兰州市高三实战考试数学

1、2012 年高三实战考试 数学参考答案与评分参考 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 理科 （1）B（2）A（3）C（4）D（5）C（6）B （7）A（8）D（9）C（10）A（11）B（12）C 文科 （1）B（2）A（3）C（4）D（5）C（6）B （7）A（8）D（9）C（10）A（11）B（12）C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. （13） （理、文）2（14）42（15） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. （17）理科 解：()4bcos AcosB 9asin B 4cos AcosB 9sin Asin

2、B3 分 显然cos AcosB 0 2 525 R（16）(x2)2(y)2 243 4 5 分 9 4 ()由()知，tan AtanB 0，故有tan A 0，tanB 0 9 4 tan A tan B 2 tan Atan B 6 分 3 tan A tan B9 (tan A tan B) tanC tan(A B) tan(A B) 1tan Atan B5 912 2 tan Atan B 8 分 55 12 当且仅当tan A tanB，即A B时，tanC取得最大值，此时ABC为等腰三角 5 tan Atan B 形10 分 文科 解：设数列an的公差为d，首项为a1 S6

3、 02a15d 03 分 又S7 7a13d 16 分 由解得a1 5，d 28 分 2 所以数列an的通项公式为an 2n7，前n项和Sn n 6n10 分 （18）理科 解： （）事件A、B、C中至少有两件发生的概率为 P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) 31131121131111 6 分 52252252252220 （）取的可能结果为 0,1,2,3,则 P( 0) P(A)P(B)P(C) 21121 5222010 P(1) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) 31121

4、12117 52252252220 P( 2) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) 31131121182 522522522205 3113 P( 3) P(A)P(B)P(C) 10 分 52220 17238 12 分数学期望 E =0+1+2+3 10205205 文科 解：()4bcos AcosB 9asin B 2 4cos AcosB 9sin Asin B3 分 显然cos AcosB 0 4 6 分 9 4 ()由()知，tan AtanB 0，故有tan A 0，tanB 0 9 4 tan A tan B 2 tan Atan

5、B 8 分 3 tan A tan B9 tanC tan(A B) tan(A B) (tan A tan B) 1tan Atan B5 912 2 tan Atan B 10 分 55 12 当且仅当tan A tanB，即A B时，tanC取得最大值，此时ABC为等腰 5 tan Atan B 三角形12 分 （19）理科 解法一 （）证明： AE 平面ABC，BD 平面ABC AEBD而AE平面BCDBD平面BCD AE平面BCD5 分 （）BD 平面ABC 平面BCD平面ABC 在平面BCD中过点M做MN BC，垂足为N，则有 C N M E D A G B MN平面ABC，MNB

6、D， EMN 2 且MNAE 过N做NG AB于G， 连接MG则MG AB， 所以MGN为二面角M ABC 的一个平面角7 分 在四边形AEMN中 EAN ANM NME 四边形AEMN为矩形 MN=AE 1 2 M为CD的中点，N为BC的中点10 分 在RtMNG中，MN 1，NG BN sinABC 3 2 tanMGN MN12 3 12 分 NG33 2 解法二 依题意建立如图所示空间直角坐标系，则 A(,0,0,0)，B(1, 3,0)，C(2,0,0)，D(1, 3,2) z E D E(0,0,1) uuu ruuu r （）AE (0,0,1)BD (11, 3 3,2 0)

7、(0,0,2) uu u ruu u r BD 2AE AEBD而AE平面BCDBD平面BCD AE平面BCD （）M在DC上 C x M A y B uuu ruu u r CM CD 设M(x, y,z)，则有x 2，y 3，z 2 uuur EM (2, 3,21) EM BD uuur uuu r EM BD (2)030(21)2 0 解得： 1 2 M( , 33 ,1) 22 uuu r r 依题意AE (0,0,1)为平面ABC的一个法向量， 设n (x, y,z)为平面MAB的一个 法向量，则有 u r x 3y 0r uu nAB 0 即3令x 3解得y 1，z 3 ruu

8、u r 3 y z 0 x nAM 0 22 n ( 3,1, 3) r r r uu u uu u r rn AE 33 uu u r cos n,AE r 7|n | AE |1 7 显然，二面角M ABC为锐二面角，所以二面角M ABC的余弦值为 3 7 二面角M ABC的正切值为 文科 2 3 3 解： （）事件A、B、C中至少有两件发生的概率为 P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) 31131121131111 6 分 52252252252220 （）依题意有 2 9 分 5 31312121 即 (1 p) p p

9、 解得p 11 分 52525252 1 所以p的取值范围是 ,112 分 2 P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) （20）理科 解：()由 n1 得：a 1 a 2 L a n n(2n1)， a 1 a 2 L a n 2n1 2 即Sn 2n n3 分 当n 2时，an SnSn1 n(2n1)(n1)(2n1) 4n1 又n 1时，a1 S1 3 an 4n1(nN )6 分 ()假设存在最大的实数，当x 时，对一切nN都有f (x) 0成立，即有 1n xb i 0成立 2 i1 1n 当x 时，对一切nN都有x b i 成立8 分 2 i1

10、 bn 161616 (a n 1)(a n 5)(4n11)(4n15)4n(4n4) 111 n(n1)nn1 1111111n1 b ( )( )L () 110 分 i 1223nn1n1n12 i1 n 当x 时，对一切nN都有x 11 成立，解得x 0 22 可取 0，当x 时，对一切nN都有f (x) 0成立12 分 文科 解法一 （）证明： AE 平面ABC，BD 平面ABC AEBD而AE平面BCDBD平面BCD AE平面BCD5 分 （）BD 平面ABC 平面BCD平面ABC 在平面BCD中过点M做MN BC，垂足为N，则有 M E D A G B MN平面ABC，MNBD

11、， EMN 2 且MNAE C N 过N做NG AB于G， 连接MG则MG AB， 所以MGN为二面角M ABC 的一个平面角7 分 在四边形AEMN中 EAN ANM NME 四边形AEMN为矩形 MN=AE 1 M为CD的中点，N为BC的中点10 分 在RtMNG中，MN 1，NG BN sinABC 2 3 2 tanMGN MN12 3 12 分 NG33 2 解法二 依题意建立如图所示空间直角坐标系，则 z E DA(,0,0,0)，B(1, 3,0)，C(2,0,0)，D(1, 3,2) E(0,0,1) uuu ruuu r （）AE (0,0,1)BD (11, 3 3,2 0

12、) (0,0,2) uu u ruu u r BD 2AE AEBD而AE平面BCDBD平面BCDx AE平面BCD （）M在DC上 C M A y B uuu ruu u r CM CD 设M(x, y,z)，则有x 2，y 3，z 2 uuur EM (2, 3,21) EM BD uuur uuu r EM BD (2)030(21)2 0 解得： 1 2 M( , 33 ,1) 22 uuu r r 依题意AE (0,0,1)为平面ABC的一个法向量， 设n (x, y,z)为平面MAB的一个 法向量，则有 uu u r x 3y 0r nAB 0 即令x 3解得y 1，z 3 uuu

13、 r3r 3 y z 0 x nAM 0 22 n ( 3,1, 3) r uuu r r AEn 0 30(1)1( 3) 3 r r uu u uu u r rn AE 33 uu u r cos n,AE r 7|n | AE |1 7 显然，二面角M ABC为锐二面角，所以二面角M ABC的余弦值为 3 7 二面角M ABC的正切值为 （21）理科 2 3 3 解：（）依题意有： c23 2， 2 2 1且c2 a2b2 aab 所以a21，b2 3 y2 双曲线C的方程为x 14 分 3 2 （）若直线l的斜率不存在，则直线l与双曲线C没有交点，故满足条件的直线l不存在 若直线l的斜

14、率为0，则线段AB为 y 轴平行；不满足条件，直线l不存在 若直线l的斜率为 3，则直线l与双曲线C的渐近线平行，故满足条件的直线l不 存在 若直线l的斜率存在，且不为0不为 3时设为k，则直线l的方程为 y kx1 6 分 y kx1 设A(x1, y1)、B(x2, y2)，由 2 y2得 1 x 3 (3k2)x2kx4 0 4k 16(3k ) 0 2 k 2 7 分 22 2k6 y y 12 22k 3k 3 k3 , 2 ) 线段AB的中点为( 2k 3 k 3 31k (x 2 ) 线段AB的垂直平分线y 2k 3kk 3 4k4 ,0)Q(0, 2 ) P( 2k 3k 3

15、2k2 , 2 ) 线段PQ的中点为( 2k 3 k 3 x 1 x 2 若四边形APBQ为菱形，则线段PQ的中点在直线l上，所以 22k k1 k23k23 解得k2 1，这矛盾11 分 综上，不存在满足条件的直线12 分 文科 2a 2 4a2 ) b 解： （）f (x) 3x 4axb 3(x 33 2 4a212a4 b 解得a 2b 53 分 3333 2 f(x)x 4x 5x2 f (x) 3x 8x5 (3x5)(x1) 32 55 时，f (x) 0，故函数y f (x)在(,1或 ,)上单调递增 33 55 当1 x 时，f (x) 0，故函数y f (x)在1, 上单调

16、递减 33 当x 1或x x 1时，函数y f (x)取得极大值f (1)1452 0 555554 x 时，函数y f (x)取得极小值f ( ) ( )34( )25 2 6 分 3333327 32 （）由（）得f (x) x 4x 5x 2 32 f (x) g(x) x 3x 9x m 2 令h(x) f (x) g(x)，则h(x) 3x 6x9 3(x1)(x3) 函数h(x)在(,1上单调递增，在1,3上单调递减，在3,)上单调递增 h(x)极大值 h(1) 3 m，h(x)极小值 h(3) m-299 分 方程f (x) g(x) 0只有一个实根 2 3m 0 3m 0 或解

17、得m 3或m 29 m29 0m29 0 m的取值范围是(,3)(29,)12 分 （22）理科 解： （）依题意f (x) 2x1 g(x) ln x f (x) f (x) ln x(x x)(2x1) 2x 3x xln x 232 1(1 x)(6x21) 2 g(x) 6x 6x1 3 分 xx g(x)的定义域为(0,) 6x21 0 x 当0 x 1时，g(x) 0；当x 1时，g(x) 0；当x 1时，g(x) 0 g(x)在(0,1上是增函数，在1,)上是减函数 当x 1时，g(x)取得最大值g(1) 06 分 () f (x) f ( ) x x 111 2 1 (x )

18、2(x ) x2xxx 111 2 11 不等式f (x) f ( ) (x )lnm可化为(x) 2(x) (x)lnm xxxxx 1 x 0 x 2(当且仅当x 1时取“=”) x 1 2 设x t(t 2)则可得t 2t tlnm x 2 lnm t 1(t 2) 10 分 t 2 t 1在2,)上是增函数 t 22 t 1的最小值为21 0 t2 2 1 x lnm 0 0 m 112 分 文科 解：（）依题意有： c23 2， 2 2 1且c2 a2b2 aab 所以a21，b2 3 y2 双曲线C的方程为x 14 分 3 2 （）若直线l的斜率不存在，则直线l与双曲线C没有交点，故满足条件的直线l不存在 若直线l的斜率为0，则线段AB为 y 轴平行；不满足条件，直线l不存在 若直线l的斜率为 3，则直线l与双曲线C的渐近线平行，故满足条件的直线l不 存在 若直线l的斜率存在，且不为0不为 3时设为k，则直线l的方程为 y kx1 6 分 y kx1 设A