线性代数第6章二次型.ppt

1、1,1,1,第六章 二次型 1 二次型及其矩阵(对称矩阵) 2 化二次型为标准形(配方法和正交矩阵法) 3 化二次型为规范形和惯性定理 4 正定矩阵,2,2,2,平面解析几何中，,确定一条二次曲线，为了研究二次曲线的性质，通过坐标变换消去交叉项，化为标准形,函数的研究中，需要用线性函数和二次型逼近：,函数的一些性质依赖 的性质.,3,3,3,1 二次型及其矩阵,一、基本概念 二、线性变换 三、合同矩阵,4,4,4,一、基本概念,定义 n个变量 的二次齐次函数,其中 为常数，称为(n元)二次型.展开写,5,5,5,6,6,6,把二次型写成矩阵形式,A称为二次型的矩阵.二次型和其矩阵一一对应矩阵A

2、的秩称为二次型的秩.,7,7,7,8,8,9,9,9,例 给定二次型,求其矩阵. 解,对角线上写平方项系数,对角线上方ij(ji)位置写 系数的一半,对角线下方按照对称填写元素.,这个二次型的秩是多少?,10,10,10,例给定对称矩阵,求相应的二次型. 解,以对角线元素做系数写出相应平方项,以对角线上方元素的2倍做系数写出相应的含 的项.,11,11,11,例设 求其矩阵. 解,r(A)=?,12,12,12,定义 形如,的二次型称为二次型的标准形.,13,13,13,定义 形如,的实二次型称为规范二次型.,p个,r-p个,n-r个,把一般二次型能否化成标准形，乃至规范形，这需要进行线性替换

3、.,14,14,14,本章中心任务是通过可逆线性替换化实二次型为标准形和规范形.,15,15,15,二、线性替换,定义 设两组变量有关系,称为由 到 的线性替换。,称为线性替换的矩阵.,16,16,16,定义 如果线性替换的矩阵为正交矩阵,则称它为正交替换.,17,17,17,三 合同矩阵,定义 设A,B是n阶矩阵,如果存在可逆线性替换C.使得,则称矩阵A,B是合同的,记作,定理 经过可逆线性替换,原二次型矩阵与新二次型的矩阵合同.,18,18,18,合同关系具有以下性质: 1.反身性: 2.对称性: 3.传递性:,19,19,19,例试证矩阵A,B合同,可逆,20,20,20,21,21,2

4、1,2 化二次型为标准形,一 、用配方法化任意二次型为标准形,二、用正交替换化实系数二次型为标准形,22,22,22,配方法,一 、用配方法化任意二次型为标准形,23,23,23,例 化二次型 为标准形,并且写出所做线性替换. 解,24,24,24,令,则得,反解,25,25,25,所做线性替换是,验证,是可逆线性替换.,26,26,26, A:=matrix(1,-1,1,-1,-3,-3,1,-3,4);C:=matrix(1,1/2,-3/2,0,1/2,-1/2,0,0,1);CTAC:=multiply(transpose(C),A,C);,27,27,27,例 化二次型 为标准形.

5、 解 做可逆线性替换令,得,28,28,28,令,从 到 的线性替换是,则,从 到 的线性替换是,29,29,29,所做线性替换是.,由于,是可逆线性替换.,用例题中的方法结合数学概念法可以证明,30,30,30,定理 二次型 用可逆线性替换 化成标准形,推论 对于对称矩阵A,存在可逆矩阵C,使得,是如上形式的对角矩阵.,31,31,31,证明 用数学归纳法.设二次型为 n=1时, 结论显然成立.设结论对于 n-1元二次型成立.现在讨论 n 元二次型.如果平方项有一个系数例如 把 f 看成 的二次多项式,配方得,令,反解得,32,32,32,对于g 利用归纳假设,存在n-1阶可逆线性替换,使得

6、,做线性替换,则得,可逆.,33,33,33,如果平方项系数全为零,设 做线性替换,则得 根据前面的讨论,存在可逆线性替换 即 ,使得,34,34,34,二、用正交替换化实系数二次型为标准形,实系数二次型 的矩阵是实对称矩阵,根据第五章存在正交矩阵Q使得,而 做正交替换 则得标准形 定理 对于实二次型f=XTAX,存在正交替换X=CY,把它化成对角形,而且对角线元素是矩阵A的特征值.,35,35,35,36,36,例 二次曲面,二次项组成的二次型的矩阵的特征值基本上决定了二次曲面的形状.,37,38,38,椭球面,单叶双曲面,双叶双曲面,锥面,39,39,40,40,椭圆抛物面,双曲抛物面,椭

7、圆柱面,双曲柱面,一对相交平面,41,41,42,抛物柱面,一对平行平面,一对重合平面,43,44,44,作业 习题六 1,2,3,4,5,6,7.有小题者,只做单号小题.,45,45,45,3 化实二次型为规范形,定理(惯性定理)任意一个n个变量的实二次型 f 都可以经过可逆线性替换X=CZ化为唯一规范形,其中的r是二次型 f 的秩.,证明设可逆线性替换 化为标准形,其中r为 f 的秩, 再作可逆线性替换,则有,46,46,46,在证明唯一性之前，先解释一下线性替换的意义.,为 f 的规范形的矩阵,而,为 C 的线性无关的列向量组.,47,考虑四个变量的二次型 设作可逆线性替换 ,f 化为规

8、范型,若 则 若 则 若 则 若 则,48,48,48,现在证明唯一性.设有两个非退化线性替换,设 考虑向量组,其个数是,故这个向量组线性相关，于是存在不全为零的数 使得,使得,要证p=q.用反证法. 设 ,由于 则有 .,49,49,49,于是,矛盾.故,50,50,50,定义 上述定理中的系数+1(1)的个数p(r-p)称为二次型的正(负)惯性指数,2pr称为符号差.,51,51,51,51,例化二次型,为规范形.,52,53,53,53,53,54,54,54,54,反解得,55,55,55,55,56,56,56,56,57,57,57,57,58, A:=matrix(1,-1,1,

9、-1,-1,1,1,-2,1,1,1,0,-1,-2,0,-2); C:=matrix(1,0,1/(sqrt(3),-2/3,0,1/sqrt(3),0,-1/3,0,0,0,1,0,-1/sqrt(3),1/sqrt(3),2/3);multiply(transpose(C),A,C);,59,59,59,59,证明一 A可逆,其特征值 逆矩阵A-1的特征值 A与A-1的正惯性指数都等于正的 的个数p,秩都是r,故它们合同. 证明二 由于 A可逆，利用等式 直接根据定义即知A与A-1合同.,例实对称可逆矩阵A与其逆矩阵A-1合同.(习题六4),60,60,60,作业 习题六 4，8(1),

10、(3)(实数情形),61,61,61,61,4 正定二次型和正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质,62,62,62,62,一、基本概念,定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非零向量X，二次型f(X)=XTAX均为正数，则称二次型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵. 定义 如果对于任意向量X，二次型f(X)= XTAX均为非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的，其矩阵A 称为半正(负)定矩阵. 定义 如果实二次型f(X)= XTAX对于某些向量X为正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二次型f(X)=是不定的.,63,63,63,63,例,64,64

11、,64,64,这就证明了条件的充分性.,65,65,65,设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是属于 的特征向量, 则有,于是,必要性得证.,推论 若A是正定矩阵,则|A|0.,证明,65,66,66,66,66,定理 实对称矩阵A负定的充分必要条件是其 特征值都是负数.,67,67,67,67,例 判断下列矩阵是否为正定矩阵,解,68,68,68,68,69,69,69,69, E:=matrix(1,0,0,0,1,0,0,0,1);A:=matrix(6,-2,2,-2,5,0,2,0,7);f:=det(lambda*E-A);f_factor:=factor(f);, eigen

12、values(A);eigenvects(A);,70,70,70,70,例设A为n阶实对称矩阵,且满足 证明A为正定矩阵. 证明设 为A的特征值,则 为 的特征值,故,71,71,71,71,无实根.A的特征值为1,n重,故 A是正定矩阵.其实这里的A 就是单位矩阵.,72,72,72,72,定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与单位矩阵合同.,证明 充分性.设实对称矩阵A合同于E,即存在可逆矩阵C,使得 对于任意向量XO,由于C可逆,可从 解出Y O,于是,故A是正定的.,必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对称的,A合同于一个对角矩阵 ,其对角线元素是A的特征值 由于A是正定的

13、,这些特征值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,故A合同于单位矩阵.,73,73,73,定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,P可逆.对于任意 ,由于P可逆,PXo,故,设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得A=PTEP=PTP.,74,74,74,例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得RTAR和RTBR同时为对角形. 证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则,为对角形.,75,75,75,例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换. 证明必

14、要性 设AB正定,则AB对称, 充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正定,A=CCT, C可逆.AB=CCTBCTBC, CTBC是正定矩阵,特征值全为正数,AB与CTBC有相同的特征值,也全为正数,故AB正定.,76,76,76,76,定理 n阶实对称矩阵A负定的充分必要条件是它与 负单位矩阵 合同.,77,77,77,77,为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我们引进 定义 给定实对称矩阵 则其前s行前s列元素组成的行列式 称为A的顺序主子式.即,78,78,78,78,79,79,79,79,充分性.设矩阵A的所有顺序主子式0.要证明A是正定矩阵.用数学归纳法证明.n=1时显然

15、:,设对于n1结论成立.An-1正定,存在n-1阶非退化矩阵G,使得,令,则,记,80,81,82,故A是正定矩阵. 以下是这个证明中的矩阵缩写后的证明,大家可以对照阅读.,83,83,83,83,令,84,84,84,84,令,令,则,于是A与单位矩阵合同,故A是正定的.,推论 n阶实对称矩阵A负定 顺序主子式Ai满足,85,用配方法证明定理.仍用数学归纳法.n=1时结论成立.设对于n-1阶矩阵结论成立,则An-1正定.存在n-1阶可逆矩阵G,使得,86,87,88,88,88,88,例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.,解,故A正定.,89,89,89,89,实对称矩阵A正定的充分必要

16、条件是 1.其特征值都是正数. 2.A合同于 3. 可逆. 4.A的顺序主子式全是正数. 5.A的主子式全是正数.,90,90,90,90,例 判断下列二次型是否正定:,91,91,91,92,92,92,例 t在什么范围取值时二次型,是正定二次型? 解,93,93,93,94,94,94,定义 实对称矩阵A的第 行和第 列的元素组成的行列式称为主子式. 例如,是2阶主子式.其中只有 是2阶顺序主子式.,95,95,95,95,实对称矩阵A半正定的充分必要条件是 1.其特征值都是非负数. 2.A合同于 3.A的正惯性指数p=r. 4.A的所有主子式非负.,96,96,96,定理 实对称矩阵A半

17、正定的充分必要条件是所有主子式非负. 证明 设A半正定.则A+tE正定.其所有主子式,个.,97,97,97,98,98,98,99,99,99,99,三、正定矩阵的性质,1.若A为正定矩阵,则|A|0,A可逆. 2.若A为正定矩阵,则A-1也是正定矩阵. 证明 A为正定矩阵,其全部特征值为正数,A-1的全部特征值是它们的倒数,也全是正数,故A-1正定. 3.正定矩阵的对角线元素都是正数. 4. A为正定矩阵,Ak也是正定矩阵. 5.A,B为同阶正定矩阵,则A+B是正定矩阵. 6.若A为正定矩阵,则存在可逆矩阵P,使得A=PPT. 7. A为正定矩阵,A 的所有主子式大于零.,100,100,

18、100,100,证6 由于A合同于单位矩阵,存在可逆矩阵Q,使得A=QTEQ=QTQ=QT(QT)T=PPT,P=QT. 8. 若A为n阶正定矩阵, 则 是m阶正定矩阵.,对于任意m维列向量 由于,矩阵P的列向量组线性无关, 是P的列向量的非零线性组合,故 而A正定,故,故 是正定矩阵.,证明 显然对称,101,101,101,的若干性质,1.若A为n阶可逆矩阵,则 为正定矩阵.,证明 是实对称矩阵 .对于任意 A可逆, 否则,故 正定.,2.若A为 矩阵,且 则 为m阶正定矩阵, 为n阶半正定矩阵,但非正定矩阵.,证明 任意 A的列向量组线性无关,102,102,102,的列向量组线性相关，

19、存在n维列向量 使得 ,于是,故 不是正定矩阵。,故 半正定.,103,103,3.若A为 矩阵,且 则 和 分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵.,故 半正定. 列向量组线性相关,存在非零向量X,使得AX=O,故 非正定.,例 m个实列向量 构造Gram矩阵,则G半正定. G正定的充分必要条件是 线性无关. 证 令 则,G实对称, 对于任意,故G半正定.,105,设 线性无关, 则,故G正定. 设 线性相关,则存在 使得PX=o, 于是有,故G不是正定的.,106,106,例 实二次型,当 满足什么条件时,此二次型是正定的? 解,正定的充分必要条件是D可逆,故 f 正定的充分必要条件是,1

20、07,例 设某企业用一种原料X生产两种产品Q1,Q2,它们的价格分别为x,q1,q2, X的投入量,的价格分别为 利润函数为,利润极大化一阶条件为,108,解之得,极大化二阶条件为海色矩阵,在 处为负定矩阵.H在 处为,的负惯性指数为2, 故负定.因此利润极大化的产量为,109,109,109,109,作业 习题6 11，12(2)，13，14，17， 19.,110,第四章至第六章内容提要,向量内积,内积性质,向量长度,向量正交,正交向量组:非零向量组,单位向量,n维正交向量组是线性无关向量组,最多有n个向量.,内积和正交,正交向量组线形无关.,111,正交矩阵: 行向量组是单位正交向量组;

21、 列向量组是单位正交向量组;,线性无关向量组 的正交化:,特征值为,112,例 可逆矩阵A, 存在正交矩阵B和上三角矩阵T,使得B=AT. 证 可逆,其列向量组线性无关,进行施密特正交化和单位化得单位正交向量组:,113,114,特征值 作为特征方程 的根的重数a称为 的代数重数,即,如果 是A的特征值 ,则属于 的线性无关特征 向量的个数称为它的几何重数. 定理 几何重数小于或等于代数重数.,115,相似矩阵 存在可逆矩阵P,使得 , 则说A相似于B,记作,相似关系具有反身性,对称性和传递性.,n阶矩阵A相似于一个对角矩阵的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量.,矩阵An相似对角化过程

22、: 1.解特征方程 得特征值 2.对于每个特征值 求齐次方程组 得基础解系 3.如果各组基础解系共有n个向量,以每个特征向量作列向量组成矩阵P,则 是特征值组成的对角矩阵.,特征多项式相同，特征值及其重数相同，迹相同,116,已经知道A的特征值和特征向量,求 A.,一般情形,A可逆,解矩阵方程,117,A对称,可逆,则其逆也对称, A,B对称,AB对称充分必要条件,A,B可交换,118,118,实对称矩阵的对角化的步骤,上面的定理给出实对称矩阵A的对角化的步骤：,(2)对于每个ki 重特征值 求解齐次线性方程组,得到它的一个基础解系,利用施密特正交化方法把它正交化得,再单位化得,(1)求特征方

23、程|E A|=0的全部根,(3)令 则有,119,119,定义 n个变量 的二次齐次函数,其中 为常数，称为(n元)二次型.,合同,合同关系具有反身、对称和传递性. 实对称矩阵A合同于一个对角矩阵,120,120,合同对角化方法 1.配方法:通过配方求可逆线性替换X=CY,得到 D是r个非零元素di构成的对角矩阵. 2.正交替换法. 惯性定理合同于实对称矩阵A的对角矩阵中正元素个数p 仅与A有关.,121,定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵.,实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A的 各顺序主子式