特级教师推荐数学学习案例.ppt

1、,重视案例分析 推进教学研究,关于课堂教学改革的一点思考,南京外国语学校 陈光立,一、案例研究的一般概念.,案例(case)也称个例、个案、事例、实例,目前尚无权威性的定义.一般认为案例是对现实生活中某一具体现象的客观描述.,数学教育案例是对数学教育活动中,具有典型意义的、能够反映数学教育某些规律或教学思想的具体的教学事件的描述、总结与分析.它可以是一节课教学设计实施过程的记载,或某一教学环节中师生双边活动的实况,也可以是教学中遇到的困惑及其反思的真实记录.数学教育案例研究是运用数学教学实践中的典型引路,启发研究者进行创造性思考的研究方法.通过案例分析,由特殊到一般,透过现象揭示某一侧面的教学

2、规律和教学思想.,二、数学教育案例的特点.,1.客观性. 案例应客观描述、如实记录数学教育事件发生的背景、特定环境和主要情节.不脱离实际主观臆造.分析应就事论理,不泛泛而谈,要从事实中引发人们的思考, 也可不作分析,让他人去评析.,2.典型性. 案例应反映数学教学活动的基本过程，体现数学教育的内在规律和教学设计的基本思想；体现个性与共性、特殊与一般、现象与本质、特色与规律的统一. 案例可有成功的探索，也可有不足的反思，要有“亮点”，切忌面面俱到.,3.启迪性. 案例本身生动有趣, 能提出问题、引发争论, 应在热点、难点问题上有所突破, 能对研究者平时感到困惑的问题有所启发, 给研究者在新问题的

3、探索上提供信息和思路.,4.指导性. 案例应具有现实指导意义、借鉴作用和理论探讨价值, 有利于教师理论与实践相结合地学习, 从中汲取有益的思想和方法.,作为“课堂内真实故事”的数学教育案例无疑为教师业务进修和教学研究提供了极好的教材,收集、整理、总结数学教育案例, 认真学习典型案例及其分析, 对于促进教学研究、指导教学实践、提高课堂教学质量具有重要意义.,案例研究也是教师自身素质和教学水平提高的有效途径,对青年教师的成长尤为重要.,收集、整理、总结以及学习、研究数学教育案例的过程, 也是学习教育理论的过程, 进而又指导教学实践,有利于教师逐步由“经验型”向“科研型”的转化.,三、数学教育案例的

4、作用.,教师在课堂教学实践中锻炼成长.,案例研究是教学问题解决的源泉、教师成长的阶梯和教育理论的故乡.,四、改革课堂教学模式,提高课堂教学质量.,从“讲授型”到“素质型”,首先是教师观念的改变.在教师的主导下,充分发挥学生的主体作用,创设素质教育的环境.不仅把学生当作教育的对象,更重要的是把学生当作发展的主体、教学的出发点和归宿.教学过程的着力点应放在如何激发学生的学习动机和培养学生的学习兴趣上,这是增强学生主体意识的关键.,教师的角色 , 应从知识的传播者转为学生主动学习、主动探索的指导者和促进者.,“思想是从学生头脑中产生出来的, 教师仅仅是起着一个助产婆的作用.” -波利亚,新授课中,

5、教师的任务是揭示新旧知识间的联系,尽量把新知识“分解”、“缩小”到最小程度, 给学生足够的思维空间和时间, 让他们自己探索、联想, 尝试给某些概念下定义, 或自己推导公式、证明定理, 最大程度地参与教学过程. 学生从心理上不畏“新”, 感到是自己“发现”了新知识, 有一种成就感, 也增强了学习自信心.,复习课中, 教师应引导学生对所学的知识进行归纳、整理, 构建知识网络, 通过典型例题的分析、讲解, 强化数学思想方法的应用, 提高综合运用数学知识的能力, 从而形成新的认知结构.,数学教学过程是一个数学的文化过程, 是育人的过程, 是学生自主学习、自主探索、合作交流、实践创新的过程. 学生是学习

6、的主人, 他们在这个过程中享受到一次参与后成功的喜悦, 情感领域得到丰富的发展. 而教师适时介入, 成为学生学习的组织者、引导者和合作者. 我们反对“告诉”教育、“复制”教育. - 马明,现代教育正在从“知识中心”向“人本中心”转化，它使教育更关心学生个性充分、自由、自主、全面的发展. 教师要给学生提供的是学习资源、学习方法和学习氛围，帮学生搭建知识的“脚手架” ，让学生主动、积极地攀向知识的高峰，真正成为学习的主人！,现代教育理论研究认为: 教育现代化等于“情感化”加上“技术化”.,改革课堂教学、提高课堂教学质量,让学生积极参与教学过程的关键是教师教育观念的转变,是教学方法的情感化.,师生之

7、间的情感交流,师生间心理距离的接近,师生之间、学生之间的相互激励作用,无疑会大大提高课堂教学的效率.从某种意义上讲,良好的师生关系与和谐的学习氛围已成为比讲课本身更重要的学习因素.,当前更需要每一个教师对教育事业的强烈的爱,对所有学生的真挚的爱,特别是对学习有困难的学生格外热心、耐心、细心.,著名语文特级教师钱梦龙曾说过,教育就是给人以积极向上的影响力,教育的艺术就是影响人的艺术.教师应胸怀育人的大目标, 把知识教育、能力训练、性格培养、情操陶冶、个性发展交融起来,汇成一股推动学生“天天向上”的巨大影响力,而且这种交融浑然天成,不见人工掺杂的痕迹.所以观摩他们的课,如同春风扑面,和煦宜人,像细

8、雨无声,浸润心田.学生在这股力量的催动下,怯懦者会变得勇敢,软弱者会变得坚强,懒惰者会变得勤奋,不知者会变得有知,无能者会变得多能,这才是教育的艺术！这才是教师创造性思维最生动的显示.,以案例分析引路,推进教学研究,改革课堂教学,是提高当前中学数学教学质量的有效途径之一.长期在教学第一线的广大教师具有丰富的实践经验,面对基础、习惯、个性迥异的学生,他们对教材的处理灵活多样,教学程序的设计各具特色,创设情景、激励学生、形成氛围的方法更是精彩纷呈,这是极宝贵的教育资源和财富.收集、整理、学习、研究案例是一项极有意义的工作,愿它能为数学教研留下光辉的一页！,点P(2,5)到直线 l 的距离 d =_

9、.,3x 4y+14=0,4x+3y 11=0,得:,3(x-2) -4(y-5)=0,点到直线的距离,勾三股四弦五,案例1,（课堂教学实录）,问题 已知：点P (x0 , y0) 和直线 l: Ax+By+C=0 求点P到直线l 的距离.,分析1 过点P作l1l ，垂足为Q，则 |PQ| 就是点P 到 直线l 的距离. 依题意 l1: B x-Ay-Bx0+Ay0=0,结论 点P (x0 , y0)到直线 l: Ax+By+C=0的距离为:,换个角度思考 重新构造方程,2+2： (A2+B2)(x-x0)2+( y-y0)2=(Ax0+By0+C)2,分析2 设M(x, y)是直线 l 上的

10、一个动点, 则P到直线 l 的距离就是 |PM| 的最小值.,刚才你在计算时画图了吗?,|PS|=3，|PR|=4，|RS|=5,充分挖掘 潜在的几何条件,已知直线 l 经过点R (2, 1) 和 S (-1, 5), 则直线 l 的方程 为 4x+3y-11=0 . 点P(2,5)垂直于l 的方程为3x-4y+14=0， 点P(2,5)到直线 l 的距离 d = .,分析3当A.B0 时, 直线 l 与x 轴、y 轴都相交.过P分别作x 轴、y 轴的平行线,交直线l 于S 、R两点, 则RtPRS中斜边RS上的高PQ的长就是P到直线 l 的距离.,得:,当A=0或B=0时仍适用,1. 当P(

11、x0 ,y0)在直线 l: Ax+By+C=0上时, d=0.,2. 当A=0或B=0时,公式也适用. 但可以直接求距离.,结论 点P (x0 , y0)到直线 l: Ax+By+C=0的距离为:,另有分析4，有兴趣的可课后探索（见后）,例1.求点 P ( -1, 2 ) 到下列直线的距离: 2 x + y 10 =0 3 x =2,解: , 因为直线3x=2平行于y轴, 所以,练习2 A(-2,3)到直线 3x+4y+3=0的距离为_. B(-3,5)到直线 2y+8=0的距离为_.,9,0,练习1 求原点到下列直线的距离： (1) 3x+2y-26=0 (2) y=x,例2. 求平行线 2

12、x -7y +8=0 和 2x -7y -6=0 的距离.,解: 在直线 2x -7y -6=0 上取 P( 3, 0), 则 P( 3, 0)到 直线 2x -7y +8 =0 的距离就是两平行线间的距离.,例4. 边长为4 的正方形中心为Q (1,-1), 一边的斜率为 ,求正方形各边所在直线的方程.,例3. 在抛物线 y=4x2 上求一点P, 使P到直线 l: y=4x-5 的距离最短,并求出这个最短距离.,解:依题意设 P(x,4x2), 则P到直线l: 4x- y-5=0的距离为,作业：P54 / 13、14、15、16.,R,教师提供知识背景，创设问题情境，让学生从不同的角度分析比

13、较, 寻求计算点到直线距离的方法, 从按常规思路“求交点算距离”、到观察动画从变化的角度构造函数求“极值”，再挖掘几何条件“形数结合”，在直角三角形中求解。通过特殊到一般的运算, 由具体到抽象，探索得到点到直线的距离公式 。教师参与讨论并适时点拨，师生互动，学生在获取知识的同时，得到一次有益的思维训练，有利于能力的提高。,T :关于绝对值的知识你们了解多少,有哪些联想?,S4: (去掉绝对值符号方法之二;绝对值的定义),S1 : |x|0（“绝对值非负”是初中学习过的四个非负数之一）,S2 : |x|表示数轴上与x对应的点到原点的距离(几何意义),绝对值不等式的解法 （节录）,案例2,（ “跟

14、着学生走”的一次尝试）,T :关于不等式（组）又有哪些联想?,S5 : 不等式的性质： (1)若ab 则a+cb+c (2)若ab, c0 则acbc (3)若ab, c0 则acbc,S6 : 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集 的交集.,T : 如何解不等式 |x|0) 呢？ (新课),关键是“转化”!,S7 :既然|x|=a (a0)表示数轴上到原点的距离等于a的点的集合. 那么|x|0)就应该表示数轴上到原点的距离小于a 的点的集合. (类比) |x|0)的解集是 x| -a x a ,S8 :根据绝对值的定义:, |x|0)的解集是 x| -a x a ,(分类讨论;转化化归思

15、想).,(绝对值的几何意义; 数形结合.),S9 : 应用平方法去掉绝对值符号,(根据函数在(0,+)递增的性质),(化为一元二次不等式),(转化化归思想),T、S :同理可得|x|a (a0) 的解集为 x| xa ,T: 对于绝对值不等式 |x-b|a 或 |x-b|a 如何解决呢?,S10 :转化! 应用整体思想,把 x-b 看成 x 就可求得解集.,(乘法符号法则),|x-b| 0),|x-b| a x-ba xb+a (a0),数轴标根找距离,小取中间大两边.,T:对于|cx-d|0,c0)又如何解呢?,S: 转化完成.,实际操作时,我们只须先求方程c x - d=0的根 , 在数轴

16、上找到相应的点, 再距离该点左右各 个单位确定 和 的位置,便可很快得到不等式的解集.,简记为:,本案例旨在寻找学生思维的“最近发展区”,从学生已有认知结构出发,先复习有关知识,再“跟着学生走”，各自用联想到的知识来解决新的问题.学生通过比较、探索和实际操作,自己“发现”解绝对值不等式的不同途径、方法和规律,尝试到成功的喜悦,并学习了重要的数学思想方法.,参 数 方 程 (新课导入片断),T: 现在我们这样建立平面直角坐标系, 每一个同学对应着第一象限的一个格点, 第一排同学的纵坐标是1, 第一列同学的横坐标是1, 相邻两个同学的间距是一个单位. 下面我就喊你们的坐标来提问. 请 (1,2)

17、同学回答你对应的点到原点的距离是多少?,S(1,2):,T: 请(3,3)同学计算经过你和第一位同学对应的点的直线斜率.,S(3,3):,T: (5,4)同学, 你对应的点在刚才两点所确定的直线上吗? 为什么?,案例3,S(5,4): 在! 因为刚才两点确定的直线 l: 即 x -2y +3=0 经过点 (5,4).,T: 完全正确! 下面大家猜猜我该提问谁了?,(学生先茫然,后议论纷纷),T: 回想一下,我第1 次喊的是(1,2), 第2 次喊的是(3,3), 第3 次喊的是(5,4), 那么第4 次该论到谁呢? 如果猜出来了, 大家都向她瞧!,(逐渐地,有人把目光投向(7,5)同学, 接着

18、她自己站起来了).,T: 为什么是你呢?,S(7,5): 因为点 (7,5) 在直线 x -2y +3 =0 上.,T: 该直线上不止一个整点,为什么轮到(7,5)呢?,S(6,1): 横坐标是连续的奇数, 纵坐标是从2开始的自然数.,T: 很好! 再想一想, 为什么第4次轮到(7,5)? 照此规律,我第8次又该喊谁呢? 考虑一下横坐标和纵坐标分别与我喊的序号有什么关系?,S(4,3):纵坐标是序号加1, 横坐标是第“序号”个奇数.,T: 能用数学语言来表示吗?,S(2,4): 设序号为n, 则 x=2n-1, y=n+1. 也就是说 x,y 分别是 n 的函数.,S(2,6): 因为前几个同

19、学对应的点的横、纵坐标分别是公差为 2 和 1 的等差数列.,T: 在刚才的讨论中,我们发现 x与y 的关系不明显, 但它们都是变数n的函数, 而变数n 既沟通了x与y 的联系,又刻画了动点的运动规律, 功不可没! 我们还不难发现, 当变数n在正整数集合中取值时, 点(x,y) 的轨迹是直线 x -2y +3 =0 上孤立的点列; 当 n 在实数集合中取值时, 点 (x,y) 的轨迹是直线 x -2y +3 = 0 .,也就是说,直线l : x -2y +3 = 0上任意一点的坐标都是某个变数t 的函数: 并且对于每一个实数t, 由方程组(1)所确定的点M (x,y) 都在直线l 上.,参数的

20、作用：沟通动点坐标的联系, 刻画动点运动的规律.,T: 一般地,在给定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数 -(1) 并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点M (x,y) 都在这条曲线上,那么方程组(1) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系x、y 之间的变数 t 叫做参变数，简称为参数.,参数方程是学生第一次接触的新概念,如何从学生原有的认知结构出发,创设情景,让学生参与概念的产生和发展过程, 从中领悟参数的作用以及建立参数方程的可能性和必要性,就显得十分重要.本节课概念引入的设计贴近学生实际,从学生熟悉的知识出发,引导学生积极思维去探索未知问

21、题的规律,认识概念的内涵,留下了较深刻的印象, 取得较好的效果.,设a、b、c是ABC的三条边. 求证:a2+b2+c2 2(ab+bc+ca),S1: a2+b2+c2 - 2(ab+bc+ca) =(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2-a2-b2-c2 =(a-b+c)(a-b-c)+(b-c+a)(b-c-a)+(c-a+b)(c-a-b)0,S2: a2+b2+c2 - 2(ab+bc+ca) = (a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 -a2-b2-c2 = (a-b)2 -c2 +(b-c)2 -a2 +(c-a)2-b20,一道习题的讨论及思考,案例4,a2+b2+

22、c2 2(ab+bc+ca),a2+b2+c2 2(ab+bc+ca),S5: a-b c b-c a c-a b,S6: a2+b2+c2 - 2(ab+bc+ca) =(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2 -bc-ca) =a(a-b-c)+b(b-c-a)+c(c -b-a)0,S7: a2 +b2 +c2 - 2(ab+bc+ca) =(a-b )2-c2 + 2c2 -2bc-2ca =(a-b )2-c2+2c(c-b-a)0,S2: a2+b2+c2 - 2(ab+bc+ca) =(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 -a2-b2-c2 = (a-b)2 -

23、c2 +(b-c)2 -a2 +(c-a)2-b20,直线的方程,一. 点斜式,当直线 l 的倾斜角为 0时,k=0,其方程为 y=y1,当直线 l 的倾斜角为90时,k不存在,直线 l 的方程为 x=x1,垂直与x轴的直线方程不能用点斜式表示,若直线 l 的斜率为k,且经过点P1( x1, y1),求直线 l 的方程,设P( x, y)是直线 l 上异于P的任意一点,则,案例5,用向量方法推导直线方程的点斜式,当直线 l 的倾斜角为 0时,k=0,其方程为 y=y1,当直线 l 的倾斜角为90时,k不存在,其方程为 x=x1,垂直与x轴的直线方程不能用点斜式表示,若直线 l 的斜率为k,且经

24、过点P1( x1, y1),求直线 l 的方程,设P( x, y)是直线 l 上异于P的任意一点,则,(所有直线都有方向向量),当直线 l 与x 轴垂直时( x1=x2 ), 斜率不存在,它的方向 向量为( 0, m ), m是不为0的常数. 通常用( 0, 1)来表示.,直线 l 的倾斜角为0 时,它的方向向量为( m, 0 ), m是 不为0的常数. 通常用( 1, 0)来表示.,换个角度思考,设直线l 的方向向量是(1, k),且经过P1( x1, y1), P( x, y)是直线 l 上异于P的任意一点,1(y-y1)= k (x-x1),所以满足题意的直线方程是 y-y1=k(x-x

25、1),当直线 l 与x 轴平行时,直线 l 的方向向量为(1,0),当直线 l 与x 轴垂直时,直线 l 的方向向量为(0,1),1(y-y1)= 0 (x-x1) , 即 y=y1,0(y-y1)= 1 (x-x1) , 即 x=x1,“改造”两点式方程,平行于坐标轴的直线方程不能用两点式来表示,案例6,设P(x,y)直线上异于P1、P2 的任意一点,当x2=x1 或 y2=y1时, 上式分别为 x=x1 、y=y1，它们表示与 x 轴或 y 轴垂直的直线.,案例6,二 项 式 定 理,（课 堂 教 学 实 录）,有 n 个口袋，每个口袋都同样装有一红一黑两个小球，现依次从这些口袋中各取出一

26、个小球，共有_种不同的取法；,“无黑” (全红) 的取法有_种；,“恰有2个黑球”的取法有_种；,“恰有r 个黑球”(rn) 的取法有_种；,“全是黑球”的取法有_种.,“取球”的不同结果共有_个.,n + 1,“恰有1个黑球”的取法有_种；,其中，,展开式中 a n 的系数是_.,展开式中a n-1b 的系数是_.,展开式中a n-rbr 的系数是_.,展开式中a n-2b2的系数是_.,展开式中 b n 的系数是_.,n+1,an , an-1 b , an-2 b2 , , an-r b r , , a b n-1 , b n,二项式 (a+b) 的正整数次幂 (a+b)n ( nN*

27、) 的展开式称为(a+b)n 的二项展开式. 那么,二项展开式有什么规律吗？,展开式中a b n-1 的系数是_.,(a1+b1) (a2+b2) (a n+ b n)展开式共有_项.,展开式中 a n 的系数是_,展开式中a n-1b 的系数是_,展开式中a n-rbr 的系数是_,展开式中a n-2b2 的系数是_,展开式中 b n 的系数是_,an , an-1 b , an-2 b2 , , an-r b r , , a b n-1 , b n,展开式中a b n-1 的系数是_,n+1, 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多 项式叫做 (a +b)n 的二项展开式, 其中的系

28、数 叫做 二项式系数， 展开式中的 叫做二项式的 通项，用 表示，即通项公式 (r=0,1,2,n) 表示展开式的第 r +1 项.,一. 二项式定理,注意:(1)公式中的a、b 可以是单项式，也可以是多项式 . (2)公式中a、b 的顺序不能颠倒.,二 . 二项展开式的性质,（1）项数：,（3）指数：,a 的指数从n 起依次减 1 直到 0，b 的指数从0 起依次增 1 直到 n ，每项中 a、b 的指数和为n .,展开式共有 n +1项.,（2）系数：,注意：展开式中某一项的系数和该项的二项式系数是不同的概念.,如果用b 替换公式中的b ,则得到公式：,如果设 a =1 b =x , 则得

29、到公式：,如果令a =b =1 呢？,-160a3b3,20,-160,D,解：设展开式的第 r+1 项为常数项，则,令 24 -3r=0, 解得 r=8 , 即第 9 项是常数项.,（课后选作题）,一. 二项式定理,依次为组合数 (二项式系数),二 . 二项展开式的性质,（1）项数：,（3）指数：,注意:(1)公式中的a、b 可以是单项式，也可以是多项式 . (2)公式中a、b 的顺序不能颠倒.,a 的指数从n 起依次减 1直到 0，b的指数从0 起依次增 1直到 n ，每项中 a、b 的指数和为n .,展开式共有 n +1项.,（2）系数：,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式

30、叫做 (a+b)n 的二项展开式. 叫做二项式系数.,展开式中某一项的系数和二项式系数是不同的概念.,作业：P111 / 3. 4 (1) (2),解答,目的要求： 1.使学生较完整地把握已学过的数的扩充过程， 确信扩充实数集的必要性 2.弄清虚数单位 i 的含义以及两个规定 3.理解复数的概念及分类 4.通过数的概念的发展和复数的分类，培养学生 辩证唯物主义的思想方法,数的概念的发展 （节选）,案例7,把问题改为选择题： 世界上使用最广泛的语言是什么语言？ A. 世界语 B. 汉语 C. 英语 D. 数学语言,一. 引入,问题：世界上使用最广泛的语言是什么语言？,答案很清楚，是数学语言（包括普通语言、符号 语言和图形语言）。,今天我们学习一种新的数学语言复数,有人试图把勾股定理的符号形式：a2+b2=c2 作为 星际生物通讯的语言。,评注：把学习数学仅仅看成解题训练是不全面的数学作为一种语言，首先要学会