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文档简介

1、铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室,第二节 正项级数及其审敛法,正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.,正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数.,这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的, 而单调有界数列是有极限.,定理1(正项级数收敛的充要条件),铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室,定理2(比较审敛法),推论,铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室,解,定理2(比较审敛法),设un和vn都是正项级数, 且unkvn(k0, nN). 若级数vn收敛, 则级数un收敛; 若级数un发散, 则级数vn发散.,铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室,设un

2、和vn都是正项级数, 且unkvn(k0, nN). 若级数vn收敛, 则级数un收敛; 若级数un发散, 则级数vn发散.,p级数的收敛性,证:,定理2(比较审敛法),例2 证明级数 是发散的.,因为,而级数发散 ,故所给级数发散,铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室,定理3(比较审敛法的极限形式),解,铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室,解:,定理3(比较审敛法的极限形式),例4 判别级数 的敛散性.,因为,而级数 发散 故所给级数发散,铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室,定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法),解：,收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能

3、发散,例5 用比值审敛法判定级数 的收敛性 。,级数的一般项为 因为,所以 根据比值审敛法可知所给级数发散,铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室,所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛,解 ：,定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法),收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散,例6 用比值审敛法判定级数 的收敛性 。,因为,铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室,提示:,所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛,解,定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法),收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散,铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室,定理5(根值审敛法 柯西判别法),所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛,因为,解,收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散,例8 用根值审敛法判定级数 的收敛性.,铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室,定理5(根值审敛法 柯西判别法),所以当ba时级数收敛 当ba时级数发散,因为,解:,收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散,例9 用根值审敛法判定级数 其中ana(n) an b a 均为正数 的收敛性.,铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室,定理6(极限审敛法),因为,解:,根据极限审敛法 知所

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