2018届九年级数学上册 23.3 相似三角形教案 （新版）华东师大版

1、233相似三角形233.1相似三角形233.2相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定定理1 【知识与技能】1能够熟练地找出相似三角形的对应角和对应边2会用相似条件“两角分别相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似【过程与方法】能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步培养合情推理能力和初步的逻辑推理意识【情感态度】在探索活动中，增强发现问题、解决问题的意识和养成合作交流的习惯 【教学重点】相似三角形的概念及相似三角形的判定定理1. 【教学难点】相似三角形判定的应用一、创设情境，导入新知什么是相似图形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？二、合作探究，理解新知问题1：相似三角形的有关概念1

2、由复习知，如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似三角形是最简单的多边形，那么什么样的两个三角形相似？学生回答：如果两个三角形的三条边对应成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似教师归纳：如果在ABC与ABC中，AA，BB，CC，那么ABC与ABC相似，记作ABCABC；“”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样的两个三角形相似就读作“ABC相似于ABC”由于AA，BB，CC，所以点A的对应顶点是A，B与B是对应顶点，C与C是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边如果记k，那么这个k就表示这两个相似三角形的相似

3、比相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系思考：如果ABCABC，它的相似比为k，即指k，那么ABC与ABC的相似比应是，就不是k了，应为多少呢？2相似三角形与全等三角形的关系(1)如果ABCABC，相似比k1，你会发现什么呢？1，所以可得ABAB，BCBC，ACAC，因此这两个三角形不仅形状相同，且大小也相同，这样的三角形是全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例思考：(1)全等的两个三角形一定相似吗？(2)相似的两个三角形会全等吗？3应用(1)判断下列两个三角形是否相似？简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例(2)ABC中，D为AB边上任意一点，过D作DEBC，交AC边于E，那么ADE与

4、ABC是否相似呢？说明：判断它们是否相似，由对应角是否相等；对应边是否成比例去考虑能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出，而对应边是否成比例呢？目前还没有什么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算对应边是否成比例通过度量，计算发现.所以可以判断出ADE与ABC相似思考：(1)如果D是AB边的中点，那么题中ADE和ABC的相似比是多少？(2)若是如图，DEBC，与BA、CA的延长线交于D、E，那么ADE与ABC还会相似吗？如果相似写出它们对应边的比例式问题2：相似三角形判定定理11思考：除定义外，是否存在识别两个三角形相似的简便方法？2观察归纳：同学们观察你与你的同伴所用的三角尺，

5、以及教师用的木三角板，如有一个角是30的直角三角尺，它们的大小不一样这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索(1)有一个角是45的三角尺，是等腰直角三角形会相似(2)有一个角是30的三角尺，那么另一个锐角为60，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，它们好像就会“相似”是这样吗？请同学们动手试一试：画两个三角形，使它们的三个角分别相等画ABC与DEF，使AD，BE，CF，在实际画图过程中，同学们画几个角相等？为什么？实际画图中，只画AD，BE，则第三个角C与F一定会相等，这

6、是根据三角形内角和为180所确定的；用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结果；发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似简单地说，两角分别相等的两个三角形相似对于上述结论，你能不能使条件再简单些？只需两个角对应相等就可以了由此得出相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似3例题讲解例1：如图所示，在两个直角三角形ABC和ABC中，CC90，AA.求证：ABCABC.证明：CC90，AA，ABCABC(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相

7、等，那么这两个三角形相似)例2：如图，ABC中，DEBC，EFAB，求证：ADEEFC.证明：DEBC，EFAB，ADEBEFC，AEDC，ADEEFC(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)三、尝试练习，掌握新知1教材第63页练习第1、2题2补充练习：(1)在ABC与ABC中，AA50，B70，B60，这两个三角形相似吗？(2)如图，在ABC中，DEBC，AD3，AE2，BD4，试求的值，以及AC、EC的长(2)(3)(4)(3)已知：如图，ABEFCD，则AOB与_和_都相似(4)如图，ACBD于C，DEAB于E，DE与AC相交于点O，试找出图中的

8、相似三角形，并说明理由3请同学们完成探究在线高效课堂“随堂练习”部分四、课堂小结，梳理新知通过本节课的学习，你有什么收获和困惑？五、深入练习，巩固新知请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”部分教材习题23.3第1、2、3题第2课时相似三角形的判定定理2第3课时相似三角形的判定定理3 【知识与技能】1会说出识别两个三角形相似的方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似2能依据条件，灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似【过程与方法】能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步培养学生的推理能力和初步的逻辑推理意识【情感态度】经历两个三角形相似条件

9、的探索过程，进一步提高探究、交流能力，养成动手、动脑、手脑和谐一致的习惯 【教学重点】用相似的判定定理判定两个三角形相似 【教学难点】综合应用相似三角形的判定定理解决有关相似的问题一、创设情境，导入新知1现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；(2)有两个角分别相等的两个三角形相似2上节学的“两角分别相等的两个三角形相似”判定方法是怎样得出的？二、合作探究，理解新知问题1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(1)问题：如图，ABC中，D、E是AB、AC上三等分点(即ADAB，AEAC)，那么ADE与ABC相似吗？你用的是哪一种方法？可提示学生：由于没有两个角对应相等

10、，可以动手量一量，判断它们能否相似？(2)思考：通过量角或量线段计算之后，可以得出：ADEABC.从已知条件看，ADE与ABC有一对对应角相等，即AA(是公共角)，而另一个条件是ADAB，AEAC，即，因此.也就是说：如果ADE的两条边AD、AE与ABC的两条边AB、AC对应成比例，它们的夹角又相等，那么ABCADE.如果一个三角形两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？引导学生画出两个三角形，ABC与ABC，使AA，ABkAB，ACkAC，量一量BC与BC的长，计算，与同伴交流，是否与，相等？再量一量B与B、C与C，它们是否对应相等呢？这样的两个三角形相似吗

11、？(3)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简单地说：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似教师归纳强调：对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？(画顶角与底角相等的两个等腰三角形，BB，.)(4)知识运用：例1：证明如图中AEB与FEC相似证明：1.5，1.5，.AEBFEC，AEBFEC(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似)练习：教材P70练习第1题(3)问题2：三边成比例的两个三角形相似(

12、1)如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？(2)学生讨论，通过教材例4下边的“做一做”，或自己画出三边对应成比例的两个三角形探索两个三角形相似归纳：通过试验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简单地说：三边成比例的两个三角形相似(3)知识运用：例2：ABC和ABC中，AB6 cm，BC8 cm，AC10 cm，AB18 cm，BC24 cm，AC30 cm.试证明ABC与ABC相似证明：，.ABCABC(如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似)说明：在应用三边对应成比例，判定两个三角形相似时，一

13、定要找准对应边练习：教材P70练习第1题(1)三、尝试练习，掌握新知1下面每组的两个三角形是否相似？为什么？(1)(2)2如图所示，如果有一点E在AC上，那么点E应该在什么位置才能使ADE与ABC相似呢？3如图，BD、CE是ABC的高，求证：ADEABC.4请同学们完成探究在线高效课堂“随堂练习”部分四、课堂小结，梳理新知通过本节课的学习，你有什么收获？五、深入练习，巩固新知请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”部分1依据下列各组条件，判定ABC与ABC是不是相似？并说明理由(1)A120，AB7 cm，AC14 cm；A120，AB3 cm，AC6 cm. (2)AB4 cm，BC6 cm

14、，AC8 cm；AB12 cm，BC18 cm，AC24 cm. 2.教材习题23.3第4题 3.如图，在ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，且AB2ADAC，DEAB，试说明BCDBDE. 4.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？233.3相似三角形的性质 【知识与技能】说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【过程与方法】培养由特殊到一般的思维方法，培养逻辑思维能力和应用能力【情感态度

15、】经历探索相似三角形性质的过程，并在探索研究过程中发展积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性 【教学重点】相似三角形性质的应用 【教学难点】相似三角形的判定和性质的综合应用一、创设情境，导入新知1由于马路拓宽，有一个面积是100平方米、周长80米的三角形的绿化地被削去了一个角，变成了一块梯形绿地，原绿化地的一边AB的长由原来的20米缩短成12米(如图所示)为了保证绿化建设，市政府规定：因为种种原因而失去的绿地面积必须等面积补回这样就引出了一个问题：这块失去的面积到底有多大？它的周长是多少？你能够将上面生活中的实际问题转化为数学问题吗？2两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之

16、外，还可以得到许多有用的结果例如，在图中，ABC和ABC是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、AD分别为BC、BC边上的高，那么AD、AD之间有什么关系？二、合作探究，理解新知1ABD与ABD相似吗？若相似，它们的相似比是多少？2ABD和ABD都是直角三角形，而BB，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似那么k.由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比(通过研究讨论，让学生借助已有的知识对新问题进行研究，培养学生的思考探索能力，同时让他们自己得出结论，感受成功的喜悦)3思考：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？即图中ABC和ABC相似，

17、AD、AD分别为对应边上的中线，BE、BE分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？可以得到的结论是_(让学生用类似于“相似三角形对应高的比等于相似比”的方法进行研究，培养学生的推理能力)对于上述结论，你能证明吗？(学生仿对应高的证明独立完成)4想一想：两个相似三角形的周长比是什么？可以得到的结论是_结论：相似三角形的周长比等于相似比证明如下：已知：ABCABC，相似比为k，即k.求证：k.证明：k，ABkAB，BCkBC，CAkCA.k.图中(1)、(2)、(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似(2)与(1)的相似比_；(2)与(1)的面积比_；(3)与(1)的相似比_

18、；(3)与(1)的面积比_.从上面可以看出，当相似比为k时，面积比为k2.数学上可以说明，对于一般的相似三角形也具有这种关系由此可以得出结论：相似三角形的面积比等于_(通过形象的图形比较，使学生直观地感知相似图形面积比与相似比之间的关系，便于被学生所接受)三、尝试练习，掌握新知补充练习1(1)如果两个三角形相似，相似比为35，则对应角的角平分线的比等于多少？(2)相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为_，对应角的角平分线的比为_，周长的比为_，面积的比为_(3)两个相似多边形的面积比为41，则它们的相似比为_，周长比为_(4)若两个相似三角形的最大边长分别为35 cm和14 cm，它们的周

19、长差为60 cm，则较大三角形的周长是多少？(5)把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大为原来的n倍，那么边长扩大为原来的几倍？(6)在ABC中，已知D在AB上，E在AC上，且DEBC，AB30 m，BD18 m，ABC的周长为80 m，面积为100 m2，求ADE的周长和面积2请同学们完成探究在线高效课堂“随堂练习”部分四、课堂小结，梳理新知通过本节课的学习，你有什么收获？(通过总结把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解)五、深入练习，巩固新知请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”部分1两个三角形的对应边的比为34，则这两个三角形的对应角

20、的角平分线的比为_，对应边上的对应高的比为_，对应边上的对应中线的比为_2相似三角形对应角的角平分线的比为0.2，则相似比为_，对应中线的比等于_3教材第72页练习第3题4如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DECD. (1)求证：ABFCEB；(2)若DEF的面积为2，求ABCD的面积233.4相似三角形的应用第1课时相似三角形的应用(1)第2课时相似三角形的应用(2) 【知识与技能】掌握利用三角形相似测量物体的高度或宽度的方法【过程与方法】通过具体的实践活动体会相似三角形的应用【情感态度】1通过著名科学家的名句和如何测量神秘金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使全

21、体学生积极参与探索，体验成功的喜悦2力求培养学生科学、正确的数学观，体现探索精神 【教学重点】构建相似三角形解决实际问题 【教学难点】利用相似三角形解决实际问题一、创设情境，导入新知世界上有许许多多的物体我们无法直接测量出它们的高度、宽度和厚度，如旗杆的高度、高层建筑物的高度、湖的宽度、河流的宽度、瓶子的厚度等然而，从很早开始，人们就懂得利用相似三角形的有关性质来测算它们二、合作探究，理解新知1复习回顾(1)相似三角形有几种判别方法？(2)相似三角形有哪些性质？(3)如图，B、C、E、F在同一直线上，ABBF，DEBF，ACDF.DEF与ABC相似吗？为什么？若DE1，EF2，BC10，那么A

22、B等于多少？2问题1：在同一时刻，物体的高度与它的影长之间有何关系？说说你的理由如图，BC、BC分别是竖立在地面上的旗杆AB和木棒AB的影子(多媒体演示)请同学们根据图形回答以下问题：(1)在ABC和ABC中，C与C有何关系？为什么？(2)ABC与ABC相似吗？为什么？(3)根据ABCABC，你能确定AB、BC分别与AB、BC之间的关系吗？(引导学生写出ABABBCBC，即在同一时刻物体的高度与它的影长成正比)(4)假如测得AB2米，BC1.2米，BC6米，那么旗杆AB的高度是多少？利用“影子”来测物高，早在古代就已被应用于测量不能直接测量的物体的高度知识运用例1：古代一位数学家想出了一种测量

23、金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖立一根已知长度的木棒OB，比较木棒的影长AB与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果OB1米，AB2米，AB274米，求金字塔的高度OB.分析：本题是相似三角形判定和性质的应用，首先要明确，太阳光是平行光线，因此可得OABOAB.同时要知道，木棒与金字塔的高都与地面垂直这样，要解决求金字塔OB的高的问题，只要应用相似三角形判定定理证明OABOAB即可学生在教师的指导下完成解：太阳光线是平行光线，OABOAB.ABOABO90，OABOAB(如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)OBOB

24、ABAB，OB137(米)答：该金字塔高为137米3问题2：测量不能直接测量的物体的宽度在实际生活中，有许多物体的宽度是不可直接测量的，如河宽、湖宽、瓶子的内径等那么，我们又如何测量它们的宽度呢？例2：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选点B和C使ABBC，然后，再选点E，使ECBC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD120米，DC60米，EC50米，求河的宽度解：ADBEDC，ABCECD90，ABDECD(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)，即AB100(米)答：河的宽度为100米思考：通过例1、例2的学习，你对相似三角形的应用有什么认识？学生思考、讨论、交流三、尝试练习，掌握新知1教材第74页练习第1题2如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯