在平面直角坐标系xOy中

1、在平面直角坐标系 xOy 中，关于 y 轴对称的抛物线 y=- x2+（m-2）x+4m-7 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B m1 3 的左侧），与y 轴交于点 C，P 是这条抛物线上的一点（点P 不 在坐标轴上），且点P 关于直线 BC 的对称点在 x 轴上，D（0， 3）是 y 轴上的一点 （1）求抛物线的解析式及点 P 的坐标； （2） 若 E、 F 是 y 轴负半轴上的两个动点 （点 E 在点 F 的上面） ， 且 EF=2，当四边形 PBEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标； （3）若 Q 是线段 AC 上一点，且 S COQ=2SAOQ，M 是直线 DQ 上的一

2、个动点，在 x 轴上方的平面内存在一点 N，使得以 O、D、 M、N 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出点 N 的坐标 分析：（1）本题需先根据已知条件求出抛物线的解析式，再根 据 A、B 两点求出OBC 的度数和OBD 的度数，再证出直线 BD 与 x 轴关于直线 BC 对称， 再设直线 BD 的解析式为 y=kx+b， 再把各点代入，最后求出结果即可 （2）本题可先过点 P 作 PGx 轴于 G，在 PG 上截取 PH=2， 证出四边形 PHEF 为平行四边形得出 HE=PF，再根据已有的条 件证出 RtAOERtAGH，最后即可求出点 E、F 的坐标 （3）本题根据已有的条件，再结合图形

3、，可以直接写出点N 的 坐标 解答： （1）抛物线 ym1 3 x2+（m-2）x+4m-7 关于 y 轴对称， m-2=0 m=2 抛物线的解析式是 y=-1 3 x2+1 令 y=0，得 x= 3 A（- 3 ，0），B（ 3 ，0） 在 RtBOC 中，OC=1，OB= 3 ，可得OBC=30 在 RtBOD 中，OD=3，OB= 3 ，可得OBD=60 BC 是OBD 的角平分线 直线 BD 与 x 轴关于直线 BC 对称 因为点 P 关于直线 BC 的对称点在 x 轴上， 则符合条件的点 P 就是直线 BD 与抛物线 y=-1 3 x2+1 的交点 设直线 BD 的解析式为 y=kx

4、+b 3 k+b0 b3， k 3b3， 直线 BD 的解析式为 y 3 x+3 点 P 在直线 BD 上，设 P 点坐标为(x， 3 x+3) 又因为点 P 在抛物线 y=-1 3 x2+1 上， 3 x+3=-1 3 x2+1 x1 3 ，x22 3 y1=0，y2=-3 点 P 的坐标是(2 3 ，3) （2）过点 P 作 PGx 轴于 G，在 PG 上截取 PH=2，连接 与 y 轴交于点 E，在 y 轴的负半轴上截取 EF=2 PHEF，PH=EF， 四边形 PHEF 为平行四边形，有 HE=PF 又PB、EF 的长为定值， 此时得到的点 E、F 使四边形 PBEF 的周长最小 OEGH， RtAOERtAGH OE GH AO AG AH OE= 33 3=1 3 OF=OE+EF=1 3 +2=7 3 点 E 的坐标为（0，-1 3 ），点 F 的坐标为（0，-7 3 ） （3） 点