正投影为d， 所以abpd. 因为d在平面pab内的正投影为e，所以abde. 因为pdded，pd，de都在平面ped内， 所以ab平面ped，又pg在平面ped内， 故abpg. 又由已知可得，papb，从而g是ab的中点.,(2)作出点e在平面pac内的正投影f(说明作法及理由)，并求四面体pdef的体积.,解答,在平面pab内，过点e作pb的平行线交pa于点f，f即为e在平面pac内的正投

15、影. 理由如下： 由已知可得pbpa，pbpc，又efpb， 所以efpa，efpc，pcpap，pc与 pa都在平面pac中，因此ef平面pac，即 点f为e在平面pac内的正投影. 连接cg，因为p在平面abc内的正投影为d，所以d是正三角形abc的中心.,由(1)知，g是ab的中点，所以d在cg上，故cd cg.,由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且pa6，可得de2，pe2 . 在等腰直角三角形efp中， 可得efpf2，,由题设可得pc平面pab，de平面pab，,典例(12分)如图所示，m，n，k分别是正方体abcda1b1c1d1的棱ab，cd，c1d1的中点. 求证：(1)an

16、平面a1mk； (2)平面a1b1c平面a1mk.,立体几何证明问题中的转化思想,思想与方法系列16,规范解答,思想方法指导,(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.,返回,证明(1)如图所示，连接nk. 在正方体abcda1b1c1d1中， 四边形aa1d1d，dd1c1c都为正方形， a

17、a1dd1，aa1dd1， c1d1cd，c1d1cd.2分 n，k分别为cd，c1d1的中点，dnd1k，dnd1k， 四边形dd1kn为平行四边形，3分 kndd1，kndd1，aa1kn，aa1kn，,四边形aa1kn为平行四边形，ana1k.4分 a1k平面a1mk，an 平面a1mk， an平面a1mk.6分 (2)如图所示，连接bc1. 在正方体abcda1b1c1d1中，abc1d1，abc1d1. m，k分别为ab，c1d1的中点， bmc1k，bmc1k， 四边形bc1km为平行四边形，mkbc1.8分 在正方体abcda1b1c1d1中，a1b1平面bb1c1c，,bc1平

18、面bb1c1c，a1b1bc1. mkbc1，a1b1mk. 四边形bb1c1c为正方形，bc1b1c.10分 mkb1c. a1b1平面a1b1c，b1c平面a1b1c，a1b1b1cb1， mk平面a1b1c. 又mk平面a1mk， 平面a1b1c平面a1mk.12分,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1.已知直线m，n和平面，若，m，要使n，则应增加的条件是 a.n且mn b.n c.n且nm d.n,答案,解析,由面面垂直的性质定理知选c.,2.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 a.若，m，n，则mn b.若，m，n，则

19、mn c.若mn，m，n，则 d.若m，mn，n，则,答案,解析,a中，m与n可垂直、可异面、可平行； b中，m与n可平行、可异面； c中，若，仍然满足mn，m，n，故c错误；故选d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.(2016包头模拟)如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1垂直底面a1b1c1，底面三角形a1b1c1是正三角形，e是bc中点，则下列叙述正确的是 a.cc1与b1e是异面直线 b.ac平面abb1a1 c.ae与b1c1是异面直线，且aeb1c1 d.a1c1平面ab1e,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,a不正确

20、，因为cc1与b1e在同一个侧面中，故不是异面直线； b不正确，由题意知，上底面abc是一个正三角形，故不可能存在ac平面abb1a1； c正确，因为ae，b1c1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线； d不正确，因为a1c1所在的平面与平面ab1e相交，且a1c1与交线有公共点，故a1c1平面ab1e不正确，故选c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.正方体abcdabcd中，e为ac的中点，则直线ce垂直于 a.ac b.bd c.ad d.aa,答案,解析,连接bd，bdac，bdcc， 且a

21、cccc， bd平面cce. 而ce平面cce， bdce. 又bdbd，bdce.,5.如图所示，直线pa垂直于o所在的平面，abc内接于o，且ab为o的直径，点m为线段pb的中点.现有结论：bcpc；om平面apc；点b到平面pac的距离等于线段bc的长.其中正确的是 a. b. c. d.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,对于，pa平面abc，pabc， ab为o的直径，bcac，bc平面pac， 又pc平面pac，bcpc； 对于，点m为线段pb的中点，ompa， pa平面pac，om 平面pac， om平面pac； 对于，由知bc平面pac， 线段b

22、c的长即是点b到平面pac的距离， 故都正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.如图，bac90，pc平面abc，则在abc和pac的边所在的直线中，与pc垂直的直线有_；与ap垂直的直线有_.,答案,解析,ab、bc、ac,ab,pc平面abc，pc垂直于直线ab，bc，ac；abac，abpc，acpcc， ab平面pac，与ap垂直的直线是ab.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，且底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足_时，平

23、面mbd平面pcd.(只要填写一个你认为是正确的条件即可),答案,解析,dmpc(或bmpc等),由定理可知，bdpc. 当dmpc(或bmpc)时，即有pc平面mbd， 而pc平面pcd，平面mbd平面pcd.,8.如图，pa圆o所在的平面，ab是圆o的直径，c是圆o上的一点，e，f分别是点a在pb，pc上的射影，给出下列结论： afpb；efpb；afbc； ae平面pbc. 其中正确结论的序号是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由题意知pa平面abc，pabc. 又acbc，且paaca， bc平面pac，bcaf. afpc，且bcpcc， af平

24、面pbc， afpb，又aepb，aeafa， pb平面aef，pbef. 故正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个.,答案,解析,2,若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题； 若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题； 若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10

25、.(2016四川)如图，在四棱锥p-abcd中，pacd，adbc，adcpab90，bccd ad. (1)在平面pad内找一点m，使得直线cm平面pab，并说明理由；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,取棱ad的中点m(m平面pad)，点m即为所求的一个点，理由如下： 连接bm，cm.,所以bcam，且bcam， 所以四边形amcb是平行四边形，从而cmab. 又ab平面pab，cm 平面pab. 所以cm平面pab. (说明：取棱pd的中点n，则所找的点可以是直线mn上任意一点),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2)证明：平面pab平面pbd.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由已知，paab，pacd.,所以直线ab与cd相交， 所以pa平面abcd， 从而pabd. 又bcmd，且bcmd. 所以四边形bcdm是平行四边形，,1,2,3,4,5,6