高三数学大一轮复习讲义 5.1平面向量的概念及线性运算 理 新人教A版

1、5.1平面向量的概念和线性运算2014高考将这样考试。研究平面向量的概念，线性运算。考察矢量运算的几何意义，矢量共线的应用。复习准备考试要这样做。1.重视矢量的概念，掌握矢量加减法和几何意义。2.了解应用矢量共线和点共线、直线平行关系。1.向量相关概念名字定义注释向量大小和方向的数量；向量的大小称为向量的长度(或量值)平面向量是自由向量零向量零长度矢量其方向是任意的以零记录单位向量长度等于1个单位的矢量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零牙齿向量0与任意矢量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零牙齿矢量也称为共线矢量等差向量长度相同、方向相同的矢量两个向量相同或不相等，且大小无法

2、比较相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义规则(或几何意义)运算法则加法求两个向量之和的运算(1)交换法：a b=b a .(2)结合法：(a b) c=a (b c)。减法求a和b的相反向量-b之和的运算称为a和b之差三角形法则A-b=a (-b)胜求实数和向量a乘积的运算(1)|a |=| | a |；(2) 0时a的方向与a的方向相同。0时a的方向与a的方向相反。=0时 a=0(a)=a；()a=aa； (a b)= a b3.共线向量定理向量a(a0)与B共线的填充条件是唯一实数存在，B=A。请求困难的正本疑团1.向量的两个元素向量有两个茄子元素

3、：大小和方向。用乳香线段表示矢量时，与乳香线段的起点位置无关。相等长度相等的乳香线段都表示相同的矢量。2.通常，前后依次相遇的多个矢量的和等于从第一个矢量的起点指向最后一个矢量的终点的矢量。3.证明3点共线问题，可以用矢量共线解决，但要注意矢量共线和3点共线的区别和连接。当两个矢量共线且有公共点时，可以得到三点共线。另外，要用矢量平行来证明有矢量的线是平行的，必须说明两条线不一致。1.a=“向东移动8公里”，b=“向北移动8公里”，则| a b |=_ _ _ _ _A b的方向为_ _ _ _ _ _。答案8东北根据解析向量加法的几何意义，| a b |表示角长8公里的正方形对角线长度。|

4、a b |=8，a b的方向是东北方向。2.在平行四边形ABCD中，如果e是DC边的中点，=a，=b，如图所示=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案b-a解决方案=-a b a=b-a .3.已知d是三角形ABC边BC的中点，点p满足=0，=，实数值为_ _ _ _ _ _ _。答案-2如分析所示，=和=0时，p使用AB，AC相邻平行四边形的第四个顶点，因此=-2时=-2。4.已知o是ABC所在平面上的一点，d是BC边的中点，2=0()A.=B.=2C.=3 D.2=答案a解决方法是2=0。o是底部BC上中心线AD的中点，因此=。5.(2012四川)设定A，B都是非

5、零牙齿的向量。以下四个茄子条件中=成立的充分条件是()a . a=-b b . abc . a=2b d . a-b和| a |=| b |答案c分析表示与A方向相同的单位向量，表示与B方向相同的单位向量，只要A和B方向相同=，观察选项很容易看出C满足问题的意思。提问式平面向量的概念分析例1提出了以下命题：如果| a |=| b |，a=b；当A、B、C、D为非共线4点时=四边形ABCD为平行四边形的充填条件。如果a=b，b=c，则a=c； a=b的充分条件是| a |=| b |和a-b其中正确命题的序号为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案 分析不准确。两个矢量的长度相同，但方向不

6、一定相同。对。=，| |=| | |和另外，A、B、C、D是非共线的4点，四边形ABCD是平行四边形。相反，如果四边形ABCD是平行四边形，和| |=| | |，因此=。对。a=b，a，b的长度相同，方向相同。而b=c，b、c的长度相同，方向相同。a，c的长度相同，方向相同，因此a=C不准确。a |=| b |也不能得到a=b，因此“| a |=| b |和a | b”不是“a=b”综上所述，正确命题的序号是。改进(1)正确理解向量的相关概念及其意义是解决问题的关键。(2)等向量具有传递性，非0牙齿向量的平行度也具有传递性。(3)共线向量是平行向量，与起点无关。(4)矢量可以平移。转换后的向量

7、与原始向量是等向量。解决问题时，不要与移动函数图像混淆。(5)非0牙齿向量A与的关系：A方向的单位向量。以下命题中正确的是()如果A.a与b共线，b与c共线，则a和c也共线B.两个相等的非零牙齿矢量的起点和终点是平行四边形的四个顶点C.如果矢量a不与b共线，则a和b都是非零牙齿的矢量D.起点相同的两个非零牙齿向量不平行答案cA不准确，因为0向量与所有向量共线。在数学中研究的向量是自由向量，因此两个相等的非零牙齿向量可能在同一条线上，此时不是四边形，所以B不准确。向量的平行方向必须相同或相反，并且D不准确，无论起点是否相同。在c的情况下，条件给定为否定，所以我们可以假设A和B都不是0牙齿的向量。

8、也就是说，A和B中至少有一个是0矢量，0矢量与某个矢量共线。请注意，a和B共线。如果向量A和B不共线(因为符合已知条件)，则A和B都是非零牙齿的向量。提问式二进制向量的线性运算向量=a，=b作为相邻向量，如范例2所示。OADB，=，=，a，标记为b，思维启发：结合图形性质，正确灵活地使用三角法则和平行四边形法则是矢量加法运算的关键。解决方案=-=a-b，=a-b，=a B另外=a b，=a b，=-=a B- a-b=a-b总而言之，=a b，=a b，=a-b提高探索性(1)解决问题的关键是确定构成三角形的三个茄子问题之间的相互关系，熟练地找出图形中的等价向量，熟练地使用相反向量徐璐转换加法

9、和减法。(2)用几个茄子基本向量表示向量问题的基本技术：观察一角向量的位置。找到相应的三角形或多边形。为了寻找关系，使用了规则。简化结果。在ABC中，=c，=b，如果点d满足=2，则()A.b c b.c-bC.b-c D. b c答案a分析=2，-=2 (-)，3=2，=b C .问题型3共线向量定理及其应用范例3设定两个非0牙齿向量A和B不共线。(1)=a b，=2a 8b，=3 (a-b)，认证：a，b，d 3点共线；(2)确定实际k，使ka b和a kb共线。思维启蒙：解决点共线或向量共线问题需要与向量共线定理结合。(1)证明=a b，=2a 8b，=3 (a-b)，=2a 8b 3(

10、a-b)=2a 8b 3a-3b=5 (a b)=5。，共线，他们有共同的点b，a、b、d在3点共线。(2)解ka b与aka+b共线，有实数，ka b=(a kb)，即ka b=akb。(k-)a=(k-1)ba，b是两个非共线的非零牙齿向量。k-= k-1=0，k2-1=0。k=1。改进探索(1)证明3点共线问题，可以用向量共线解决，但要注意向量共线和3点共线的差异和连接。当两个矢量共线且有公共点时，可以得到三点共线。(2)矢量A，B共线均为非0牙齿实数1，2， 1a 2b=0牙齿成立， 1a 2b=0时 1= 2=0时才成立，则矢量A，B不共线将d，e，f分别设定为ABC的三边BC，CA

11、，AB上的点，如果=2，=2，=2，则设定为和()A.反向平行b .各向同性平行C.徐璐垂直。d .既不平行也不垂直。答案a解释问题的意思，以便=，=。因为又是2，所以=2()。所以=。同样，=，=。加上上面的3个表达式=-.所以选择a。方程思维在平面矢量线性运算中的应用示例：(14点)如图所示，ABO中的=，=，AD和BC在点M相交。设定=A，=B .使用A和B表示向量。考试观点(1)表示，作为已知向量，其他向量应该转换成可能的平行四边形或三角形，这是用向量解问题的基本要领。(2)如果可以用A，B来表示，我们不妨设定=MA NB。(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解。规范答案解决方案

12、=ma nb，那么=-=ma n b-a=(m-1) a nb。=-=-=-a B. 三点另外，A，m，d在3点共线，共线。有实数t=t，即(m-1) a nb=T. 5点(m-1)a nb=-ta TB。，删除t，m-1=-2n，即m 2n=1.1 7点另外=-=ma n b-a=a nb，=-=b-a=-a B .另外，c，m，b在3点共线，共线。10分实数t1牙齿存在，因此=t1，a nb=t1，、剔除t1得分，4m n=1。 12分 m=，n=，=a b .14点温暖的通知(1)牙齿问题调查了矢量的线性运算，知识的要点很明确，但问题解决过程复杂，有一定的困难。容易出错的地方是找不到问题

13、的切割入口。也就是说，没想到用未定系数法解。(3)数字结合思想是矢量加、减运算的核心。这是研究平面矢量最重要的方法和技巧。牙齿问题容易忽略A，M，D公线和B，M，C公线这几个几何特征。(4)方程思想是解决牙齿问题的关键，要注意体会。方法和技巧1.用其他矢量(尤其是基本矢量)线性表示矢量是矢量坐标格式的基础。2.使用矢量共线可以证明线段平行或三点共线。例如，如果AB与CD不共线，则AB-CD；a、b和c在3点共线。错误和预防1.要解决矢量的概念问题，需要注意两个茄子。一个不仅要考虑矢量的大小，还要考虑矢量的方向。二是考虑0向量是否也满足条件。必须特别注意0向量的特殊性。2.使用矢量减法时，很容易

14、知道两个矢量的顺序，因此求出所需矢量的相反矢量，从而引起误差。a组特殊基础教育(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每个问题5分，共20分)1.提出以下命题。具有公共端点的两个矢量必须是共线矢量。两个矢量不能比较大小，但模具可以比较大小。 a=0 (为实数)，必须为0。 ，是实数， a= b时，a与b共线。这里错误命题的数目是()A.1B.2C.3D.4答案c分析错误，因为终点相同，所以两个起点不一定相同，所以可能不共线。是的，因为模型是错误的，所以可以比较大小。错，a=0，0时也能得到 a=0。错了。=0时， a= b，但a和b可能不共线。错误的命题数是3。2.将p设定为ABC所在平面

15、内的点。=2时()A.=0b。=0C.=0d。=0答案b如图所示，向量加法的几何意义为=2pAC的中点，因此=0。3.已知向量a，b不共线，c=ka b (k)，d=a-b . cd()A.k=1，c和d反转b.k=1，c和dC.k=-1，c和d在同一方向上翻转d.k=-1，c和d答案d分析c=d，c=d，也就是说，ka b=(a-b)，。4.(2011四川)在正六角形ABCDEF中，等于()A.0bC.D.答案d分析ABCDEF是立方体。因此=。第二，填空(每个小问题5分，共15分)5.将a，b设定为两个非共线向量，=2a Pb，=a b，=a-2b。如果a、b和d共线，则实数p的值为_ _

16、 _ _ _ _ _ _ _答案-1分析=2a-b，a，b，d三点共线，存在实数，因此=。也就是说，p=-1。6.在ABCD中，=a，=b，=3，如果是m牙齿BC的中点，=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(a，b表示)回答-a b解决方法从=3得到=(a b)。=a b，因此=-=(a b)-=-a B .7.提出以下命题。矢量的长度等于矢量的长度。如果矢量A与B平行，则A和B的方向相同或相反。有两个共同的起点和相同的向量，其终点必须相同。如果矢量和矢量共线矢量，那么点A，B，C，D必须在同一直线上。其中无效的数字是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。回答2分析命题正确，不正确。三、回答问题(共22分)8.(10分钟)如果a，b是两个非共线的非零牙齿矢量，并且a和b的起点相同，那么t为什么为值时，a，TB，(