2018届高考数学一轮复习 选修部分 不等式选讲 第二节 不等式的证明学案 文 选修4-5

1、 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法2了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式知识点一不等式证明的常见方法 1综合法：从命题的已知条件出发，利用_、已知的_及_，逐步推导，从而最后导出要证明的命题2分析法：从需要证明的结论出发，分析使这个命题成立的_，利用已知的一些_，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或_)3反证法：首先假设要证明的命题是_，然后利用_，已有的_、_，逐步分析，得到和_(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论_，从而原来的结论正确4放缩法：将所需证明的不等式的值适当_(或_)使它由繁到简，达到证明

2、目的如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值_，反之，把分母缩小，则分式的值_答案1公理定义定理2充分条件定理一个明显的事实3不正确的公理定义定理命题的条件不成立4放大缩小缩小放大1判断正误(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”()(2)若实数x、y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()答案：(1)(2)2若ma2b，nab21，则m与n的大小关系为_解析：nmab21a2bb22b1(b1)20，nm.答案：nm3已知a，b为正数，求证：.证明：a0，b0，(ab)5529.知识点二柯西不等式 1设a，b，c，d均为实数，则(a2b2

3、)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立2若ai，bi(iN*)为实数，则()()(ibi)2，当且仅当(当ai0时，约定bi0，i1,2，n)时等号成立3柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当，共线时等号成立4设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值是_解析：根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值为.答案：5若a，b，c(0，)，且abc1，则的最大值为_解析：()2(111)2(121212)(abc)3.当且仅当abc时，等号成立()23.故的最大值为.答案：热点一比较法证明不

4、等式 【例1】设a，b是非负实数，求证：a2b2(ab)【证明】因为a2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab)(ab)(ab)，因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有ab与ab同号，所以(ab)(ab)0，所以a2b2(ab).【总结反思】比较法证明不等式的一般步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论其中“变形”的关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负. 设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小解：(1)由|2x1|1，得12x11，解得0x1，所以M

5、x|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b0，故ab1ab.热点二分析法、综合法证明不等式 【例2】(1)已知x，y均为正数，且xy，求证：2x2y3；(2)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc.【证明】(1)因为x0，y0，xy0,2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(2)因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立所以原不等式成立.【总结

6、反思】用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野. 设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，

7、a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.热点三放缩法证明不等式 【例3】设a，b，c均为正实数，求证：.【证明】a，b，c均为正实数，当且仅当ab时等号成立；，当且仅当bc时等号成立；，当且仅当ca时等号成立；三个不等式相加即得，当且仅当abc时等号成立.【总结反思】不等式的变形是一种保号变形如证明f(a)g(a)，我们可将左边放缩成f1(a)，但必须同时保证f1(a)g(a)0，否则称为放缩过度. 设s，求证：n(n1)s123nn(n1)，s357(2n1)n(n2)，n(n1)sn(n2)热点四柯西不等式的应用 【例4】已知x，y，z均为实数(1)若xyz1，求证：3；(2)

8、若x2y3z6，求x2y2z2的最小值【解】(1)证明：因为()2(121212)(3x13y23z3)27.所以3.当且仅当x，y，z0时取等号(2)因为6x2y3z，所以x2y2z2，当且仅当x即x，y，z时，x2y2z2有最小值.【总结反思】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(aaa)()(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件. (1)设x，y，zR，且满足：x2y2z21，x2y3z，则xyz_.(2)已知x、y、zR，且xyz1，则的最小值为_解析：(1)由柯西不等式，得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，(x2y3z)214，则x2y3z，又x2y3z，x，