7.1 概率论与数理统计 (复旦大学出版社) 南京财经大学朱玲妹老师的课件.ppt

1、1 点 估 计,( point estimate ),返回目录,数理统计的核心是统计推断(由样本推断总体),第一类 统计估计(参数估计),第二类 统计假设检验,数理统计的主要方法:,参数性方法 参数估计,参数假设检验.,非参数方法.,参数估计: 点估计,区间估计.,点估计问题的一般提法:,设总体 X 的分布函数 F (x;)的形式已知,是待估参数.,X1, X2, Xn是总体 X 的一个样本,x1, x2, xn是相应的一个样本值.,构造一个适当的统计量,用 作为的近似值.,称 为的估计值,称 为的估计量,统称为估计.,2. 希望估计量能代表真实的参数,根据不同的要求,制定评价估计量好坏的标准

2、.,介绍常用构造估计量的方法：,矩估计法,极大似然估计.,例 总体X N(,2 ), ,2 未知,(一) 矩估计法,英国统计学家皮尔逊（K. Pearson）,矩估计法的具体做法：,用样本矩估计相应的总体矩,用样本矩的函数估计相应的总体矩的函数.,总体 X 的分布包含 k个待估计的参数1,2,k,在总体 X 的前 k 阶原点矩存在时,连续型,离散型,总体的 l 阶原点矩是1,2,k的函数,从中解出1,2,k,来估计总体相应的矩i,用样本的 l 阶矩,得矩估计为,例1 总体X 服从参数为的指数分布,求的矩估计量.,解:,例2 总体X 的均值和方差2 都存在, 求,2 的矩估计量.,例如:,例3

3、设总体X 在(a,b)上服从均匀分布, a ,b 未知,X1, X2, Xn来自总体X 的样本,求 a , b 的矩估计量.,解:,(二) 最大似然估计法,例 甲、乙两个口袋中各装4 个同样大小的球, 分别涂有白色或黑色,已知甲袋中黑球数为1,乙袋中黑球数为3,(1) 现任取一袋,再从该袋中任取一球,发现是黑球,问该球最象取自哪一袋?,(2) 现任取一袋,再从该袋中有放回地任取三球,其中有一个黑球,问此时最象取自哪一袋?,解: (1) p 为抽到黑球的概率,我们会判断该球来自乙袋.,我们会判断该三球来自甲袋.,(2) X : 抽取的三个球中黑球的个数,在给定了样本观察值后,计算该样本出现的概率

4、,这个概率依赖于p 的值.,观察结果出现的可能性最大.,思想方法: 选取 作的估计量,使当 时,1. d .r .v . X : 分布律,样本X1, X2, Xn的联合分布律,称 参数的最大似然估计量.,2. c .r .v . X : 概率密度,样本X1, X2, Xn的联合密度,找 使,称 为参数的最大似然估计值,对固定的样本值(x1, x2, xn) ,在参数空间内选取,似然函数:,lnx 是x 的单调函数.,对数似然函数:,对数似然方程:,对数似然方程的解:,参数的最大似然估计量.,例4 设(X1, X2, Xn) 是来自泊松总体()的样本,其中 0是未知参数,求的极大似然估计量.,解

5、：总体 X 的分布律为,似然函数:,似然方程是,参数的极大似然估计量,参数的最大似然估计值.,例5 设x1, x2, xn 是来正态自总体N (,2 ) 的一个样本值,其中,2 是未知参数,求,2 的最大似然估计量.,解：总体 X 的概率密度为,似然函数是,似然方程组是,最大似然估计量,例:某化工厂用自动打包机打包,某日测得9包的重量是49.3, 48.7, 50.5, 51.2, 48.3, 49.7, 49.5, 52.1, 50.5. 包重X 服从正态分布,求,2 的极大似然估计量.,试由样本x1, x2, xn ,求 a, b 的最大似然估计量.,解：X 的密度函数,例6 设总体X 在

6、a,b上服从均匀分布, a ,b 未知,时 最大.,a, b 的最大似然估计量,思考题：,均匀分布的矩估计量与最大似然估计量一样吗?,思考题答案：,均匀分布的矩估计量与最大似然估计量不一样.,矩估计量,最大似然估计量,练习题：,1. 设总体 X的密度函数为,X1, X2, Xn是总体的一个样本,求的矩估计量.,2.设总体 X 的密度函数为,而X1, X2, Xn 是来自总体X 的简单随机样本,求参数的矩估计量.,3. 设总体 X 的分布函数为,其中未知参数1, X1, X2, Xn为来自总体 X 的简单随机样本,求的矩估计量.,4. 设总体 X 的密度函数为,X1, X2, Xn是取自总体X 的简单随机样本,(1) 求的矩估计量 ;,(2) 求 的方差 .,6. 设总体 X的密度函数为,X1, X2, Xn是总体的一个样本，求参数的最大,7. 设总体 X 服从参数为的指数分布, X1, X2, Xn是总体的一个样本,求参数的最大似然估计量.,似然估计量.,5. 求01分布的最大似然估计.,8. 设随机变量 X 的分布函数为,其中参数0,1,设X1, X2, Xn为来自总体X的简单随机样本.,(1)当=1时,求未知参数的最大似然估计量;,(2)当=2时,求未知参数的最大似然