高一数学上学期期末复习 专题05 平面向量导学案

1、第五讲 平面向量一、基础知识整合（一）平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有_又有_的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的_(或称模).的模记作_(2)零向量：_的向量叫做零向量，其方向是_的(3)单位向量：长度等于_的向量叫做单位向量.是一个与a同向的_是一个与a_的单位向量(4)平行向量：方向_或_的_向量叫做平行向量平行向量又叫_，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：0与任一向量_(5)相等向量：长度_且方向_的向量叫做相等向量(6)相反向量：长度_且方向_的向量叫做相反向量(7)向量的表示方法：用_表示；用_表示；用_表示2向量的加法和减法(1)向量的加法三角形法

2、则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为_以第二个向量b的终点B为_的向量就是a与b的_(如图1)推广：An1An_. 图1 图2平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作ABCD，则以A为起点的_就是a与b的和(如图2)在图2中，b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式加法的运算性质：ab_(交换律)；(ab)c_(结合律)；a0_a.(2)向量的减法已知向量a，b，在平面内任取一点O，作a，b，则_，即ab表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)3向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作

3、_，它的长度与方向规定如下：_；当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当0时，a_.(2)运算律：设，R，则：(a)_；()a_；(ab)_.4两个向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数，使得_（二）平面向量的基本定理及坐标表示 1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使_我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_2向量的夹角(1)已知两个_向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角(如图)(2)向量夹角的范围是_a与b同向时，夹角_；a与b反向时，夹角_

4、.(3)如果向量a与b的夹角是_，我们就说a与b垂直，记作_3平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个_的向量，叫做向量的正交分解(2)在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.则实数对_叫做向量a的(直角)坐标，记作a_，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示与a相等的向量的坐标也为_显然，i_， j_，0_.4平面向量的坐标运算(1)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.(2)如果A(x1，y1)，B(

5、x2，y2)，则_.(3)若a(x，y)，则a_.(4)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab的充要条件是_5.线段的分点坐标设点P是线段P1P2上的一点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)当时，点P的坐标(x，y).特别地：当1时，点P为线段P1P2的中点，其坐标为P.G(x，y)为ABC的重心，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则AB中点D的坐标为.再由2，我们便得到了三角形的重心坐标G(，)（三）平面向量的数量积1数量积的概念已知两个非零向量a与b，我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作_，即ab_，其中是a与b的夹角，|

6、a|cos(|b|cos)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的_ab的几何意义：数量积ab等于_2数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律交换律：_；数乘结合律：_；分配律：_(2)常用结论(ab)2_；(ab)(ab)_； a2b20_；|_.3数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则 ea_. ab_.当a与b同向时，ab_；当a与b反向时，ab_.特别地，aa_或_. cos_._.4数量积的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_；a2_；_. ab_._.（四）平面向量的应用1用向量方法解决几何问题的“三步曲”(1)建立平面几

7、何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系2向量的符号形式及图形形式的重要结论(1)向量的和与差的模：_，_.(2)G为ABC重心的一个充要条件：_；O为ABC外心的一个充要条件：_；P为ABC垂心的一个充要条件：_.(3)不同的三点A，B，C共线存在，R，使得，O为平面任意一点，且_3向量坐标形式的几个重要结论设a(x1，y1)，b(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，为a与b的夹角(1)长度或模_；_.(2)夹角cos_.(3)位置

8、关系ab_(b0且R)_.ab_.【答案】（一）平面向量的概念及线性运算1(1)大小方向长度(2)长度为0任意(3)1个单位长度单位向量方向相反 (4)相同相反非零共线向量平行(5)相等相同(6)相等相反 (7)字母有向线段坐标2(1)起点终点和对角线 baa(bc)0a(2)ab3(1)a|a|相同相反0(2)(a)aaab4ba（二）平面向量的基本定理及坐标表示 1a1e12e2基底2(1)非零(2)01800180(3)90ab3(1)互相垂直(2)(x，y)(x，y)(x，y)(1，0)(0，1)(0，0)4(1)(x1x2，y1y2)(2)(x2x1，y2y1)(3)(x，y)(4)

9、x1y2x2y10（三）平面向量的数量积1.cosab|a|b|cos投影a的长度与b在a的方向上的投影cos的乘积2(1)abba(a)b(ab)a(b)(ab)cacbc(2)a22abb2a2b2a0且b03|a|cosab0|a|b|a|b|a|2|a|b|4x1x2y1y2xyx1x2y1y20（四）平面向量的应用2(1)(2)0(3)13(1)(2)(3)abx1y2x2y10ab0x1x2y1y20二、自主小测1.如图，在正六边形ABCDEF中，()A.0 B. C. D.【答案】D【解析】由题图知.2.(2015全国卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量(

10、)A.(7，4) B.(7，4) C.(1，4) D.(1，4)【答案】A【解析】根据题意得(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)，故选A.3.向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a等于()A.1 B.0C.1 D.2【答案】C【解析】因为a(1，1)，b(1，2)，所以2ab2(1，1)(1，2)(1，0)，得(2ab)a(1，0)(1，1)1，选C.4.设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.【答案】【解析】向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则得解得.5.已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且

11、(ab)a，则向量a和b的夹角是_.【答案】【解析】因为(ab)a，所以(ab)a|a|2|a|b|cosa，b32cosa，b0，解得cosa，b，由于a，b0，.则向量a，b的夹角为.三、热点题型展示类型一平面向量的概念及其线性运算例1.设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1 C2 D3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向

12、有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.故选D.例2.设为所在平面内一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题知=，故选A.【名师点睛】1准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：(1)ab，有a与b方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|b|/ab；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a，是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；2向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合向量是一个几何量，因此

13、，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧3向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”4平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算类型二向量共线及向量的坐标表示例1.已知向量，则（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以=（5，7），故选A.例2. 设向量，不平行，向量与平行，则实数_ 【答案】【解析】因为向量与平行，所以，则

14、所以例3.在中，点，满足，若，则；【答案】【解析】方法一：特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，则，.方法二：在ABC中，()，所以x，y.故填；.【名师点睛】1.对于两个向量共线定理(a(a0)与b共线存在唯一实数使得ba)中条件“a0”的理解：(1)当a0时，a与任一向量b都是共线的；(2)当a0且b0时，ba是不成立的，但a与b共线因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a0.换句话说，如果不加条件“a0”，“a与b共线”是“存在唯一实数使得ba”的必要不充分条件2.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性共线向量即为平行向量，它们

15、均与起点无关3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈 4.向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标两个向量相等，当且仅当其坐标相同5.向量的坐标运算主要利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则6.两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)， b(x2，y2)，则ab(b0)的充要条件是x1y2x2y10；

16、ab(a0)，当且仅当唯一一个实数，使ba.7.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解类型三平面向量基本定理及其应用例1.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ） B . C. D. 【答案】B【解析】由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有成立.故选B.例2.在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C,D不重合）若则x的取值范围是_. 【答案】【解析】依题意，存在实数 ，使得 ，则有 = ，所以，故实数的取值范围是.例3.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R

17、)，则_.【答案】4【解析】设i，j分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，即i3j(6)i(2)j，根据平面向量基本定理得 解得 所以4.故填4.【名师点睛】1对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2(1，2R，e1，e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸(4)如果e1，e2是同一平面内

18、的一组基底，且 1e12e20(1，2R)，那么120.2对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角若起点不同，则应通过平移，使其起点相同类型四数量积的定义及几何意义例1. 已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为 ()A. B. C D【答案】A【解析】(2，1)，(5，5)，由向量数量积的几何意义知向量在方向上的投影为|cos，.故选A.例2. 对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）A BC D【答案】B【解析】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平

19、方，所以选项C正确；，所以选项D正确故选B【名师点睛】1平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量，但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量，而是一个实数2注意平面向量的数量积与数的乘法的区别：在数的乘法中，若ab0，则a，b中至少有一个为0.但在向量的数量积中，由ab0不能推得a0或b0，因为当两个非零向量a，b垂直时，也有ab0.应注意平面向量的数量积不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立3注意0与实数0的区别：0a00，a(a)00，a000；0的方向是任意的，并非没有方向数量积ab|a|b|cosx1x2y1y2(其中两向量夹角为，a(x1，y1)，b(x2，y2)其几何

20、意义是：ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题类型五向量的夹角与模例1.若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，即，所以，选A.例2. 若向量满足：则 （ ） A2 B C1 D【答案】B【解析】把代入得故选B【名师点睛】由向量数量积的定义ab|a|b|cos(为a，b的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查求解夹

21、角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法注意两个非零向量a，b的夹角与a，b所在直线的夹角的区别前者的取值范围是0，后者的取值范围是.5求向量模的常用方法：利用公式a2即|a|将模的运算转化为向量的数量积类型六数量积的基本运算及应用例1.已知ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】设，故选B.例2.设向量，若，则实数 .【答案】【解析】因为，因为，所以，解得.【名师点睛】两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0x1x2y1y20.应认识到此充要条

22、件对含零向量在内的所有向量均成立，因为我们又可视零向量与任意向量垂直6利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题，即只需将问题转化为向量形式，用向量的运算来求解如果能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处解决此类问题的常用方法是：利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用求解(较难)；建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂

23、直关系的问题往往有很好效果类型七平面向量的应用例1.若是所在平面内一点，且满足，则一定是（ ）A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形【答案】B【解析】由题意得，即，所以，所以，即，所以三角形一定是直角三角形，故选B.例2.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_【答案】【解析】F1F2F3，41622428，.故填.【名师点睛】1充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，重视向量的工具作用2利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住

24、几何特征解题；二是坐标法：建立适当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题3向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本知识求解，其中涉及到的有关向量的知识有：向量的坐标表示及加、减法，数乘运算；向量的数量积；向量平行、垂直的充要条件；向量的模、夹角等四、易错易混辨析例1已知向量，且向量与夹角为锐角，求的范围；【错解】因为向量与夹角为锐角，所以=+20，解得-2.【错因分析】从出发解出的值，忽视剔除同向的情况【预防措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏.【正解】因为向量与夹角为锐角，

25、所以=+20，解得-2.当=时，与同向，故的范围为.例2.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标【错解】设A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，D(x，y)2分因为四边形ABCD为平行四边形，则，而(x1，y)，(2，5)由，得D(3，5)，故第四个顶点坐标为（-3，-5）【错因分析】此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形【预防措施】认真阅读试题，分析满足条件的各种情况，若满足条件的情况有多种，需要分类讨论，分类讨论时，要做到不重不漏

26、.【正解】如图所示，设A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，D(x，y)2分若四边形ABCD1为平行四边形，则，而(x1，y)，(2，5)由，得D1(3，5)若四边形ACD2B为平行四边形，则2.而(4,0)，(x1，y5)D2(5，5)若四边形ACBD3为平行四边形，则.而(x1，y)，(2,5)，D3(1,5)综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(3，5)或(5，5)或(1,5)【名师点睛】1.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形“四心”的向量结论等2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的性质解决相应的问

27、题如用数量积解决垂直、夹角问题；用三角形法则、向量长度的计算公式解决平面几何中线段的长度问题；用向量共线解决三点共线问题；用向量的线性运算解决力、速度的问题等如果题设条件中有向量，则可以联想向量的有关概念和性质直接使用；如果没有向量，则需要有向量的工具意识和应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题五、强化训练提高1.如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点， 那么等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】在CEF中，有.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，所以.所以，故选D.2.若向量，则=（ ）A B C D【答案】B

28、【解析】由题意，向量，故选B3.如图所示，已知，点在线段上，且，设，则等于（ ）A B C D【答案】B【解析】依题意可知,且,故,.4. 已知向量，且，则实数=（ ） D.【答案】C【解析】因为所以 又因为，所以，所以，解得：.故选C.5.设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【答案】A【解析】因为=10，两式相加得：，所以，故选A.6.平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ）A B C D【答案】 D.【解析】方法一：由题意得：，选D.方法二：由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得.7. 设，其中、为实数，若，则的取值范围是（ ）A B.-6,1 C-1,6 D4,8【答案】B【解析】由得，由得，把代入得，解得，所以故选B8.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图， 由题意，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以，故选D.9.已知向量，则下列向量中与成的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A选项中的向量，则；对于B选项中的向量，则；对于C选项中的向量，则；对于D选项中的向量，此时，两向量的夹角为.故选B