2018年高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和学案 理

1、6.4数列求和考纲展示考点1公式法求和1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn2倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法：如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的(2)并项求和法：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(98

2、97)(21)5 050.非等差、等比数列求和的常用方法：倒序相加法；并项求和法(1)教材习题改编一个球从100 m高处自由落下，着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)答案：A(2)教材习题改编已知函数f(n)n2cos n，且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100_.答案：100解析：因为f(n)n2cos n 所以f(n)(1)nn2，由anf(n)f(n1)(1)nn2(1)n1(n1)2(1)nn2(n1)2(1)n1(2n1)，得a1a2a3a1003(5)

3、7(9)199(201)50(2)100.数列求和的两个易错点：公比为参数；项数的奇偶数(1)设数列an的通项公式是anxn，则数列an的前n项和Sn_.答案：Sn 解析：当x1时，Snn；当x1时，Sn.(2)设数列an的通项公式是an(1)n，则数列an的前n项和Sn_.答案：Sn解析：若n为偶数，则Sn0；若n为奇数，则Sn1. 典题1(1)已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于_答案27解析由a11，anan1(n2)，可知数列an是首项为1，公差为的等差数列，故S99a191827.(2)若等比数列an满足a1a410，a2a520，则an的前n项和Sn

4、_.答案(2n1)解析由题意a2a5q(a1a4)，得20q10，故q2，代入a1a4a1a1q310，得9a110，即a1.故Sn(2n1)点石成金数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之考点2分组转化法求和 分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(1)数列1，3，5，的前n项和Sn_.答案：n21(2)已知数列an中，an 设数列an的前n项和为Sn，则S9_.答案：377典题2已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nn

5、ln 3，求其前n项和Sn.解由通项公式知，Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.综上知，Sn点石成金分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比或等差数列，可采用分组转化法求和提醒某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.在等差数列an中，已知公差

6、d2，a2是a1 与a4 的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bna，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解：(1)由题意知，(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12.所以数列an的通项公式为an2n.(2)由题意知，bnan(n1)所以Tn122334(1)nn(n1)因为bn1bn2(n1)，可得当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n；当n为奇数时， TnTn1(bn)n(n1).所以Tn考点3错位相减法求和错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用

7、此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的(1)教材习题改编数列1，的前n项和为_答案：解析：因为2，所以数列的前n项和为22.(2)教材习题改编数列，的前n项的和为_答案：4解析：设该数列的前n项和为Sn，由题可知，Sn，Sn，得 Sn2，Sn4. 典题32015山东卷设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.解(1)因为2Sn3n3，所以2a133，故a13，当n2时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an (2)因为anbnlog3an，所以b

8、1，当n2时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；当n2时，Tnb1b2b3bn131232(n1)31n，所以3Tn1130231(n1)32n，两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn，经检验，n1时也适合综上知，Tn.点石成金用错位相减法求和的三个注意事项(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解2015天津卷已知an是

9、各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和解：(1)设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意知q0.由已知，有消去d，整理得q42q280，解得q24.又因为q0，所以q2，所以d2.所以数列an的通项公式为an2n1，nN*；数列bn的通项公式为bn2n1，nN*.(2)由(1)有cn(2n1)2n1，设cn的前n项和为Sn，则Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，上述两式相减，得Sn122

10、232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n3，所以Sn(2n3)2n3，nN*.考点4裂项相消法求和 裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见的裂项技巧：.考情聚焦把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的主要有以下几个命题角度：角度一形如an型典题42017重庆模拟设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33.(1)求an；(2)设bn，数列bn的前

11、n项和为Tn，求证：Tn(nN*)(1)解设数列an的公差为d，由题意，得解得a13，d2，ana1(n1)d2n1.(2)证明由(1)，得Snna1dn(n2)，bn.Tnb1b2bn1bn，Tn.故Tn.角度二形如an 型典题52017江南十校联考已知函数f(x)xa的图象过点(4,2)，令an，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2 014()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析由f(4)2可得4a2，解得a，则f(x)x.an，S2 014a1a2a3a2 014()()()()()1.角度三形如an型典题6正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求

12、数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn0，Snn2n.于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为an2n.(2)证明由于an2n，故bn.Tn.点石成金利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.方法技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方

13、法往往通过通项分解或错位相消来完成(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和易错防范1.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an1的式子应进行合并2在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项，特别是隔项相消 真题演练集训 12016北京卷已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50，则S6_.答案：6解析：设等差数列an的公差为d，由已知，得解得所以S66a165d3615(2)6.22015新课标全国卷设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案：解析：

14、 an1Sn1Sn，an1SnSn1， Sn1SnSnSn1. Sn0， 1，即1.又1， 是首项为1，公差为1的等差数列 1(n1)(1)n， Sn.32016山东卷已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.解：(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，所以an6n5.设数列bn的公差为d，由得可解得b14，d3.所以bn3n1.(2)由(1)知，cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，所以Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式

15、作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.42015新课标全国卷Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解：(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知，bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn. 课外拓展阅读 数列求和 典例已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.审题视角 解析(1)当nk，kN*时，Sn