高等数学第八章.ppt

1、第八章 多元函数积分学,一 二重积分的概念及简单性质 二 二重积分的计算,一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结,第一节 二重积分的概念与性质,特点：平顶.,柱体体积 = ？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,回忆定积分.,设一元函数 y = f (x) 在a, b可积.,则,如图,其中 ixi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小区间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形的面积.,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求

2、和、取极 限”的方法,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法,设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体.,若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积高.,如图,一、例,1.求曲顶柱体的体积V.,(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn ,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.,如图,z = f (x,y),z = f (x,y),Di,Di,(ii)由于Di很小, z = f (x,y

3、)连续, 小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.,( i , i) Di .,小平顶柱体的高 = f ( i , i).,若记 i = Di的面积.,则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小曲顶柱体体积,(iii)因此, 大曲顶柱体的体积,分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得无限细, 则右端近似值会无限接近于精确值V.,若,存在,则,(iv),其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.,其中 ( i , i) Di , i = Di 的面积.,如图,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、 求和、取极限。,步骤如下：,1. 分割,2. 取近似,3. 求和,4. 取极

4、限,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,二、二重积分的概念,积分区域,被积函数,积分变量,- 被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,在直角坐标系下用平行于坐 标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,性质,当 k 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,性质,（二重

5、积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,解,因此，,由性质6知,即,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（积分和式的极限）,四、小结,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处.,定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及 积分区域有关 不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函 数为定义在区间上的一元函数; 二重积分的积分区域为平面区域， 被积函数为定义在平面区域上的二 元函数,思考题解答,第二节 二重积分的计算法（1）,利用直角坐标计算二重积分,先讨论积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续

6、.,利用直角坐标系计算二重积分,X型,X 型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域 边界相交不多于 两个交点.,积分区域为：,X型,一般地，,- 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分,如果积分区域为：,Y型,- 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分,1. 若D既是 x型区域, 又是 y型区域.,比如,当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.,2. （1）如果积分区域是矩形,（2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)f2(y),且积分区域是矩 形区域，,则,设D：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)f2(y)可积，,则,比

7、如，,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使 用积分公式,则必须分割.,3.,4.设D: y1(x) y y2(x), a x b, 为 x 型区域.,其中y2(x)为分段函数.,如图,则,由于y2(x)是分段函数, 里层积分上限无法确定用哪一个表达式.,故应将D分成D1, D2, 分块积分.,解 1：,先画出积分区域 D 。,D 是 Y型。,于是，,解 2：,于是，,解,先画出积分区域 D 。,D 是 X型。,于是，,于是，,例3,解,积分区域为,于是，,解,设,则,于是，,设,解,解,例9. 求,解：由于,是“积不出”的，怎么办？,要改换积分次序.,先画积分区域D的图形.,由积分表达式知

8、，D： y x 1, 0 y 1,画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1.,如图：,故 原式 =,由例8，例9知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。,1.,法2. 先对 x 积分.,2.,所以, 原式 =,问, 若先对 y 积分, 情形怎样?,3. 改换,第二节 二重积分的计算（2）,一、利用极坐标系计算二重积分 二、小结,一、利用极坐标系计算二重积分,面积元素,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次

9、积分的公式（）,区域特征如图,例1 将,化为在极坐标系下的二次积分。,1）,解,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,2）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,2）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,3）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,3）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,4）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,4）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,解,解,例4. 求,其中D：x2+y2 1,解：一般, 若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用极坐标积分。,令x=rcos, y=rsin, 则,x2+y2 1的极坐标方程为r = 1.,由(2),D*: 0 r 1, 0 2,另

10、由几何意义：,解,二重积分在极坐标下的计算公式,二、小结,5 利用极坐标计算二重积分,D：由 所围成区域（第一象限部分）,第三节 二重积分的应用,一、立体的体积,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,例1 计算由曲面,及 xoy 面所围的立体,体积。,解,设立体在,第一卦限上 的体积为 V1。,由立体的对称性，所求立 体体积 V = 4V1 。,立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为,立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为,它的底为,于是，,所求立体的体积,例2 求两个圆柱面,所围,的立体在第一卦限部分的体积。,解,所求立体 可以看成

11、 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为,它的底为,于是，立体体积为,三、平面薄片的重心,解,例：计算广义积分,解：这是一个在“概率论”中很重要的积分，用通常方法无法算出.,由广义积分定义,其中S: 0 y R, 0 x R,下用“夹逼定理”求,作D1： x2+y2 R2,8.4 对坐标的曲线积分,引例: 变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,近似,8.4.1 对坐标曲线积分的定义,引例: 变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,8.4.1 对坐标曲线积分的定义,求和,近似值,取极限,精确值,近似,定义,设函数P(x y)、Q(x y)在有向光滑曲线L上有定义 把L分成n个有向小弧段L1 L2 Ln

12、 其中Li是从(xi1 yi1) 到(xi yi)的小弧段 记xixixi1 yiyiyi1 在小弧段Li上 任取一点 令为各小弧段长度的最大值如果极限,总存在 则称此极限为函数P(x y)在有向曲线弧L上对坐 标x的曲线积分 记作,如果极限,Q(x y)在有向弧L上对坐标y的曲线积分 记作,总存在 则称此极限为函数,在积分中P(x y)、Q(x y)叫做被积函数 L叫做积分路径,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分,推广 设为空间内一条光滑有向曲线弧 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上有定义 我们定义,在应用上经常出现的是,上式可记为,类似地 有,若 L 为封闭曲线，

13、则记为,若记,则记,于是，力,沿有向曲线 L,对质点所作的功为,8.4.2. 对坐标曲线积分的性质,性质1 常数因子k可由曲线积分号内提出来,设、为常数 则,性质2 代数和的曲线积分等于曲线积分的代数和,性质3 若有向曲线L可分成两段光滑的有向曲线L1和L2,性质4 设L是有向光滑曲线 L是L的反向曲线 则,对坐标的曲线积分必须注意积分路径的方向 !,8.4.3 对坐标曲线积分的计算,定理1:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在, 且有,对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算，其要点是：,(1) 因为 P(x, y)、 Q(x, y) 定义在曲线 L 上，所以

14、 x、 y 应分别换为 x(t)、 y(t)；,(2) dx、dy 是有向小曲线段在坐标轴上的投影， dx = x(t)dt、 dy = y(t)dt ；,(3) 起点 A 对应的参数 t = a 是对 t 积分的下限，终点 B 对应的参数 t = 是对 t 积分的上限.,如果有向曲线 L 的方程为 y = y(x)，则,这里 a 是曲线 L 的起点的横坐标，b 是曲线 L 的终点的横坐标， a 不一定小于 b.,如果 L 的方程为 x = x(y)，则有,其中 c 是曲线 L 的起点的纵坐标，d 是曲线 L 的终点的纵坐标，c 不一定小于 d .,如果L 为垂直于X轴（平行于Y轴）的直线，则

15、,如果L 为垂直于Y轴（平行于X轴）的直线，则,对空间光滑曲线弧 :,类似有,上式右端的第二个曲线积分化为定积分时，,例 1试计算曲线积分,其中 L 为沿着抛物线 y = x2,从点O (0, 0) 到点 A(2, 4),再沿直线由点 A(2, 4),到点 B(2, 0),解由于曲线积分对路径具有可加性，因此,L2 为直线段 AB.,因为 dx = 0，,所以它的值为零.,又 L1 的方程为 y = x2，故,A(2, 4),B(2, 0),x = 2,y = x2,L1,L2,O,例2. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数, 则,解法2 取 y 为参数, 则,从点,的一段.,例

16、3. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,(2) 取 L 的方程为,则,则,解,到点B(0 0 0)的直线段,直线段AB的方程是,化为参数方程得 x3t y2t zt t从1变到0 所以,例5. 计算,其中L为,(1) 抛物线,(2) 抛物线,(3) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,例6. 设在力场,作用下, 质点由,沿移动到,解: (1),(2) 的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中为,参数方程为,练

17、习试计算曲线积分 其中积分路径为,(1)在椭圆 ，,从点 A(a, 0) 经第一、二、三象限到点B(0, - b).,(2)在直线上 ，,从点A(a, 0) 到点 B(0, - b).,y,x,A,O,B,解(1)因为所给椭圆的参数方程为,且起点 A 对应的参数 t = 0.,所以有,终点 B 对应的参数 ，,当t 由 0 增大到,(2)因为所给线段 AB 所在的直线方程为,且起点 A 对应于 x = a，终点 B 对应于 x = 0， 所以,8.5.1曲线积分与二重积分的关系,8.5 格林公式,区域 D 边界L 的正向: 当人沿边界行走时，,定理1,则有,( 格林公式 ),若函数,在闭区域

18、D 上具有连续一阶偏导数,区域D总在他的左边,其中 L 为区域 D 的边界曲线，并取正方向.,证,(i) 若D 既是 X - 型区域 ,则,又是 Y - 型区域 , 设,即,同理可证,、两式相加得:,若D 是由一条按段光滑的闭曲线围成，且不满足,X 型又是 Y 型的区域 , 如图，,以上条件,的格林公式，并相加即可.,则可用几段光滑曲线将其分为有限个既是,然后逐块按(i)得到它们,(iii) 若D 是由几条闭曲线围成，如图，这时可适当,证毕,添加直线段 AB，CE，把区域化为(ii)的情况处理.,为便于记忆，格林公式：,也可写成下述形式：,例1,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明,证,则,

19、利用格林公式 , 得,令,例 2 计算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .,解 令, 则,利用格林公式 , 有,例3 计算,其中L为一无重点,且不过原点的分段光滑正向闭曲线.,解 令,设 L 所围区域为D, 当,时，,由格林公式知,记 L 和 l 所围的,在D 内作圆周,取逆时,针方向, l 的顺时针方向记为 l ,区域为D1，对区域 D1 应用格林公式 , 得,求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线,例4 计算,其中曲线 AB 是半径为 r,的圆在第一象限部分.,解,设 D 是半径为 r 的圆域,在第一象

20、限部分，设其边界为 L，,记 L_为边界的顺时针方向，,应用格林公式有,例5 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围区域为D , 则,原式,取 P(x, y) = 0，Q(x, y) = x，由格林公式得,取 P(x, y) = y，Q(x, y) =0 ，由格林公式得,取 P(x, y) = - y，Q(x, y) = x，由格林公式得,正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,例如, 椭圆,所围面积,8.5.2曲线积分计算平面图形面积,8.5.3 曲线积分与路径无关的条件,曲线积分与路径无关,设G是一个开区域 P(

21、x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶连续偏导数,与路径无关 否则说与路径有关,如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2 等式,定理2 设D 是单连通域 ,都在D 内连续,(i) 沿D 中任意按段光滑闭曲线 L , 有,(ii) 对D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分,(iii),(iv) 在 D 内处处成立,与路径无关, 只与 L 的起点及终点有关.,函数,则以下四个条件等价:,是 D 内是某一函数,的全微分,即,证明 (i) (ii),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(i),所以,证明 (ii) (iii),在D

22、内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,证明 (iii) (iv),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 所以,从而在D内每一点都有,证明 (iv) (i),设L为D中任一分段光滑闭曲线,利用格林公式 , 得,所围区域为,证毕,由条件(iv), 在 D 上处处成立,由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:,具有性质：d u = P dx + Q dy,称 u( x, y ) 为 P dx + Q dy 在域 D 内的一个原函数.,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,A,B,D,C,A,B,D,C,求原函数的公式：,例 1计算,其中 L 是摆线 x = t sin t, y = 1- cos t，从点 A(2p, 0) 到点 O(0, 0) 的一段弧.,解显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.,能否换一条路径呢？,其中 P(x, y) = x2y + 3xex,x,y,O,L,A,再选一条路径 L1：,由 A(2p, 0) 沿 x 轴到原点.,审查一下：,由 L